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1、1/32 学科网（北京）股份有限公司小升初数学知识点总结（小考复习精编专项讲义）2024六年级数学小升初复习系列小升初数学知识点总结（小考复习精编专项讲义）2024六年级数学小升初复习系列：（数与式知识点梳理大全）（数与式知识点梳理大全）第一章：数的认识（一）整数 第一章：数的认识（一）整数 一一、概念概念：整数整数 1.整数的意义：整数主要包括自然数和负整数。2.自然数：用来表示物体数量的 0，1，2，13、19、25叫做自然数。特别要注意的：0 也是自然数，很多同学都会忽略这点。3.计数单位：个（一）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿都是计数单位。十进制计数法：每相邻两个计数单位
2、之间的进率是 10。4.数位：计数单位按照一定的顺序从右到左（从小到大）排列起来，所处的位置就叫做数位。例如：35601 3、5、6、0、1 这样的每个数都对应了一个数位。二、二、数的整除：数的整除：1.整除：整数 x 除以整数 y(y0），除得的商是整数（没有余数），那么 x 就能被 y 整除。2.如果数 x 能被数 y（b0）整除，同时，x 就叫做 y 的倍数；y 就叫做 x 的因数。倍数和因数是相互存在的，必须两个一起说才有存在的意义。例如：45 能被 5 或 9 整除，所以 45 是 5 或 9 的倍数，5 或 9 是 45 的因数。2/32 学科网（北京）股份有限公司 3.一个数分解
3、出来的因数的个数是有限的，这个数最小的因数是 1，最大的因数是它本身。例如：8 的因数有 1、2、4、8，其中最小的因数是 1，最大的因数是其本身 8。4.一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。例如：5 的倍数有：5、10、15、20、25其中最小的倍数是 5，没有最大的倍数。5.整除的特殊类型：（1）个位上的数是 0、2、4、6、8 的数，属于偶数，都能被 2 整除。例如：2、80、14，36 类似此类数都能被 2 整除。（2）个位上的数是 0 或 5 的数，都能被 5 整除，例如：5、35、70、125 类似此类数都能被 5 整除。（3）一个数的各个数位上的数
4、的和能被 3 整除时，这个数就能被 3 整除，例如：18、48、126、522 类似此类数都能被 3 整除。（4）一个数的末两位数能被 4 整除，这个数就能被 4 整除。例如：116、540、1428 类似此类数都能被 4 整除。（5）一个数的各位数字之和能被 6 整除，且是偶数时，这个数就能被 6 整除。例如：156、2808、1302 类似此类数都能被 6 整除。三、三、奇奇数与数与偶偶数数：（1）能被 2 整除的数就叫做偶数。特别的：0 也是偶数。（2）整数除了偶数外，还有奇数。因此，不能被 2 整除的数就叫做奇数。因此：自然数按能否被 2 整除的特征可分为奇数和偶数。（3）奇数与偶数的
5、运算关系：奇数奇数偶数 奇数奇数偶数 奇数偶数奇数 奇数偶数奇数 奇数奇数奇数 奇数偶数偶数 偶数偶数偶数 3/32 学科网（北京）股份有限公司 （二）（二）质数与合数质数与合数 1、质数：一个数如果分解后，只有 1 和它本身两个因数，那么这样的数就叫做质数。例如：30 以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。注意：（1）质数又称素数，在自然数内有无限个。一个大于 1 的自然数，除了 1 和它本身外，不能被其他自然数整除。（2）最简分数：当分数的分子和分母互质时（只有公因数 1），即为最简分数。2、合数：一个数，如果除了 1 和它本身之外，还有别的因数，那么这样的数就
6、叫做合数。例如：4、6、8、9、12、24、100 都是合数。3、特别的：1 既不是质数也不是合数。自然数除了 0 和 1 外，不是质数就是合数。4、分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式分解出来，就叫做分解质因数。注意：每个合数都能写成若干个质数相乘的形式。其中的每个质数都是这个合数的因数，并且叫做这个合数的质因数。例如：12223，2 和 3 就叫做 12 的质因数。（三）（三）公因数和公倍数公因数和公倍数 一、一、公因数：公因数：如果几个数公有相同的若干个因数，那么这些因数就叫做这几个数的公因数。二、二、最大公因数：最大公因数：1、几个公因数当中，最大的那一个，就叫做这几个数的最大公因
