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1、第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年第一学期福州市四校教学联盟学年第一学期福州市四校教学联盟 1 月期末学业联考高一数学试卷月期末学业联考高一数学试卷 考试范围：必修一考试范围：必修一 考试时间：考试时间：1 月月 3 日日 完卷时间：完卷时间：120 分钟分钟 满满 分：分：150 分分 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，满分分，满分 40 分分.在每小题所给出的四个选项在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的中，只有一个选项是符合题意的.1.集合22,2,1,0,1AxxB=，cd，则下列结论正确
2、的是（）A.acbd+B.acbdC.acbdD.abdc3.函数ln(1)yx=的图象大致是（）AB.C.D.4.命题p：是第二象限角或第三象限角，命题q：cos0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（）A.12a B.12a C.1a D.25a 8.已知2()1f xax=是定义在R上的函数，若对于任意1231xx ，都有()()12122f xf xxx，则实数a的取值范围是（）A.0 B.0,)+C.1,3+D.1,03 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，满分分，满分 20 分分.在每小题所给出的四个选项在每小题所给出的四个选项中，
3、有多个选项是符合题意的中，有多个选项是符合题意的.9.下列大小关系正确的是（）A.0.30.422 B.0.20.234 C.24log 3log 8 10.设正实数x，y满足2xy+=，则下列说法正确的是（）A.11xy+最小值为 2 B.xy的最小值为 1 C.xy+的最大值为 4 D.22xy+的最小值为 2 11.已知函数2sin 233yx=+，则下列结论正确的有（）A.函数的最小正周期为 B.函数的一个单调增区间为5 11,1212 C.函数一个对称中心是5,06 D.函数的一条对称轴是1112x=的的 第3页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 12.已知函数221,0()log
4、,0 xkxxf xx x+=，下列关于函数()1yf f x=+的零点个数的说法中，正确的是（）A.当1k，有 1个零点 B.当1k 时，有 3 个零点 C.当0k 时，有 9 个零点 D.当4k=时，有 7 个零点 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分.13.已知扇形的圆心角是2rad，其周长为6cm，则扇形的面积为_2cm 14.函数 y12log sin x的定义域是_ 15.已知函数()()22221mmf xmmx=是幂函数，且在()0,+上递增，则实数m=_.16.已知函数()22,2,xa xaf xxax x
5、a+=+给出下列四个结论：当0a=时，()f x的最小值为 0；当1(1,0),3a+时，()f x不存在最小值；()f x零点个数为()g a，则函数()g a的值域为0,1,2,3；当1a 时，对任意1x，2Rx，()()121222xxf xf xf+其中所有正确结论的序号是_ 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，满分小题，满分 70 分分.除第除第 17 小题小题 10 分以外，每小题分以外，每小题 12分分.17.设mR，已知集合3211xAxx+=，()2220Bxxmxm=+的最小正周期为.（1）求6f的值及函数()f x单调递增区间；（2）求()f x在区间0,
6、2上最值.20.某环保组织自 2023年元旦开始监测某水域中水葫芦生长的面积变化情况并测得最初水葫芦的生长面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自 2023 年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.最初测得该水域中水葫芦生长的面积为n（单位：2m），二月底测得水葫芦的生长面积为224m，三月底测得水葫芦的生长面积为264m，水葫芦生长的面积y（单位：2m）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是(0,1)xynana=；另一个是12(0,0)ypxn pn=+，记 2023 年元旦最初测量时间x的值为 0.（1）请你判断哪个函数模型更适
7、合，说明理由，并求出该函数模型的解析式；（2）该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的 240 倍以上？（参考数据：lg20.3010,lg30.4771）.21.已知函数()22221f xa xaxa=+.（1）当2a=时，求()0f x 的解集；（2）是否存在实数x，使得不等式222210a xaxa+对满足2,2a 的所有a恒成立？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.22.已知函数()yf x=，xD，如果对于定义域 D内的任意实数 x，对于给定的非零常数 P，总存在非零的 第5页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 常数 T，恒有()()f xTP f x+
