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1、 学科网（北京）股份有限公司 绝密绝密考试结束前考试结束前 2023 学年第二学期浙南名校联盟返校联考学年第二学期浙南名校联盟返校联考 高二数学学科试题高二数学学科试题 考生须知：考生须知：1.本试题卷共本试题卷共 4 页，满分页，满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级答题前，在答题卷指定区域填写班级姓名姓名考场号考场号座位号及准考证号座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分选择题部分 一一选择题选择题（本题
2、共（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求题目要求.）1.已知抛物线22xpy=的焦点在直线21yx=+上，则p=（）A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知向量()()1,1,1,1,1,2ab=，则a在b上的投影为（）A.2 33 B.2 33 C.63 D.63 3.已知点()0,3A及直线:10l xy+=上一点B，则AB的值不可能是（）A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知数列 na是各项为正的等比数列，前n项和为()*nSnN，且2337,24SS=，则1a=（）A.
3、14 B.12 C.1 D.94 5.若圆2220 xaxy+=与圆224240 xyxy+=只有一个交点，则实数a的值可以是（）A.-1 B.-2 C.1 D.2 6.已知ABC的三个内角分别为,A B C，则lnlnlnABC+的值可能是（）A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 7.圆锥曲线具有丰富的光学性质，在人教版 A 版选择性必修第一册的阅读与思考中提到了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上，（如图（1）.如图（2），已知1F为椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左焦点，O为坐标原点，直线l为椭圆C的任一条切 学科
4、网（北京）股份有限公司 线，H为1F在l上的射影，则点H的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲性 D.抛物线 8.已知1202412024,ln,120242023abce=，则（）A.cba B.bca C.acb D.abc 二二多选题多选题（本题共（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分）分）9.已知m nR，则方程2221m xny+=表示的曲线可能是（）A.两条直
5、线 B.圆 C.焦点在x轴的椭圆 D.焦点在y轴的双曲线 10.如图，已知四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为正方形，,PAAB Q=为线段BC上一点（含端点），则直线PQ与平面PCD所成角不可能是（）A.0 B.6 C.4 D.3 11.已知数列 na为等差数列，131,2 21aa=+，前n项和为()*nSnN，数列 nb满足nnSbn=，则下列结论正确的是（）A.数列nnab+为等比数列 B.数列nnab+为等差数列 学科网（北京）股份有限公司 C.数列 na中任意三项不能构成等比数列 D.数列 nb中可能存在三项成等比数列 12.如图，已知棱长为 2 的正方体1111A
6、BCDABC D，点P是棱AB的中点，过点P作正方体1111ABCDABC D的截面，关于下列判断正确的是（）A.截面的形状可能是正三角形 B.截面的形状可能是直角梯形 C.此截面可以将正方体体积分成 1：3 D.若截面的形状是六边形，则其周长为定值 非选择题部分非选择题部分 三三填空题填空题（本大题共（本大题共 4 小题，共小题，共 20 分分.）13.某校新建一个报告厅，要求容纳 800 个座位，第一排 21 个座位，从第 2 排起后一排都比前一排多两个位置，那么这个报告厅共有_排座位.14.设曲线axye=在点()0,1处的切线与直线20 xya+=垂直，则实数a的值为_.15.已知正四
7、面体ABCD，点M为棱CD的中点，则异面直线AM与BC所成角的余弦值为_.16.已知点P是直线:4l yx=+上一点，点Q是椭圆222:1xCya+=上一点，设点M为线段PQ的中点，O为坐标原点，若OM的最小值为24，则椭圆C的离心率为_.四四解答题解答题（本大题共（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.）17.设aR，函数()32f xxaxx=+.（1）若()f x有且只有一个零点，求a的取值范围；（2）若()f x的一个极值点为 1，求函数()f x的极值.18.如图，已知等腰三角形ABC中，,ABAC D=是AC的中点，且()()0,0,3,0BD.学科网（北京）股份有限公司 （