7、数。2、若较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。例如：9 的因数有 1、3、9；12 的因数有 1、2、3、4、6、12。4/32 学科网（北京）股份有限公司 其中，1、3 是 9 和 12 的公因数；3 就是它们的最大公因数。特别的：公因数只有 1 的两个数，叫做互质数，简称“互质”。换句话说，如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数就是 1。成互质关系的两个数，有下列几种情况：成互质关系的两个数，有下列几种情况：1、任何自然数和 1 互质。2、不同的两个质数互质。3、相邻的两个自然数互质。4、当合数不是质数的整数倍时，它们也互为质数。5、0 与任何质数不能存在互质关系。
8、例如：4 和 7 互质；16 和 11 互质；25 和 13 互质。6、当两个合数的公因数只是 1 时，这两个合数也会互质。三、公倍数：三、公倍数：如果几个数公有相同的倍数，那么这些倍数叫做这几个数的公倍数。四、四、最小公倍数：最小公倍数：1、几个公倍数中存在最小的一个，且这个公倍数就叫做这几个数的最小公倍数。例如：4 的倍数有 4、8、12、16、20、24 3 的倍数有 3、6、9、12、15、18、21、24 其中 12、24就是 4 和 3 的公倍数；而 12 是它们的最小公倍数。2、较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。3、如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是
9、它们的最小公倍数。例如：4 和 5 是互质数，那么它们的最小公倍数就是：45=20 4、几个数的公因数的个数是有限的；而它们的公倍数的个数却是无限的。（四）（四）小数小数 一、小数一、小数 1、小数的意义：5/32 学科网（北京）股份有限公司（1）把整数 1 平均分成 10 份、100 份、1000 份、10000 份，得到的十分之几、百分之几、千分之几、万分之几 都可用小数来表示。例如：（2）反过来，一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几、四位小数表示万分之几等。例如：（3）一个小数通常由整数部分、小数点和小数部分组成。整个数中的小圆点叫做小数点；小数点左边的数叫做
10、整数部分；小数点右边的数叫做小数部分。例如：（4）在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都 10。因此，整数部分的最低单位是“一（也叫个）”，其相邻两个数之间的进率是 10；小数部分的最高分数单位是“十分之一”，其相邻两个数之间的进率也是 10。2、小数的读写：（1）含有整数部分和小数部分的小数读法：先读整数数位，再读小数点，最后读小数数位。小数部分：非零数字前的 0 都要读，而末尾的 0 则不读。整数部分：之前整数读法一样，每级末尾不管有几个 0 都不读，其他数位上有一个 0 或连续几个 0，都只读一个 0。例如：23.02030 读作：二十三点零二零三 300102.005100 读作：三
11、十万零一百零二点零零五一（2）含有整数部分和小数部分的小数写法：写数要按照从左到右、从高位数写到低位数的方法。要按照“亿、万、个、十分”的数级单位来读写。例如：五百零三万零二十七点零三零零一六写作：5030027.030016 二、二、小数的分类小数的分类 6/32 学科网（北京）股份有限公司 1、纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如：0.152、0.0237 都是纯小数。2、带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。例如：2.185、15.0960 都是带小数。3、有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。例如：21.71、28.03、10.083 都是有限小数。4、无限小
12、数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。例如：4.3031 ；3.1415926 注意：无限小数与有限小数无法简单的以定义来确定大小，必须结合具体小数的大小。5、无限小数又分为无限不循环小数和循环小数（1）无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限个，这样的小数就叫做无限不循环小数。例如：，2.1231591268728 （2）循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。例如：3.205205205 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字部分叫做这个循环小数的循环节。例如 3.205205205 里面的“205”就是循环
