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1、离散数学课件第十二章环与域离散数学课件第十二章环与域现在学习的是第1页，共25页本章内容本章内容12.1 12.1 环的定义与性质环的定义与性质12.2 12.2 整环与域整环与域本章总结本章总结作业作业现在学习的是第2页，共25页12.1 12.1 环的定义与性质环的定义与性质q环的定义环的定义 q环的运算性质环的运算性质q环的子代数和环同态环的子代数和环同态现在学习的是第3页，共25页环的定义环的定义定义定义12.112.1 设设R,+,是代数系统是代数系统,+,+和和是二元运算。是二元运算。如果满足以下条件：如果满足以下条件：(1)(1)构成交换群。构成交换群。(2)R,(2)构成半群。
2、构成半群。(3)(3)运算关于运算关于+运算适合分配律。运算适合分配律。则称则称R,+,是一个是一个环环(ring)。通常称通常称+运算为环中的加法，运算为环中的加法，运算为环中的乘法。运算为环中的乘法。现在学习的是第4页，共25页环环的实例的实例(1)(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为和乘法构成环，分别称为整数环整数环Z Z，有理数有理数Q Q，实数环实数环R R和和复数环复数环C C。(2)n(n2)(2)n(n2)阶实矩阵的集合阶实矩阵的集合M Mn n(R)(R)关于矩阵的加法和乘法关于矩阵的加法和乘
3、法构成环，称为构成环，称为n n阶实矩阵环阶实矩阵环。(3)(3)集合的幂集集合的幂集P(B)P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成关于集合的对称差运算和交运算构成环。环。(4)(4)设设Z Zn n0,1,.,n0,1,.,n1,1,和和 分别表示模分别表示模n n的加法和的加法和乘法，则乘法，则Z 构成环构成环,称为称为模模n n的整数环的整数环。现在学习的是第5页，共25页环的运算约定环的运算约定q加法的单位元加法的单位元记作记作0 0。q乘法的单位元乘法的单位元记作记作1 1(对于某些环中的乘法不存在单位元对于某些环中的乘法不存在单位元)。q对任何环中的元素对任何环中的元素x，称，称
4、x的的加法逆元加法逆元为为负元负元，记作记作-x。q若若x存在乘法逆元的话，则将它称为存在乘法逆元的话，则将它称为逆元逆元，记作，记作x-1-1。q针对环中的加法，针对环中的加法，x-y表示表示x+(-+(-y)。nx表示表示x+x+x(n个个x相加相加)，即，即x的的n次加法幂。次加法幂。-xy表示表示xy的负元。的负元。现在学习的是第6页，共25页环的运算性质环的运算性质定理定理12.112.1 设设R,+,是环，则是环，则(1)(1)aRR，a0 00 0a0 0(2)(2)a,bRR，(-(-a)ba(-(-b)-ab(3)(3)a,b,cRR，a(b-c)ab-ac，(b-c)aba
5、-ca(4)(4)a1 1,a2 2,.,.,an,b1 1,b2 2,.,.,bmR(R(n,m2)2)现在学习的是第7页，共25页定理定理12.112.1的证明的证明(1)(1)aRR，a0 00 0a0 0a0 0 a(0+0)(0+0)a0+0+a0 0 由环中加法的消去律得由环中加法的消去律得 a0 00 0。同理可证同理可证 0 0a0 0。(2)(2)a,bRR，(-(-a)ba(-(-b)-ab(-(-a)b+ab (-(-a+a)b 0 0bab+(-+(-a)b (a+(-+(-a)b 0 0b 0 0因此因此(-(-a)b是是ab的负元。的负元。由负元的唯一性可知由负元的
