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1、 学科网（北京）股份 有限公司 高一数学试卷 第 1 页 共 4 页 2023-2024 学年第一学期福州市四校教学联盟 1 月期末学业联考 高一高一数学数学试卷试卷 考试范围：必修一 考试时间：1月3日 命题教师 完卷时间：120 分钟 满 分：150分 一、一、单项选择题单项选择题：本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分分。在每小题所给出的四个选项中，只有一在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的。个选项是符合题意的。1集合A=x 2 b 0，c d，则下列结论正确的是 Aa+c b+d Ba c b d Cac bd Dadbc3函数y
2、=|ln(x 1)|的图象大致是 A B C D4命题p：是第二象限角或第三象限角，命题q：cos 0”为真命题的一个充分不必要条件可以是 Aa 12Ba 12Ca 1 Da 258已知f(x)=ax2 1是定义在R上的函数，若对于任意3 x1 x2 1，都有f(x1)f(x2)x1x2 2，则实数a的取值范围是 A0 B0,+)C13,+)D13,0)学科网（北京）股份 有限公司 高一数学试卷 第 2 页 共 4 页 二二、多项多项选择题选择题：本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分。在每小题所给出的四个选项中，在每小题所给出的四个选项中，有多个有多
3、个选项选项是符合题意的是符合题意的。9下列大小关系正确的是 A20.3 20.4 B30.2 40.2 Clog23 log32 10设正实数x，y满足x+y=2，则下列说法正确的是 A1x+1y的最小值为 2 Bxy的最小值为 1 Cx+y的最大值为 4 Dx2+y2的最小值为 2 11已知函数y=2sin(2x3)+3，则下列结论正确的有 A函数的最小正周期为 B函数的一个单调增区间为(512,1112)C函数的一个对称中心是(56,0)D函数的一条对称轴是x=1112 12已知函数f(x)=x2 kx+1,x 0log2x,x 0，下列关于函数y=ff(x)+1的零点个数的说法中，正确的
4、是 A当k 1，有 1 个零点 B当k 1时，有 3 个零点 C当k 0时，有 9 个零点 D当k=4时，有 7 个零点 三、填空题三、填空题：本本大大题共题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，分，满分满分 20 分分。13已知扇形的圆心角是2rad，其周长为6cm，则扇形的面积为 cm2 14函数 ylog12sinx的定义域是 15已知函数f(x)=(m2 m 1)xm22m2是幂函数，且在(0,+)上递增，则实数m=.16已知函数f(x)=2x+a,x ax2+2ax,x a 给出下列四个结论：当a=0时，f(x)的最小值为 0；当a (1,0)(13,+)时，f(x)不存在最小值；
5、f(x)零点个数为g(a)，则函数g(a)的值域为0,1,2,3；当a 1时，对任意x1，x2 R，f(x1)+f(x2)2f(x1+x22)其中所有正确结论的序号是 四、解答题四、解答题：本本大大题共题共 6小题，小题，满分满分 70分分。除第除第 17 小题小题 10 分以外，每小题分以外，每小题 12 分。分。17设m R，已知集合A=x|3x+2x1 1，B=x|2x2+(m 2)x m 0)的最小正周期为.(1)求f(6)的值；(2)求函数f(x)单调递增区间；(3)求f(x)在区间0,2上的最值.20某环保组织自 2023 年元旦开始监测某水域中水葫芦生长的面积变化情况并测得最初水
6、葫芦的生长面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自 2023 年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.最初测得该水域中水葫芦生长的面积为n（单位：m2），二月底测得水葫芦的生长面积为24m2，三月底测得水葫芦的生长面积为64m2，水葫芦生长的面积y（单位：m2）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是y=nax(n 0,a 1)；另一个是y=px12+n(p 0,n 0)，记 2023 年元旦最初测量时间x的值为 0.(1)请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式；(2)该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研