13、节。（a）纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。例如：6.11111；(b)混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。例如：7.031525252；（3）为了简便，写循环小数时小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点即可。特别的：如果循环节只有一个数字，那么就只在它的上面点一个点即可。7/32 学科网（北京）股份有限公司 （五）（五）分数分数 一、一、分数分数的概念的概念 1、分数的意义 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数就叫做分数。在分数里，中间的横线“”叫做分数线，也叫分号；分数线下面的数，叫做
14、分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的分数单位多少份。2、分数单位 把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。例如：59 的分数单位就是 19，表示有 5 个这样的分数单位。3、分数的分类 （1）真分数：分子比分母小的分数叫做真分数；真分数小于 1。例如：这些就是真分数。（2）假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于 1。例如：85，1111，73 这些就是假分数。（3）带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。例如：这些就是带分数。4、分数的读法 读分数时，先读分母再读“分之”然后读分
15、子，分子和分母按照整数的读法来读。例如：815，读作：十五分之八 8/32 学科网（北京）股份有限公司 5、分数的写法 写分数时，先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。例如：六分之五，写作：56 二、分数的二、分数的约分和通分约分和通分 1、约分：把一个分数化简成同它大小相等但分子、分母都缩小的分数，叫做约分。换句话说，分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。例如：这就是分数的约分。分数的约分，要先找出分子与分母的最大公因数，然后分子与分母同时除以这个最大公因数，从而进行约分。2、通分：把各个异分母分数分别化成和原来分数相等，且分母都变得相同的同分母分数，就叫做通分。例如：就是
16、通成同分母分数的通分。分数的通分，主要先算出各分母的最小公倍数，然后每个分数的分母都变成该“最小公倍数”。同时，分子也跟着扩大与分母扩大相同的倍数，从而进行通分。三、三、倒数倒数 1、将一个分数的分子和分母交换位置后，就变成了原分数的倒数；并且，互为倒数的两个数之积为 1。2、整数的倒数是分数；真分数的倒数是假分数；假（带）分数的倒数是真分数。3、乘积是 1 的两个数互为倒数，倒数不是单独存在的，不能说某个数是倒数，要说明谁和谁互为倒数。4、0 没有倒数。（六）（六）百分数和正负数百分数和正负数 一、一、百分数百分数 9/32 学科网（北京）股份有限公司 1、百分数：表示一个数是另一个数的百分
17、之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。2、百分号：百分数通常用数后面加“%”来表示。百分号是表示百分数的专有符号。例如：30%、25.6%、89.3%这些都是百分数。3、小数、分数和百分数的相互换算：（1）小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在数的后面添上百分号“%”即可。例如：2.3623.6%；0.0373.7%（2）百分数化成小数：把百分数化成小数，只要先把百分号“%”去掉，同时把小数点向左移动两位。例如：25.6%0.256；86%0.86（3）分数化成百分数：通常要先把分数化成小数（商有余数，除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。例如：（4）百分数化成分数：
18、先把百分数的百分号去掉，改写成小数；再化成分数，能约分的要约成最简分数。例如：4、出勤率和缺勤率 出勤率与缺勤率：是指出（缺）勤的人数占总人数的百分之几。计算方法为：二二、数的意义、数的意义 1、整数 10/32 学科网（北京）股份有限公司 像5、2、1、0、1、4、6这样的数统称为整数；整数个数是无限个；没有最小的整数，也没有最大的整数。2、正整数和负整数 像 5、8、10、16 这样的数叫做正整数；像7、6、3 这样的数叫做负整数；最小的正整数是 1，没有最大的正整数；最大的负整数是1，没有最小的负整数。3、自然数 最小的自然数数是 0，没有最大的自然数；自然数都是整数。但整数不一定都是自