6、唯一性可知 (-(-a)b-ab。同理可证同理可证 a(-(-b)-ab。0 0(3)(3)a,b,cRR，a(b-c)a ab-ac，(b-c)aba-ca a(b-c)a(b+(-(-c)ab+a(-(-c)ab-ac现在学习的是第8页，共25页定理定理12.1(4)12.1(4)的证明的证明(4)(4)a1 1,a2 2,.,.,an,b1 1,b2 2,.,.,bmR(R(n,m2)2)先证明先证明 a1 1,a2 2,.,.,an 有有对对n进行归纳。进行归纳。当当n2 2时，由环中乘法对加法的分配律，等式显然成立。时，由环中乘法对加法的分配律，等式显然成立。假设假设，则有，则有由归
7、纳法命题得证。由归纳法命题得证。现在学习的是第9页，共25页定理定理12.1(4)12.1(4)的证明的证明同理可证，同理可证，b1 1,b2 2,.,.,bm 有有于是于是现在学习的是第10页，共25页例例12.212.2例例12.212.2 在环中计算在环中计算(a+b)3 3，(a-b)2 2解答解答 (a+b)3 3 (a+b)()(a+b)()(a+b)(a2 2+ba+ab+b2 2)()(a+b)a3 3+ba2 2+aba+b2 2a+a2 2b+bab+ab2 2+b3 3 (a-b)2 2 (a-b)()(a-b)a2 2-ba-ab+b2 2 现在学习的是第11页，共25
8、页子环子环定义定义12.212.2 设设R R是环，是环，S S是是R R的非空子集。若的非空子集。若S S关于环关于环R R的加法和的加法和乘法也构成一个环，则称乘法也构成一个环，则称S S为为R R的的子环子环(subring)。若若S S是是R R的子环，且的子环，且S S R R，则称，则称S S是是R R的的真子环真子环。举例：举例：整数环整数环Z Z，有理数环，有理数环Q Q都是实数环都是实数环R R的真子环。的真子环。00和和R R也是实数环也是实数环R R的子环，称为的子环，称为平凡子环平凡子环。现在学习的是第12页，共25页子环判定定理子环判定定理定理定理12.212.2 设
9、设R是环，是环，S是是R的非空子集，若的非空子集，若(1)(1)a,bS，a-bS(2)(2)a,bS，abS则则S是是R的子环。的子环。证明：证明：由由(1)(1)S关于环关于环R中的加法构成群。中的加法构成群。由由(2)(2)S关于环关于环R中的乘法构成半群。中的乘法构成半群。显然显然R R中关于加法的交换律以及乘法对加法的分配律中关于加法的交换律以及乘法对加法的分配律在在S S中也是成立的。中也是成立的。因此，因此，S是是R的子环。的子环。现在学习的是第13页，共25页例例12.312.3(1)(1)考虑整数环考虑整数环 ，对于任意给定的自然数，对于任意给定的自然数n n，nZ nz|z
10、Z 是是Z Z的非空子集，且的非空子集，且 nk1 1,nk2 2nZnZ有有nk1 1-nk2 2n(k1 1-k2 2)nZnk1 1nk2 2n(k1 1nk2 2)nZ 根据判定定理根据判定定理,nZ是整数环的子环。是整数环的子环。(2)(2)考虑模考虑模6 6整数环整数环 ，不难验证，不难验证 0,0,3,0,2,4,0,0,3,0,2,4,Z6 6是它的子环。是它的子环。其中其中00和和Z6 6是平凡的，其余的都是非平凡的真子环。是平凡的，其余的都是非平凡的真子环。现在学习的是第14页，共25页环的同态环的同态定义定义12.312.3 设设R1 1和和R2 2是环。是环。：R1 1
11、R2 2，若对于任意的，若对于任意的x,yR1 1有有(x+y)(x)+)+(y)，(xy)(x)(y)成立，则称成立，则称 是环是环R1 1到到R2 2的的同态映射同态映射，简称，简称环同态环同态。说明说明类似于群同态，可以定义环的单同态，满同态和同构等。类似于群同态，可以定义环的单同态，满同态和同构等。现在学习的是第15页，共25页例例12.412.4设设R R1 1Z,+,是整数环，是整数环，R R2 2Z 是模是模n的整数环。的整数环。令令 ：ZZZZn n，(x)(x)mod)mod n则则 x,yZ Z 有有 (x+y)(x+y)mod n)mod n (x)mod)mod n (