8、1）求点A的轨迹T的方程；（2）设AC所在直线与轨迹T的另一个交点为E，当ABD面积最大且A在第一象限时，求AE.19.如图，ABE是边长为 2 的等边三角形，且3,30BDDBA=.（1）若点A到平面BDE的距离为 1，求DE；（2）若,BEAD ADBC且12ADBC=，求直线AD与平面DCE所成角的正弦值.20.记nS为数列 na的前n项和()*nN，已知1aa=，且1,nnnaSa+成等比数列.（1）写出2a，并求出数列2na的通项公式；（2）记nT为数列112nnaa+的前n项和，若对任意的*1,4nnN T恒成立，求a的取值范围.21.已知函数()()ln1xf xexm=+.（1
9、）当1m=时，求函数()f x的单调区间；（2）当2m 时，求证：()1f x.22.已知等轴双曲线C过定点()2,1A，直线l与双曲线C交于,P Q两点，记12,AQAPPQkk kk kk=，且1222 20kkk+=+.（1）求等轴双曲线C的标准方程；（2）证明：直线l过定点.学科网（北京）股份有限公司 高二数学学科参考答案与解析高二数学学科参考答案与解析 一一选择题选择题（本题共（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求题目要求.）1 2 3 4 5 6 7 8 B C A
10、C D D A B 二二多选题多选题（本题共（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求目要求.）9 10 11 12 ABC CD BC AC 6.【参考答案】：由ln1xx得：lnlnln330.2ABCABC+=由于()ln1xx+（当且仅当0 x=时取等号）恒成立，故()ln1xx+（当且仅当0 x=时取等号）即()ln1xx+（当且仅当0 x=时取等号），故ba 构造函数()()()()()1 ln 1,0,0.001xF xh xg xexx=+()()211,1(1)xxF
11、xeFxexx=()32(1)xFxex=，当()0,0.001x时，()0Fx()21(1)xFxex=在()0,0.001x上单调递减，()()00FxF=学科网（北京）股份有限公司()11xFxex=在()0,0.001x上单调递减，()()00FxF=()()()()1 ln 1xF xh xg xex=+在()0,0.001上单调递减()()()()()0,0.001,00,xF xh xg xFcb=，选 B 11.【参考答案】：（1）设数列 na的公差为31,22aad d=()1222,1222nnnn nSSnbnn=+=+数列 nb为等差数列，又数列 na为等差数列 数列n
12、nab+为等差数列.故 B 正确，A错误；（2）（反证法）假设数列 na中存在三项(*,mnpaa am n pN，且)mnp能构成等比数列，即2nmpaaa=成立.由（1）得()121nan=+，()()()2121 121121nmp+=+整理得：()2242 22222nnnmpmppm+=+222224222nmpnmpnnmppmnmp=+=+=02mpmpmp+=与mp矛盾，数列 na中任意三项不能构成等比数列，故 C 正确，同理可知，D错误.12.【参考答案】：如图（1），M，N 分别为所在棱中点，A 正确；当截面是梯形时如图（2），如果为直角梯形，则PMMN，又1PMCC，故P
13、M 面1BC，PMAB，矛盾，形状不可能为直角梯形，B错误；如图（3），Q为所在棱中点，截面1PCC Q将正方体分成 1：3，C正确；学科网（北京）股份有限公司 如图（4）（5），当截面是六边形时，可以是正六边形，也可以是一般的六边形，周长不是定值，D 错误.三三填空题填空题（本大题共（本大题共 4 小题，共小题，共 20 分分.）13.20 14.12 15.36 16.144 15.【参考答案】：正四面体ABCD的棱长设为 2，则()1,2AMACADBCACAB=+=1()()1,|3,|22AM BCACADACABAMBC=+=异面直线AM与BC所成角的余弦值为36AM BCAM B
14、C=16.【参考答案】：直线:4l yx=+关于原点的对称直线为:4lyx=，记直线OP与直线l的交点为P，连结QP，则12OMQP=，设()minmin22cos,sin,|42Q aOMQP=22minmin41cossin42,8222aaQPa+=或 24 当224a=时，:4lyx=与椭圆相交，QP最小值为 0，与min22QP=矛盾，舍去.学科网（北京）股份有限公司 当28a=时，符合要求，此时，27c=，椭圆离心率144e=.四四解答题解答题（本大题共（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.）17.【参考答案】解：（1）()00f=，若()f x有且只有一个零点，则这个唯一