19、然数。三、正数和负数三、正数和负数 1、正数 像8、120、920、1.28 这些大于 0 的数叫做正数。“”读作“正”，“”后面加什么数（几）就读“正几”。例如：59 读作：正五十九 在数的前面加“”，但是正数的“”号可以省略不写。2、负数 像12、20、1318、3.266 这些小于 0 的数叫做负数。“”读作负，“”后面加几就读“负几”。例如：28 读作：负二十八 在数的前面加“”，“”不可以省略。例如：负三分之一，写作：13 3、特别的，0 既不是正数也不是负数。11/32 学科网（北京）股份有限公司 第第二二章章：数数和数的运算和数的运算 （一）（一）数的读法和写法数的读法和写法 一
20、、整一、整数的读法和写法数的读法和写法 1、整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的 0 都不读，其它数位连续有几个 0 也都只读一个零。例如：3050102300 读作：三十亿五千零一十万二千三百 2、整数的写法：一级一级地从高位到低位写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写 0。例如：五亿零三十二万零七百零二，写作：500320702 整数部分：亿级、万级、个级 小数部分：十分位、百分位、千分位、万分位 二、小二、小数的读法和写法数的读法和写法 1、小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法，小
21、数点读作“点”；小数部分按照从左向右的顺序直接读出每一个数字。例如：52302.308 读作：五万二千三百零二点三零八 2、小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分按顺序写出每一个数位上的数字。例如：一千零九十三点零零八二，写作：1093.0082 三、分三、分数的读法和写法数的读法和写法 1、分数的读法：读分数时，先读分母，再读“分之”，最后读分子。同时，分子和分母按照整数的读法来读。12/32 学科网（北京）股份有限公司 例如：59112，读作：一百一十二分之五十九 2、分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。例如：三千
22、二百三十七分之六百八十五，写作：6853237 四、百分四、百分数的读法和写法数的读法和写法 1、百分数的读法：读百分数时，先读“百分之”，再读百分号前面的数；读数时数位要按照整数和小数的读法规则来读。例如：25.89%读作：百分之二十五点八九 2、百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，如果是分数要先化为小数，然后再向右移动小数点两位，后面加上百分号“%”来表示百分数。例如：百分之三百一十六点一三七写作：316.137%五、五、数的改写数的改写 一个较大的多位数，为了方便读写，有时会改写成用“万”或“亿”作单位的数来表示。还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。改写的方法技巧：
23、多位数改写为“万”、“亿”（1）直接改写：改写为“万”，小数点向左移 4 位，后面加万；改写为“亿”，小数点左移 8位，后面加亿。（2）近似改写：先四舍五入省略掉“万”或“亿”后面的尾数，再在后面加“万”或“亿”。1、准确数：为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。13/32 学科网（北京）股份有限公司 例如：1637300000 改写成以“万”做单位的数：163730 万；改写成以“亿”做单位的数：16.373 亿。2、近似数：根据实际需要，可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。例如：2708390015 省略“亿”后面的
24、尾数是 27 亿。3、四舍五入法：（1）要省略的数，如果尾数的最高位上的数是 4 或者比 4 小的数，就把尾数去掉；（2）如果尾数的最高位上的数是 5 或者比 5 大，把尾数舍去，并向它的前一位进 1。例如：2335900 省略万后面的尾数约是 234 万。（二）（二）数的数的比较大小比较大小与互化与互化 一、数的一、数的比较大小比较大小 1、整数比较大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大；如果位数相同，就看最高位上的数的大小，最高位上的数大的，该数就大；最高位上的数相同，就看下一位，直到能比较出哪一位上的数大的，那个数就大。2、比较小数的大小：先看要比较的数的整数部分，整数部分大的那个数就