8、成立，则称函数()f x是 D 上的 P 级递减周期函数，周期为 T；若恒有()()f xTP f x+=成立，则称函数()f x是 D上的 P 级周期函数，周期为 T.（1）判断函数()23f xx=+是 R 上的周期为 1 的 2级递减周期函数吗，并说明理由？（2）已知2T=，()yf x=是)0,+上的 P级周期函数，且()yf x=是)0,+上的严格增函数，当0,2x时，()sin1f xx=+.求当()()*,1N22xnnn+时，函数()yf x=的解析式，并求实数P 的取值范围；（3）是否存在非零实数 k，使函数()1cos2xf xkx=是 R 上的周期为 T 的 T级周期函数
9、？请证明你的结论.第1页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 2023-2024 学年第一学期福州市四校教学联盟学年第一学期福州市四校教学联盟 1 月期末学业联考月期末学业联考 高一数学试卷高一数学试卷 考试范围：必修一考试范围：必修一 命题教师：徐凯命题教师：徐凯 审核教师：刘旭玲审核教师：刘旭玲 考试时间：考试时间：1 月月 3 日日 完卷时间：完卷时间：120 分钟分钟 满满 分：分：150 分分 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，满分分，满分 40 分分.在每小题所给出的四个选项在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的中
10、，只有一个选项是符合题意的.1.集合22,2,1,0,1AxxB=,则AB=（）A.1,1,2 B.2,1,0,1 C.1,0,1 D.2,1,0,1,2【答案】C【解析】【分析】运用集合交集的定义直接求解即可【详解】因为集合22,2,1,0,1AxxB=，cd，则下列结论正确的是（）A.acbd+B.acbd C.acbd D.abdc【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质可判断 A，其余选项可用特殊值验证.【详解】因为ab，cd，由不等式的可加性可得acbd+，故 A 正确；当3a=，2b=，4c=，1d=时，1ac=，1bd=，acbd，故 B错误；当3a=，2b=，2c=，3d=时
11、，6ac=，6bd=，acbd=，故 C错误；当3a=，2b=，2c=，3d=时，1ad=，1bc=，abdc=，故 D错误.故选：A 3.函数ln(1)yx=的图象大致是（）第2页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】ln(1)0yx=恒成立，排除 CD，根据定义域排除 A，得到答案.【详解】ln(1)0yx=恒成立，排除 CD，ln(1)yx=的定义域为()1,+，排除 A.故选：B.4.命题p：是第二象限角或第三象限角，命题q：cos0，则p是q的（）A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析
12、】【分析】若是第二象限角或第三象限角，则cos0，举反例得到不必要性，得到答案.【详解】若是第二象限角或第三象限角，则cos0；若cos0，取=，cos10=”为真命题的一个充分不必要条件可以是（）A.12a B.12a C.1a D.25a 【答案】C【解析】【分析】先求出命题为真命题时的充要条件，然后再结合选项进行选择即可【详解】因为1 2x ，20axxa+等价于1 2x ，21xax+恒成立，设2()1xh xx=+，第4页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 则()h x=21211152xxxx=+，所以命题为真命题的充要条件为12a，所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为1
13、a 故选 C【点睛】解题的关键是得到命题为真命题时的充要条件，由于求的是命题为真时的一个充分不必要条件，故所选的范围应是充要条件对应范围的真子集，考查对充分条件、必要条件概念的理解 8.已知2()1f xax=是定义在R上的函数，若对于任意1231xx ，都有()()12122f xf xxx，则实数a的取值范围是（）A.0 B.0,)+C.1,3+D.1,03【答案】C【解析】【分析】由1231xx ，()()12122f xf xxx，构造函数()()2g xf xx=，则2()()21 2g xf xxaxx=是 3,1上的减函数，对实数a分类讨论即可.【详解】因为对任意1231xx ，
14、()()12122f xf xxx，即()()112222f xxf xx，构造函数()()2g xf xx=，则()()12g xg x，所以函数2()()21 2g xf xxaxx=是 3,1上的减函数.当0a=时，函数()1 2g xx=是 3,1上的减函数，符合题意；当0a 时，函数2()1 2g xaxx=图象的对称轴为直线1xa=，当0a 时，函数2()1 2g xaxx=是 3,1上的减函数，符合题意；当a13.第5页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 综上所述，实数a的取值范围足1,3+，故选：C.二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每