7、究时其生长面积的 240 倍以上？（参考数据：lg2 0.3010,lg3 0.4771）.21已知函数f(x)=a2x2+2ax a2+1.(1)当a=2时，求f(x)0的解集；(2)是否存在实数x，使得不等式a2x2+2ax a2+1 0对满足a 2,2的所有a恒成立？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.学科网（北京）股份 有限公司 高一数学试卷 第 4 页 共 4 页 22已知函数y=f(x)，x D，如果对于定义域 D内的任意实数 x，对于给定的非零常数 P，总存在非零常数 T，恒有f(x+T)P f(x)成立，则称函数f(x)是 D上的 P 级递减周期函数，周期为 T；若恒有f
8、(x+T)=P f(x)成立，则称函数f(x)是 D上的 P 级周期函数，周期为 T.(1)判断函数f(x)=x2+3是 R 上的周期为 1 的 2 级递减周期函数吗，并说明理由？(2)已知T=2，y=f(x)是0,+)上的 P 级周期函数，且y=f(x)是0,+)上的严格增函数，当x 0,2)时，f(x)=sinx+1.求当x 2n,2(n+1)(n N)时，并求实数 P 的取值范围；(3)是否存在非零实数 k，使函数f(x)=(12)x coskx是 R 上的周期为 T 的 T 级周期函数？请证明你的结论.学科网（北京）股份 有限公司 高一数学答案解析 第 1 页 共 10 页 2023-
9、2024 学年第一学期福州市四校教学联盟学年第一学期福州市四校教学联盟 1 月期末学业联考月期末学业联考 高一数学答案解析高一数学答案解析 一、一、单项选择题单项选择题：本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分分。在每小题所给出的四个选项中，只有一在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的。个选项是符合题意的。题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 C A B C D D C C 二二、多项多项选择题选择题：本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分。在每小题所给出的四个选项中，在每小题所给出的四
10、个选项中，有多个有多个选项选项是符合题意的是符合题意的。题号题号 9 10 11 12 答案答案 ABD AD AD AD 三、填空题三、填空题：本本大大题共题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，分，满分满分 20 分分。13 94 14x|2k x 2k+,k Z 151 16 1C【分析】运用集合交集的定义直接求解即可【详解】因为集合=2 ，由不等式的可加性可得+，故 A 正确；当=3，=2，=4，=1时，=1，=1，故 B 错误；当=3，=2，=2，=3时，=6，=6，=，故 C 错误；当=3，=2，=2，=3时，=1，=1，=，故 D 错误.故选：A 3B【分析】=|ln(1)|0
11、恒成立，排除 CD，根据定义域排除 A，得到答案.【详解】=|ln(1)|0恒成立，排除 CD，=|ln(1)|的定义域为(1,+)，排除 A.故选：B.4C【分析】若是第二象限角或第三象限角，则cos 0，举反例得到不必要性，得到答案.【详解】若是第二象限角或第三象限角，则cos 0；学科网（北京）股份 有限公司 高一数学答案解析 第 2 页 共 10 页 若cos 0，取=，cos=1 0等价于 1，2，2+1恒成立，设()=2+1，则()=2+1=1+1 25，12 所以命题为真命题的充要条件为 12，所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为 1 故选 C【点睛】解题的关键是得到命题为
12、真命题时的充要条件，由于求的是命题为真时的一个充分不必要条件，故所选的范围应是充要条件对应范围的真子集，考查对充分条件、必要条件概念的理解 8C【分析】由3 1 2 1，(1)(2)12(2)22，构造函数()=()2，则()=()2=2 1 2是3,1上的减函数，对实数分类讨论即可.【详解】因为对任意3 1 2 1，(1)(2)12 2(1 2)，即(1)21(2)22，构造函数()=()2，则(1)(2)，所以函数()=()2=2 1 2是3,1上的减函数.当=0时，函数()=1 2是3,1上的减函数，符合题意；学科网（北京）股份 有限公司 高一数学答案解析 第 3 页 共 10 页 当
13、0时，函数()=2 1 2图象的对称轴为直线=1，当 0时，函数()=2 1 2是3,1上的减函数，符合题意；当 13.综上所述，实数的取值范围足13,+)，故选：C.9ABD【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的单调性比较大小.【详解】A 选项：由指数函数=2为单调递增函数，可得20.3 20.4成立，所以A选项正确；B 选项：由幂函数=0.2为单调递增函数，可得30.2 log48，所以 C 选项不正确；D 选项：由函数=log2与=log3均为单调递增函数，则log23 log22=1，而log32 0,0，所以1+1=12(+)(1+1)=12(2+)12(2+2)=2，当且仅当=1