25、大；整数部分相同的，就看小数部分。从十分位看起，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，直到能比较出哪一位上的数大的，那个数就大。3、比较分数的大小：（1）同分母的分数比较大小，分子大的分数比较大；（2）分子相同的数，分母小的分数就大；（3）而分母和分子都不相同的分数，要先通分，然后再比较两个数的大小。14/32 学科网（北京）股份有限公司 二、二、数的互化数的互化 1、小数化成分数：原来的小数，整数部分先不看，只看有几位小数，就在 1 的后面写几个零作为转换后的分数的分母。同时，把原来整个小数的小数点去掉，作为分子，然后简称是否为最简分数，能约分的一定要
26、约分。例如：2、分数化成小数：分子直接除以分母，结果就是小数了，能除尽的就化成有限小数；有的不能除尽，商有余数的，不能化成有限小数的，一般都是保留三位小数。例如：3、一个最简分数判断是否为有限小数的方法技巧：最简分数的分母，分解质因数后，如果除了 2 和 5 以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有 2 和 5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。例如：（有限小数）因为 20225（无限小数）因为 12223 4、带分数化为假分数 将带分数前面的系数乘以分母，然后加上原来的分子，即成为新的分子，分母不变。此时就变成了一个分子大于分母的假分数。例如：5、假分数化为
27、带分数 假分数化为带分数是带分数化为假分数的逆运算，只需要将假分数的分子除以分母，商为系数，15/32 学科网（北京）股份有限公司 余数为带分数的分子即可。例如：（因为 19725）（三）（三）求最大公因数求最大公因数和最和最小公倍数小公倍数 一、一、短除法短除法 把一个合数分解成质因数，通常采用短除法。那什么是短除法呢？先用能整除这个合数的质数去除它，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式，这种方法就是短除法。例如：所以，36 分解质因数是：362233 二、二、求几个数的最大公因数求几个数的最大公因数 求几个数的最大公因数的方法：先找出这几个数的公因数，然后用这些公因数逐个去除这
28、几个数，一直除到各个数所得的商只有公因数 1 时停止；然后，把所有的除数连乘起来，求出积，这个所得的积就是这几个数的最大公因数。例如：求 18 和 24 的最大公因数 所以，18 和 24 的最大公因数是：236 三、三、求几个数的最小公倍数求几个数的最小公倍数 求几个数的最小公倍数的方法：先用全部数的公因数去除这几个数；或者其中某几个数的公因数去除，一直除到各数互质为止；然后，把所有的除数和商连乘起来，求出积，这个所得的积就是这几个数的最小公倍数。例如：求 12、15 和 20 的最小公倍数 16/32 学科网（北京）股份有限公司 所以，12、15 和 20 的最小公倍数是：22351116
29、0 四、互质关系的数四、互质关系的数 公因数只有 1 的两个数，叫做互质数，简称“互质”；互质数的两个数最大公因数是 1。成为互质关系的两个数，有下列几种情况：（1）1 和任何自然数互质。例如：1 和 9 互质，最大公因数是 1。（2）相邻的两个自然数互质。例如：4 和 5 互质，最大公因数是 1。（3）不同的两个质数互质。例如：3 和 11 互质，最大公因数是 1。（4）当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数也互质。例如：9 和 13 互质；27 和 7 互质，最大公因数是 1（5）两个合数的公因数只有 1 时，这两个合数也互质。例如：12 和 25 互质，最大公因数是 1。（四）（四）
30、通分和约分通分和约分 一、一、分数的基本性质分数的基本性质 分数的分子和分母同时都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小保持不变。二、二、分数的分数的约分约分 1、约分：用分子和分母的公因数（1 除外）持续去除分子、分母；一般要除到得出最简分数为止，也就是约到不能约分为止。此时，最简分数的分子与分母是互质数。注意：公因数只有 1 的两个数，叫做互质数，简称“互质”；互质数的两个数最大公因数是 1。17/32 学科网（北京）股份有限公司 2、约分的意义：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比原来分数小的分数，就叫做约分。3、约分的方法：（1）逐步约分法。用分子和分母的公因数（1 除外）去除