15、零点一定是 0 故()0,0 xf x，即函数21yxax=+无零点；240,22aa=（2）()()322321f xxaxxfxxax=+=+()f x的一个极值点为()1,10,2fa=()()()2341311fxxxxx=+=，当1,13x时，()()0,fxf x单调递增()()()12,12327fxffxf=极大极小 18.【参考答案】解：（1）2ABAD=，即22222(3)xyxy+=+.()22(4)40 xyy+=学科网（北京）股份有限公司（2）由题意，()4,2A 2,ACAC=k所在直线方程为260 xy=圆心()4,0到直线AC的距离25d=228255AErd=
16、19.【参考答案】：（1）ABE是边长为 2 的等边三角形，2AB=又30,3DBABD=，ABD中，22221,1ADBDABBD ABAD=+=点A到平面BDE的距离为 1，不妨设平面BDE的法向量为n 则1AD nn=又1,AD nADADn=即|AD nAD n=ADn AD平面BDE，ADDE，又1,2,3ADAEDE=（2）由（1）知222ADBDABADBD+=，又BEAD，且BDBEBAD=平面BDE 又1,2,3,3ADAEDEBDDEDB=设CE中点为H，则OHBC，又ADBC，且12ADBC=，OHAD，且1OHADOH=平面BDE；设BE中点为O，则BEOD，因此，,O
17、D OE OH两两垂直；如图建系；则()()()()1,0,0,0,0,1,1,0,2,0,2,0EHCD 学科网（北京）股份有限公司 ()()2,0,2,1,2,222,ECDCBCADAD=BC()1,0,0,12ADBCOHADOH=；设平面DCE的法向量为(),nx y z=，则0,0n ECn DC=，220,220 xzxyz+=+=，取1x=，则21,12n=10sin.5n ADn AD=20.【参考答案】：（1）解：由1,nnnaSa+成等比数列得1nnnaaS+=，且0na，当1n=时12121a aaa=；当2n 时，11nnnaaS=，又1nnnaaS+=()11111
18、12,nnnnnnnnnaSSaaaaaannN+=()()*2211naann nN=+=（2）解法一：由（1）易得1,2,2nnanann+=为奇数为偶数，则1,21,2a nna nnbn+=为奇数为偶数，故*1,2a nnbnN+=学科网（北京）股份有限公司 11122annT=，而12anT 11224aa.解法二：设112nnaanb+=，则12211111;222nnnnaaaannnbbb+=nb是一个等比数列 11*11,22annbnN+=11122annT=，而12anT，故()11xfxex=+在()1,+单调递增，又()()00,1,0fx=时，()()0,0,fxx
19、 函数()f x的单调递减区间为()1,0，单调递增区间为()0,+（2）当2m 时，()()()ln1ln21xxf xexmex=+令()()ln21xg xex=+，则()12xgxex=+，()210(2)xgxex=+()ygx=在()2,+单调递增，又()()10,00gg，()01,0 x，使得()00gx=，且是()ygx=在()2,+上的唯一零点，()gx 在()02,x上为负，在()0,x+上为正，学科网（北京）股份有限公司 故()g x在0 xx=处取到极小值，也就是最小值.()00gx=，即()()000001,ln2,1,02xexxxx=+()()()()00000
20、0011ln211212 122xg xg xexxxxx=+=+=+当2m 时，求证：()1f x.22.【参考答案】解：（1）设等轴双曲线 C：()220 xy=；C过()2,1,1AC=的标准方程为221xy=.（2）证明：设直线l的方程为ykxm=+；联立方程：()()2222211210 xykxkmxmykxm=+=+设()()1122,Q x yP xy，则212122221;(0)11kmmxxx xkk+=()()()()()12211212121212121211222kxmxkxmxyykkxxx xxx+=+=+()()()()121212122122 2122 222kx xmkxxmkx xxx+=+()()12122 2232 242 20 x xkmxxmk+=()222122 2232 242 2011mkmkmmkkk+=化简整理得：()()()223222 2322220kmkkmkkk+=()()()222220mkkmkk+=()()202210kmkmk+=2mk=或12mk=当2mk=，直线l恒过定点()2,0；学科网（北京）股份有限公司 当12mk=，直线l恒过定点()2,1A，故舍去.综上所述，命题得证.