14、时等号成立，所以1+1的最小值为 2，故 A 正确；对于 B，(+2)2=1，当且仅当=1时等号成立，所以的最大值为 1，故 B 错误；对于 C，(+)2=+2=2+2 4，当且仅当=1时等号成立，所以+2，即+的最大值为 2，故 C 错误；对于 D，2+2=(+)2 2=4 2 2，当且仅当=1时等号成立，所以2+2的最小值为 2，故 D 正确.故选:AD.11AD【分析】利用=sin(+)+的图象与性质，对选项一一验证即可.学科网（北京）股份 有限公司 高一数学答案解析 第 4 页 共 10 页【详解】对于 A：=2sin(2 3)+3的最小正周期为=22=，故 A 正确；对于 B：当51
15、2 1112时，2 2 3 1和=4讨论并作出函数()图象，数形结合即可判断得解.【详解】由=0，得()=1，则函数=()+1的零点个数即为()=1解的个数，设()=，则()=1，二次函数=2 +1，其图象开口向上，过点(0,1)，对称轴为=2，当 1时，=2 +1在(,0上单调递减，且 1，如图，由()=1，得log2=1，解得=12，由()=，得log2=12，解得=2，因此函数=()+1的零点个数是 1，A 正确，B 错误；当=4时，()=2+4+1,0log2,0，作出函数()的图象如图，由图象知()=1有 3 个根，当 0时，log2=1，解得=12；当 0时，2+4+1=1，解得=
16、2 2，当=12时，()=12，若log2=12，则=2，若2+4+1=12，则=2 142，此时共有 3 个解；当=2+2时，()=2+2，此时log2=2+2有 1 个解，学科网（北京）股份 有限公司 高一数学答案解析 第 5 页 共 10 页 2+4+1=2+2，即(+2)2=1+2有 2 个解，当=2 2时，()=2 2，此时log2=2 2有 1 个解，2+4+1=2 2即(+2)2=1 2 0无解，因此当=4时，函数=()+1的零点个数是 7，D 正确，C 错误.故选：AD【点睛】方法点睛：关于复合函数的零点的判断问题，首先将零点问题转化为方程的解的问题；解答时要采用换元的方法，利
17、用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方程的解.1394【分析】直接利用扇形的周长和扇形的面积公式求出结果.【详解】设扇形的圆心角为，半径为.所以扇形的周长为+2=6，=32,所以扇形的面积=122=94.故答案为：94.14|2 2+,【解析】利用偶次根式的意义和对数的真数大于零，得到正弦的范围，再结合正弦函数图象特征解出自变量 x 的取值集合即可.【详解】由log12sin 0=log121知，0 sin 1，由正弦函数图象特征知，2 2+,故定义域为|2 2+,.故答案为：|2 2+,.151【分析】根据幂函数系数为1并结合单调性即可求解.【详解】由题意
18、得2 1=1，解得=2或=1，当=2时，()=2在(0,+)上递减，不符合题意；当=1时，()=在(0,+)上递增，符合题意；故答案为：1.16【分析】根据指数函数、二次函数性质求()值域判断；由(,)上值域为(,2+)，讨论 0、0确定在,+)上值域，根据()不存在最小值，列不等式组求参数范围；讨论 0，分析各分段上零点的个数判断；用特殊值=4，得到(3)=12,(4)=48,(5)=65即可判断.【详解】当=0时，()=2,02,0，在(,0)上的值域为(0,1)，在0,+)上值域为0,+).学科网（北京）股份 有限公司 高一数学答案解析 第 6 页 共 10 页 所以()的最小值为 0，
19、故正确；在(,)上()的值域为(,2+)，当 0时，在,+)上值域为32,+)；当 或 ，解得 13或1 0，故正确；=2+至多一个零点，=2+2至多有两个零点，当 0，则()存在一个零点；若2+0，()不存在零点，所以 0时，()零点个数可能为 2 或 3 个；若=0，则()=2,0，即(,0)上无零点，而2=0 =0，故()有一个零点，即(0)=1；若 0，则()=2+,0，无零点，,+)时，2+2=0也无解，故()无零点，即()=0；综上，()的值域为0,1,2,3，故正确；当=4时，()=2+4,42+8,4，则(3)=12,(4)=48,(5)=65，所以(3)+(5)=77 2(4
20、)=96，故错误.故答案为：.【点睛】关键点点睛：对于，注意结合指数函数、二次函数性质，应用分类讨论分析各分段零点的可能情况.四、解答题四、解答题：本本大大题共题共 6小题，小题，满分满分 70分分。除第除第 17 小题小题 10 分以外，每小题分以外，每小题 12 分。分。17(1)(32,1)；(2)(3,+).【分析】（1）分别解不等式求出集合 A，B，然后由并集运算可得；（2）根据集合包含关系，对 m 分类讨论即可.【详解】（1）3+21 1 2+31 0，解得=(32,1)，22+(2)0 (2+)(1)0 当=1时，得=(12,1)，所以 =(32,1)(12,1)=(32,1).