31、，一直除到分数的分子和分母只有公因数 1 为止。（2）一次约分法。先找出原分数的分子和分母的最大公因数，然后用这个最大公因数（1 除外）去除分子、分母，得出最简分母。4、分子和分母只有公因数 1 的分数叫做最简分数（分子和分母是互质数的分数叫做最简分数）。完全约分后的分数就是最简分数。三、分数的通分三、分数的通分 1、通分：根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来分数的值相等的同分母分数的过程，叫做通分。2、通分的方法：先求出原来几个分数的分母的最小公倍数；然后，每个分数的分母都需要变成该“最小公倍数”；同时，分子也跟着分母扩大相同的倍数，从而达到通分的目的。3、通分的依据：分数的分子、
32、分母同时乘以或除以一个不为零的数，分数的大小保持不变。4、通分的要点是确定几个异分母分数的“最简公分母”。其方法如下：（1）采用短除法，求出这些分母的最小公倍数；（2）该“最小公倍数”即是这些异分母分数的最简公分母；（3）根据分数的基本性质，把原来分数化为以该“最简公分母”为分母的分数。（五）（五）小数与分数的性质小数与分数的性质 18/32 学科网（北京）股份有限公司 一、一、商不变的规律商不变的规律：1、在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数，商不变。例如：1863 被除数和除数同时缩小 3 倍后是：623 被除数和除数同时扩大 2 倍后是：36123 2、在除法里，被除数和
33、除数同时乘以或者除以相同的一个数（零除外），商保持不变。例如：75155 被除数和除数同时除以 5 后是：（755）（155）1535 被除数和除数同时乘以 3 后是：（753）（153）225455 二二、小数的性小数的性质：质：1、在小数的末尾添上零或者去掉零，小数的大小保持不变。例如：3.2600 末尾去掉 0 后是：3.26 15.81 末尾添加 0 后是：15.810 小数的大小都会保持不变。2、小数点位置的移动引起小数大小的变化：（1）小数点向右移动一位，原来的数就会扩大10 倍；小数点向右移动两位，原来的数就会扩大 100 倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大 1000 倍以此
34、类推，就是小数点向右移动会引起小数的扩大。例如：13.52 小数点向右移动一位，原来的数扩大10 倍后是：135.2（2）小数点向左移动一位，原来的数就会缩小 10 倍；小数点向左移动两位，原来的数就会缩小 100 倍；小数点向左移动三位，原来的数就会缩小 1000 倍以此类推，就是小数点向右移动会引起小数的扩大。例如：175.3 小数点向左移动两位，原来的数缩小100 倍后是：1.753（3）小数点向左移或者向右移动位数时，不够数位的，要用“0”来补足位。例如：6.51 小数点向右移动三位，原来的数扩大1000 倍后是：6510 三、三、分数的基本性质分数的基本性质 19/32 学科网（北京
35、）股份有限公司 1、分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的一个数（零除外），分数的大小保持不变。分数的约分和通分就是分数的基本性质的体现。例如：2、分数与除法的关系 （1）式子表达关系：。（2）0 不能作为除数，因此，分数的分母不可以为零。（3）被除数就相当于分子，除数就相当于分母。（六）（六）四则运算四则运算 一、四则混合运算的意义：一、四则混合运算的意义：1、加法：把两个（或者几个）数合并成一个数的运算叫做加法。加法是将加数与加数合并起来的运算，求出的得数是几个数合并的结果。方法：相同数位要对齐，从低位加起，满十就向高位进一。例如：183108291 2、减法：已知两个加数的和与其中的一个
36、加数，去求另一个加数的运算叫做减法。减法是加法的逆运算。方法：相同数位要对齐，从低位减起，不够减就向高位借一。例如：835726 在减法中，已知的两个加数的和叫做被减数，其中一个加数叫做减数，求出的得数，也即是另一个加数叫做差。几个数连续相减的减法也是以此类推。例如：2232065138 3、乘法：一个数乘以整数，是求这几个相同加数的和的简便运算，或者可以理解为：是求这个数的几倍的结果。20/32 学科网（北京）股份有限公司 例如：12121212336 4、除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。除法是乘法的逆运算。方法：在除法中，已知的两个因数的积叫做被除数，其中