15、小题 5分，满分分，满分 20 分分.在每小题所给出的四个选项在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的中，有多个选项是符合题意的.9.下列大小关系正确的是（）A.0.30.422 B.0.20.234 C.24log 3log 8【答案】ABD【解析】【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的单调性比较大小.【详解】A选项：由指数函数2xy=为单调递增函数，可得0.30.422成立，所以A选项正确；B选项：由幂函数0.2yx=为单调递增函数，可得0.20.234，所以 C选项不正确；D选项：由函数2logyx=与3logyx=均为单调递增函数，则22log 3log 21=，而33lo
16、g 2log 31，第6页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 所以()111111222xyxyxyxyyx+=+=+12222xyy x+=，当且仅当1xy=时等号成立，所以11xy+的最小值为 2，故 A正确；对于 B，212xyxy+=，当且仅当1xy=时等号成立，所以xy的最大值为 1，故 B错误；对于 C，()22224xyxyxyxy+=+=+，当且仅当1xy=时等号成立，所以2xy+，即xy+的最大值为 2，故 C 错误；对于 D，()2222422xyxyxyxy+=+=，当且仅当1xy=时等号成立，所以22xy+的最小值为 2，故 D正确.故选:AD.11.已知函数2si
17、n 233yx=+，则下列结论正确的有（）A.函数的最小正周期为 B.函数的一个单调增区间为5 11,1212 C.函数的一个对称中心是5,06 D.函数的一条对称轴是1112x=【答案】AD【解析】【分析】利用()sinyAxB=+的图象与性质，对选项一一验证即可.【详解】对于 A：2sin 233yx=+的最小正周期为22T=，故 A正确；对于 B：当5111212x时，32232x，下列关于函数()1yf f x=+的零点个数的说法中，正确的是（）A.当1k，有 1个零点 B.当1k 时，有 3 个零点 C.当0k 和4k=讨论并作出函数()f x图象，数形结合即可判断得解.【详解】由0
18、y=，得()1f f x=，则函数()1yf f x=+的零点个数即为()1f f x=解的个数，设()f xt=，则()1f t=，二次函数21yxkx=+，其图象开口向上，过点(0,1)，对称轴为2kx=，当1k 时，21yxkx=+在(,0上单调递减，且1y，如图，由()1f t=，得2log1t=，解得12t=，由()f xt=，得21log2x=，解得2x=，因此函数()1yf f x=+的零点个数是 1，A 正确，B错误；.【第8页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 当4k=时，()2241,0log,0 xxxf xx x+=，作出函数()f x的图象如图，由图象知()1f
19、t=有 3个根，当0t 时，2log1t=，解得12t=；当0t 时，2411tt+=，解得22t=，当12t=时，1()2f x=，若21log2x=，则2x=，若21412xx+=，则1422x=，此时共有 3个解；当22t=+时，()22f x=+，此时2log22x=+有 1个解，24122xx+=+，即2(2)12x+=+有 2个解，当22t=时，()22f x=，此时2log22x=有 1个解，24122xx+=即2(2)120 x+=无解，因此当4k=时，函数()1yf f x=+的零点个数是 7，D正确，C 错误.故选：AD【点睛】方法点睛：关于复合函数的零点的判断问题，首先将
20、零点问题转化为方程的解的问题；解答时要采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方程的解.三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分.13.已知扇形的圆心角是2rad，其周长为6cm，则扇形的面积为_2cm【答案】94【解析】【分析】直接利用扇形的周长和扇形的面积公式求出结果.【详解】设扇形的圆心角为，半径为r.第9页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 所以扇形的周长为26rr+=，32r=,所以扇形的面积21924Sr=.故答案为：94.14.函数 y12log sin x的定义
21、域是_【答案】22,xkxkkZ+【解析】【分析】利用偶次根式的意义和对数的真数大于零，得到正弦的范围，再结合正弦函数图象特征解出自变量 x 的取值集合即可.【详解】由1122log sin0log 1x=知，0sin1x，由正弦函数图象特征知，22,kxkkZ+故定义域为22,xkxkkZ+.故答案为：22,xkxkkZ+.15.已知函数()()22221mmf xmmx=是幂函数，且在()0,+上递增，则实数m=_.【答案】1【解析】【分析】根据幂函数系数为1并结合单调性即可求解.【详解】由题意得211mm=，解得2m=或1m=，当2m=时，()2f xx=在()0,+上递减，不符合题意；
22、当1m=时，()f xx=在()0,+上递增，符合题意；故答案为：1.16.已知函数()22,2,xa xaf xxax xa+=+给出下列四个结论：当0a=时，()f x的最小值为 0；当1(1,0),3a+时，()f x不存在最小值；第10页/共19页 学科网（北京）股份有限公司()f x零点个数为()g a，则函数()g a的值域为0,1,2,3；当1a 时，对任意1x，2Rx，()()121222xxf xf xf+其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】根据指数函数、二次函数性质求()f x值域判断；由(,)a上值域为(,2)aaa+，讨论0a、a0确定在,)a+上值域，根