21、学科网（北京）股份 有限公司 高一数学答案解析 第 7 页 共 10 页（2）若“”是“”的必要不充分条件，所以 AB，解方程(2+)(1)=0得=2或=1，当=2时，=，不满足题意；当2 2时，=(2,1)，因为 AB，所以2 3；当2 1，即 0)的最小正周期为，则2=，=2，学科网（北京）股份 有限公司 高一数学答案解析 第 8 页 共 10 页()=2sin(2+3)+1，(6)=2sin(2 6+3)+1=3+1；（2）取2 2 2+3 2+2,Z，解得 512 +12,Z，故()的单调递增区间为 512,+12,Z；（3）0,2，则2+3 3,43，当2+3=2，即=12时，()m
22、ax=(12)=3；当2+3=43，即=2时，()min=(2)=3+1；故()的最大值为3，最小值为3+1.20(1)第一个函数模型=(0,1)满足要求，理由见解析，=278(83)(2)该水域中水葫芦生长的面积在 7 月份是元旦开始研究时其生长面积的 240 倍以上【分析】（1）由随着的增大，=(0,1)的函数值增加得越来越快，而=12+(0,0)的函数值增加得越来越慢求解；（2）根据题意，由278(83)240 278求解.【详解】（1）解：两个函数模型=(0,1),=12+(0,0)在(0,+)上都是增函数，随着的增大，=(0,1)的函数值增加得越来越快，而=12+(0,0)的函数值增
23、加得越来越慢，在该水域中水葫芦生长的速度越来越快，即随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快，第一个函数模型=(0,1)满足要求，由题意知，2=243=64，解得=83=278，所以=278(83)；（2）由278(83)240 278，解得 log83240，又log83240=lg240lg83=1+3lg2+lg33lg2 lg3 5.59 故 6，该水域中水葫芦生长的面积在 7 月份是元旦开始研究时其生长面积的 240 倍以上.21(1)32,12(2)不存在，理由见解析【分析】（1）求解一元二次不等式即可；（2）关于的不等式恒成立问题转化为关于的函数最值问题求解，按系数符
24、号与轴与区间的关系分类讨论求解即可.学科网（北京）股份 有限公司 高一数学答案解析 第 9 页 共 10 页【详解】（1）=2时，函数()=42+4 3，不等式()0即为42+4 3 0，即(2+3)(2 1)0，解得32 12，不等式()0的解集为32,12.（2）设()=22+2 2+1=(2 1)2+2+1，2,2，根据题意知，()0在2,2上恒成立，当2 1=0时，解得=1，若=1，则()=2+1在2,2上单调递增，则()min=(2)=3 0，不符合题意；若=1，则()=2+1在2,2上单调递减，则()min=(2)=3 0，不符合题意；当2 1 0，即1 1时，()的图像为开口向下
25、的抛物线，要使()0在2,2上恒成立，需(2)0(2)0，即42 4 3 042+4 3 0，解得 32或 32，又1 0，即 1时，()的图像为开口向上的抛物线，其对称轴方程为=12，（i）当12 2，即1 1+174，12 1，此时无解；（ii）当2 12 2，即 1+174时，()在2,12上单调递减，在12,2上单调递增，()min=(12)=112 0，此时无解；（iii）当12 2，即1174 1时，()在2,2上单调递减，()min=(2)=42+4 3 0，解得 32或 12，32 1，此时无解；综上，不存在符合题意的实数.22(1)是，理由见解析；(2)当 2,2(+1)(N
26、)时，()=sin(2)+1，且 2,+)；学科网（北京）股份 有限公司 高一数学答案解析 第 10 页 共 10 页(3)存在，=2,Z.【分析】（1）利用 P 级递减周期函数定义，计算验证作答.（2）根据给定条件，利用 P 级周期函数定义，依次计算=1,2,3时解析式，根据规律写出结论作答.（3）假定存在符合题意的 k 值，利用 P级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答.【详解】（1）依题意，函数()=2+3定义域是 R，2()(+1)=2(2+3)(+1)2+3=2 2+2=(1)2+1 0，即 R，(+1)2()成立，所以函数()是 R 上的周期为 1 的 2 级递减周期函数
27、.（2）因=2，=()是0,+)上的 P级周期函数，则(+2)=()，即()=(2)，而当 0,2)时，()=sin+1，当 2,)时，2 0,2)，()=sin(2)+1，当 ,32)时，2 2,)，则()=(2)=2sin()+1，当 32,2)时，2,32)，则()=(2)=3sin(32)+1，当 2,2(+1)时，2 2(1),2)，则()=(2)=sin(2)+1，并且有：当 0,2)时，1,2)，当 2,)时，,2)，当 ,32)时，2,22)，当 2,2(+1)时，,2)，因=()是0,+)上的严格增函数，则有 2 2 222 321 ，解得 2，所以当 2,2(+1)(N)时
28、，()=sin(2)+1，且 2,+).（3）假定存在非零实数 k，使函数()=(12)cos是 R 上的周期为 T的 T级周期函数，即 R，恒有(+)=()成立，则 R，恒有(12)+cos(+)=(12)cos成立，即 R，恒有cos(+)=2 cos成立，当 0时，R，则 R，+R，于是得cos 1,1，cos(+)1,1，要使cos(+)=2 cos恒成立，则有 2=1，当 2=1，即2=1时，由函数=2与=1的图象存在交点知，方程2=1有解，此时cos(+)=cos恒成立，则=2,Z，即=2,Z，当 2=1，即2=1时，由函数=2与=1的图象没有交点知，方程2=1无解，所以存在=2,Z，符合题意，其中满足 2=1.