37、一个因数叫做除数，求出的得数，也即是另一个因数就叫商。例如：6397 5、加、减、乘、除四种运算统称四则运算。四则运算分为二级：加、减法为同一级运算，也叫做第一级运算；乘、除法为同一级运算，也叫做第二级运算。二、运算的顺序：二、运算的顺序：1、在一个算式里，如果没有括号，且只含有同一级运算，要从左到右依次计算；如果含有两级运算，需要先算第二级运算（乘、除法先算），然后再算第一级运算（加、减法后算）。2、在有括号的算式里，要先算括号里的，再算括号外的。但是，括号里与括号外也同样要遵循四则运算顺序。3、四则运算的顺序的简单记忆法：(1)运算等级 第一级:加减法 第二级:乘除法(2)运算顺序 先乘除
38、，后加减；左到右，依次算；有括号，优选算。（七）（七）小数的运算小数的运算 一、小数的加法一、小数的加法 21/32 学科网（北京）股份有限公司 1、小数加法的意义 小数加法，即是将两个小数合并成一个数的运算，其运算结果可以是小数，或者整数。2、小数加法的法则 小数加法的法则与整数加法的法则基本一致，相同的数位要对齐。但是，小数中有小数点，要优先考虑小数点对齐；然后，相同的位数就能对齐。小数加法步骤：（1）把各个加数的小数点上、下对齐；（2）按照加法的法则进行计算，从右边最末一位加起，一旦满十进一；（3）计算结果（得数）的小数点要与加数的小数点上下对齐。二、小数的减法二、小数的减法 1、小数减
39、法的意义 小数减法，即是已知两个小数的和与其中的一个小数，求另一个小数的运算，是小数加法的逆运算。2、小数减法的法则：小数点先对齐，相同位数也要对齐。小数减法步骤：（1）把被减数和减数的小数点上、下对齐；（2）按照减法的法则进行计算，从右边最末一位数减起；遇到数不够减时，要从其左边的数位借一当十；（3）计算的结果（得数）的小数点要与被减数、减数的小数点上下对齐。三、小数的乘法三、小数的乘法 1、小数乘法的意义 小数乘法和整数乘法的一样，即是求几个相同加数的和的简便运算形式；也即是将几个相同加数简写成乘法的运算。2、小数乘法法则：（1）把相乘的各个小数都看做整数，按照整数的乘法法则进行计算，先求
40、出整数乘法的积；22/32 学科网（北京）股份有限公司（2）再看各个相乘的小数一共有几位小数，便从积的右边算起，数出几位数，点上小数点。（3）如果乘法的得数，即积为小数，其末尾出现 0 时，可把小数末尾的 0 去掉。四、小数的除法四、小数的除法 1、小数除法与整数除法的意义相同，即是已知两个小数的积与其中一个小数，求另一个因数（小数）的运算，是乘法的逆运算。2、小数除法的法则 小数除法与整数除法的法则基本一致：（1）当除数是整数时，可按照整数除法的法则直接进行计算；商的小数点与被除数的小数点对齐即可。如果商有余数，就按照整数除法的计算方式即可。（2）当除数是小数时，根据“被除数和除数同时乘相同
41、的数商不变”的基本性质，先把除数的小数点去掉，使它变成整数。此时，梳理清楚除法扩大了几倍，被除数的小数点也向右移动相同的位数，随着除数扩大几倍。如果被除数位数不够的，要进行添 0 补足，再按照整数的除法法则进行计算即可。五、小数四则运算的顺序：五、小数四则运算的顺序：1、在一个小数四则运算算式里，如果没有括号，且只含有同一级运算，从左到右依次计算；如果含有两级运算，需先算第二级运算（小数乘、除法先算）；然后算第一级运算（小数加、减法）。2、在有括号的小数算式里，要先算括号里的乘除、加减；后算括号外的乘除、加减法。（八）（八）分数的运算分数的运算 一、分数的加法一、分数的加法 1、分数加法的意义
42、 分数加法，即是将两个分数合并成一个数的运算，其运算结果可以约分的要进行约分，得数可以是分数，也可以是整数。23/32 学科网（北京）股份有限公司 2、小数加法的法则（1）同分母分数相加，分母不变，分子进行相加即可。得数作分子，分母不变。得数可以约分时，要进行约分。（2）异分母分数相加，首先要通分；然后，按照同分母分数相加的方法进行分子相加计算，分母不变。同样，得数可以约分时，要进行约分。（3）带分数相加，可以先把带分数化为假分数，然后再按照分数加法法则进行计算。二、分数的减法二、分数的减法 1、分数减法的意义 分数减法，即是已知两个分数的和与其中的一个分数，求另一个分数的运算，是分数加法的逆
43、运算。2、分数减法的法则：（1）同分母分数相减，分母不变，分子进行相减即可。得数作分子，分母不变。得数可以约分时，要进行约分。但当分子相减为 0 时，整个分数的值为 0，也就是运算结果为 0。（2）异分母分数相减，首先要通分；然后，按照同分母分数相减的方法进行分子相减计算，分母不变。同样，得数可以约分时，要进行约分。同样，分子相减为 0 时，整个分数的值为 0。（3）带分数相减，可以先把带分数化为假分数，然后再按照分数减法法则进行计算。注意：当带分数相减采取“整数部分减整数部分，分数部分减分数部分”的方法时。如果被减数的分数部分小于减数的分数部分，就要从被减数的整数部分里拿出 1 或者更多的其