23、据()f x不存在最小值，列不等式组求参数范围；讨论a，分析各分段上零点的个数判断；用特殊值4a=，得到(3)12,(4)48,(5)65fff=即可判断.【详解】当0a=时，22,0(),0 xxf xxx=，在(,0)上的值域为(0,1)，在0,)+上值域为0,)+.所以()f x的最小值为 0，故正确；在(,)a上()f x的值域为(,2)aaa+，当0a 时，在,)a+上值域为23,)a+；当a或20aaa，解得13a 或10a，故正确；2xya=+至多一个零点，22yxax=+至多有两个零点，当a，则()f x存在一个零点；若20aa+，()f x不存在零点，所以a0时，()f x零
24、点个数可能为 2 或 3个；若0a=，则22,0(),0 xxf xxx，即(,0)上无零点，第11页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 而200 xx=，故()f x有一个零点，即(0)1g=；若0a，则22,()2,xa xaf xxax xa+，无零点，),xa+时，220 xax+=也无解，故()f x无零点，即()0g a=；综上，()g a的值域为0,1,2,3，故正确；当4a=时，224,4()8,4xxf xxx x+=+，则(3)12,(4)48,(5)65fff=，所以(3)(5)772(4)96fff+=，故错误.故答案为：.【点睛】关键点点睛：对于，注意结合指数函数
25、、二次函数性质，应用分类讨论分析各分段零点的可能情况.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，满分小题，满分 70 分分.除第除第 17 小题小题 10 分以外，每小题分以外，每小题 12分分.17.设mR，已知集合3211xAxx+=，()2220Bxxmxm=+.（1）当1m=时，求AB；（2）若“xB”是“xA”的必要不充分条件，求m的取值范围.【答案】17.3,12；18.()3,+.【解析】【分析】（1）分别解不等式求出集合 A，B，然后由并集运算可得；（2）根据集合包含关系，对 m 分类讨论即可.【小问 1 详解】32231011xxxx+，解得3,12A=，()()(
26、)2220210 xmxmxmx+当1m=时，得1,12B=，第12页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 所以313,1,1,1222AB=.【小问 2 详解】若“xB”是“xA”的必要不充分条件，所以 AB，解方程()()210 xmx+=得2mx=或1x=，当2m=时，B=，不满足题意；当12m 时，,12mB=，因为 AB，所以322m；当12m，即2m 的最小正周期为.（1）求6f的值及函数()f x单调递增区间；（2）求()f x在区间0,2上的最值.【答案】（1）316f=+；5,Z1212kkk+（2）最大值为3，最小值为31+.【解析】【分 析】（1）根 据 周 期 确 定
27、2=，得 到 函 数 解 析 式 后，代 入 计 算6f的 值，取2 22,Z232kxkk+，解得答案.（2）首先确定 42333x+,，根据正弦函数性质计算得到答案.【小问 1 详解】第14页/共19页 学科网（北京）股份有限公司()2sin1(0)3f xx=+的最小正周期为，则2=，2=，()2sin 213f xx=+，2sin 2131663f=+=+；取2 22,Z232kxkk+，解得,1251Z2kxkk+，故()f x单调递增区间为5,Z1212kkk+；【小问 2 详解】0,2x，则 42333x+,，当232x+=，即12x=时，()max312f xf=；当4233x
28、+=，即2x=时，()min312f xf=+；故()f x的最大值为3，最小值为31+.20.某环保组织自 2023年元旦开始监测某水域中水葫芦生长的面积变化情况并测得最初水葫芦的生长面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自 2023 年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.最初测得该水域中水葫芦生长的面积为n（单位：2m），二月底测得水葫芦的生长面积为224m，三月底测得水葫芦的生长面积为264m，水葫芦生长的面积y（单位：2m）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是(0,1)xynana=；另一个是12(0,0)ypxn pn=
29、+，记 2023 年元旦最初测量时间x的值为 0.（1）请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式；（2）该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的 240 倍以上？（参考数据：lg20.3010,lg30.4771）.【答案】（1）第一个函数模型(0,1)xynana=满足要求，理由见解析，27883xy=（2）该水域中水葫芦生长的面积在 7 月份是元旦开始研究时其生长面积的 240 倍以上【解析】第15页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）由随着x增大，(0,1)xynana=的函数值增加得越来越快，而12(0,0)ypxn pn=+的