44、他数字，化成假分数，与原来被减数的分数部分合在一起，从而凑成分数（被减数）够相减。三、分数的乘法三、分数的乘法 1、分数乘法的意义 分数乘法，主要是分子乘以分子，分母乘以分分母即可。得数能约分的要进行约分。注意：0 乘以分数，结果还是得 0。四、分数的除法四、分数的除法 1、分数除法，最重要的是将除号变成乘号，除号后的数变成倒数，然后按照分数乘法的法则进行计算即可。24/32 学科网（北京）股份有限公司 2、倒数：一个分数的倒数，就是将分数的分子与分母进行调换位置。注意：（1）0 没有倒数；（2）真分数的倒数是假分数；（3）不等于 1 的假分数的倒数是真分数；（4）带分数的倒数也是真分数。五、
45、分数四则运算的顺序：五、分数四则运算的顺序：1、在分数四则运算的算式里，如果没有括号，且只含同一级运算的，从左到右依次计算；如果含有两级运算的，需要先算第二级运算（分数乘除法先计算）；然后算第一级运算（分数加减法）。2、如果分数算式含有括号的，要先算括号里的乘除法、依次是加减法；后算括号外的乘除法、最后是加减法。（九）（九）简便运算简便运算 一、简便运算的简述：一、简便运算的简述：简便运算，是一种十分特殊却又好用的计算方法。如果能够掌握该计算方法，将使题目的运算变得既快速又准确。在小学阶段对计算题目将起到很大的辅助作用。简便运算的本质就是想方设法将计算结果凑得整十、整百、整千等。运用一些简便运
46、算定律，可以十分巧妙的将一些看似复杂的数，很快的得出一个工整易算的得数。简便运算的三种常见又十分主要的运算定律，分别是：交换律、结合律和乘法分配律。这是三种既基本又巧妙的运算方法与技巧。学习简便运算定律的目的，就是看题目怎么简便就怎么算！做到熟能生巧，基本的运算定律公式定要熟练过关。二、交换律：二、交换律：交换律，就是交换数字的位置。在计算的式子中，结合数字与数字之间的特点，找到合适的位置放在一起加减或乘除，使计算简便，结果易得。25/32 学科网（北京）股份有限公司 注意：交换数字的位置时，要学会带着符号“搬家”，也就是当一个数字要调换位置的时候，记得要将它前面的符号（比如、或者、）也一起搬
47、运走，切记是数字前面的符号。例如：“12.6”、“5”就是符号和数字要一起搬动位置。三、结合律：三、结合律：结合律，经常与交换律一起运用。经过交换位置后，或者采取直接添括号或去括号的方法与技巧，使数字与数字计算简便，结果易得、工整。使看似复杂的计算题目变得快速与准确。注意：添括号时：（1）“（）”，“号”后面带个括号，此时括号里面的数要变符号，“”的变“”，“”的变“”。但是，数字的位置却不改变。（2）“（）”，“号”后面带个括号，此时括号里面要改变符号，原来“”的变“”、“”的变“”。同样，数字的位置不改变。四四、分配律：、分配律：要熟练掌握乘法分配律的基本运用及其变形变形，以及拆数法、补数
48、法、分解法等方法的使用。对题目进行详细分析，选择适合的方法让计算题目更为容易计算，运算过程更加简便。要过关要过关的一些的一些运算定律公式运算定律公式：（1 1）a ab bc=ac=ac cb b （2 2）a ab bc=ac=ac cb b （3 3）a ab bc=ac=a(c cb)b)（4 4）abc=acbabc=acb （5 5）abc=acbabc=acb （6 6）abc=acbabc=acb （7 7）abc=a(bc)abc=a(bc)（8 8）abc=a(bc)abc=a(bc)（9 9）a(ba(bc)=abc)=abacac （1010）a(ba(bc)=abc)=
49、abacac （1111）ababac=a(bac=a(bc)c)（1212）ababac=a(bac=a(bc)c)26/32 学科网（北京）股份有限公司 第第三三章章：式与方程：式与方程 （一）（一）等式等式 一、用字母表示数一、用字母表示数 1.任意数或者式子都可以用字母来表示。而且，字母也可以表示符合特定条件的某一个数；或者表示具有某些变化规律的数。总之，字母具有表示数或者关系式的功能。2.用字母表示数有助于对概念定义的理解合消化，能使数与数间的关系变得简明、扼要，具有重要的意义。3.用字母表示数时，要注意书写格式。（1）数字与字母、字母与字母相乘，中间的乘号省略不写；或者用“”（点）
50、来表示。例如：acac；bcbc；（2）字母和数字相乘时，除了省略乘号外，数字也要放到字母的前面。（3）“1”与任何字母相乘时，“1”都省略不写。例如：1cc 4.当出现除式时，除式变成分数形式，通常用分数表示。5.字母间的运算结果含加、减算式子时，单位前要加“（）”。6.分数是带分数时，带分数要化成假分数。二、字母式子的求解二、字母式子的求解 用字母来表示一个数，那么数与数之间的运算，就变成了字母与字母之间的运算。此时，可以通过四则运算法则求解出某个字母所表示的数。这就是我们通常所谓的求解含 x 的方程，也即是含字母式子的求解。例如：x 的 2 倍与 6 的和等于 18，求解出 x？27/3