30、函数值增加得越来越慢求解；（2）根据题意，由27827240838x求解.【小问 1 详解】解：两个函数模型12(0,1),(0,0)xynanaypxn pn=+在()0,+上都是增函数，随着x的增大，(0,1)xynana=的函数值增加得越来越快，而12(0,0)ypxn pn=+函数值增加得越来越慢，在该水域中水葫芦生长的速度越来越快，即随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快，第一个函数模型(0,1)xynana=满足要求，由题意知，232464nana=，解得83278an=，所以27883xy=；【小问 2 详解】由27827240838x，解得83log 240 x，
31、又83lg240log 2408lg3=1 3lg2lg35.593lg2lg3+=故6x，该水域中水葫芦生长的面积在 7 月份是元旦开始研究时其生长面积的 240倍以上.21.已知函数()22221f xa xaxa=+.（1）当2a=时，求()0f x 的解集；（2）是否存在实数x，使得不等式222210a xaxa+对满足2,2a 的所有a恒成立？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.的的 第16页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）3 1,2 2 （2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）求解一元二次不等式即可；（2）关于a的不等式恒成立问题转化为关于a的函数最
32、值问题求解，按系数符号与轴与区间的关系分类讨论求解即可.【小问 1 详解】2a=时，函数()2443f xxx=+，不等式()0f x 即为24430 xx+，即()()23210 xx+，解得3122x，不等式()0f x 的解集为3 1,2 2.【小问 2 详解】设()()2222221121g aa xaxaxaxa=+=+，2,2a，根据题意知，()0g a 在2 2,上恒成立，当210 x 时，解得1x=，若1x=，则()21g aa=+在2 2,上单调递增，则()min()230g ag=，不符合题意；若=1x，则()21g aa=+2 2,上单调递减，则()min()230g a
33、g=，不符合题意；当210 x ，即11x 时，()g a的图像为开口向下的抛物线，要使()0g a 在2 2,上恒成立，需()()2020gg，即2244304430 xxxx+，解得32x 或32x，在 第17页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 又11x，即1x 时，()g a的图像为开口向上的抛物线，其对称轴方程为21xax=，（i）当221xx，即11714x+，112，此时无解；（ii）当2221xx，即1174x 时，()g a在22,1xx上单调递减，在2,21xx上单调递增，min221()011xg agxx=，此时无解；（iii）当221xx，即11714x 时，()
34、g a在2 2,上单调递减，()2min()24430g agxx=+，解得32x 或12x，311724 ，此时无解；综上，不存在符合题意的实数x.22.已知函数()yf x=，xD，如果对于定义域 D内的任意实数 x，对于给定的非零常数 P，总存在非零常数 T，恒有()()f xTP f x+，即Rx，(1)2()f xf x+成立，所以函数()f x是 R 上的周期为 1 的 2级递减周期函数.【小问 2 详解】因2T=，()yf x=是)0,+上的 P 级周期函数，则()()2f xP f x+=，即()()2f xP f x=，而当0,)2x时，()sin1f xx=+，当,)2x时
35、，0,)22x，()sin12f xPx=+，当3,)2x时，,)22x，则()()2sin12f xPfxPx=+，当3,2)2x时，3,)22x，则()33sin122f xPfxPx=+，当,(1)22xnn+时，(1),)222xnn，则()sin122nf xPfxPxn=+，第19页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 并且有：当0,)2x时，1,2)y，当,)2x时，,2)yPP，当3,2x时，22,2)yPP，当,(1)22xnn+时，,2)nnyPP，因()yf x=是)0,+上的严格增函数，则有22312222nnPPPPPPP，解得2P，所以当,(1)(N)22xnnn
36、+时，()sin12nf xPxn=+，且2,)P+.【小问 3 详解】假定存在非零实数 k，使函数1()()cos2xf xkx=是 R 上的周期为 T 的 T级周期函数，即Rx，恒有()()f xTT f x+=成立，则Rx，恒有()11coscos22x TxkxkTTkx+=成立，即Rx，恒有()cos2cosTkxkTTkx+=成立，当0k 时，xR，则Rkx，RkxkT+，于是得cos 1,1kx ，()cos1,1kxkT+，要使()cos2cosTkxkTTkx+=恒成立，则有21TT=，当21TT=，即12TT=时，由函数2xy=与1yx=的图象存在交点知，方程12TT=有解，此时()coscoskxkTkx+=恒成立，则2,ZkTmm=，即2,ZmkmT=，当21TT=，即12TT=时，由函数2xy=与1yx=的图象没有交点知，方程12TT=无解，所以存在2,ZmkmT=，符合题意，其中T满足21TT=.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.