12、y)mod)mod n (x)(y)(xy)(xy)mod)mod n(x)mod)mod n (y)mod)mod n (x)(y)所以所以 是是R R1 1到到R R2 2的同态的同态,不难看出是满同态。不难看出是满同态。现在学习的是第16页，共25页12.2 12.2 整环与域整环与域定义定义12.412.4 设设R,+,是环，是环，(1)(1)若环中乘法若环中乘法 适合交换律，则称适合交换律，则称R R是是交换环交换环。(2)(2)若环中乘法若环中乘法 存在单位元，则称存在单位元，则称R R是是含幺环含幺环。(3)(3)若若 a,bRa,bR，abab0 0 a a0b0b0 0，则称
13、则称R R是是无零因子环无零因子环。(4)(4)若若R R既是交换环、含幺环，也是无零因子环，既是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称则称R R是是整环整环。现在学习的是第17页，共25页实例实例(1)(1)整数环整数环Z Z，有理数环，有理数环Q Q，实数环，实数环R R，复数环，复数环C C都是交换环、含都是交换环、含幺环、无零因子环和整环。幺环、无零因子环和整环。(2)(2)令令2Z2Z2z|zZ2z|zZ，则，则2Z2Z关于普通的加法和乘法构成交换环关于普通的加法和乘法构成交换环和无零因子环。但不是含幺环和整环，因为和无零因子环。但不是含幺环和整环，因为1 1 2Z2Z。(3)(3)设
14、设n n是大于或等于是大于或等于2 2的正整数，则的正整数，则n n阶实矩阵的集合阶实矩阵的集合M Mn n(R)(R)关于关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环。因子环，也不是整环。现在学习的是第18页，共25页实例实例(4)Z(4)Z6 6关于模关于模6 6加法和乘法构成环，它是交换环、含幺环，但不加法和乘法构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子环和整环。是无零因子环和整环。2 2 3 30 0，但，但2 2和和3 3都不是都不是0 0。称。称2 2为为Z Z6 6中的中的左零因子左零因子，3 3为
15、为右零右零因子因子。类似地。类似地,又有又有3 3 2 20,0,所以所以3 3也是左零因子，也是左零因子，2 2也是右零也是右零因子，它们都是因子，它们都是零因子零因子。一般说来，对于模一般说来，对于模n n整数环整数环Z Zn n，若，若n n不是素数，则存在正整数不是素数，则存在正整数s,t(s,t2)s,t(s,t2)，使得，使得s s t tn n。这样就得到。这样就得到stst0 0，s,ts,t是是Z Zn n中中的零因子，因此的零因子，因此Z Zn n不是整环。不是整环。反之，反之，若若Z Zn n不是整环，则不是整环，则Z Zn n一定不是无零因子环。一定不是无零因子环。这就
16、意味着存在这就意味着存在a,bZa,bZn n，使得，使得a a b b0 0，但，但a0a0且且b0b0。根。根据模据模n n乘法定义得乘法定义得n n整除整除abab，从而推出，从而推出n n不是素数。不是素数。若不然必有若不然必有n n整除整除a a或或n n整除整除b b，与，与a0a0且且b0b0矛盾。通过上面矛盾。通过上面的分析可以得到下面的结论：的分析可以得到下面的结论：Z Zn n是整环当且仅当是整环当且仅当n n是素数。是素数。现在学习的是第19页，共25页环是无零因子环的充分必要条件环是无零因子环的充分必要条件定理定理12.312.3 设设R R是环，是环，R R是无零因子
17、环当且仅当是无零因子环当且仅当R R中的乘法适合消去中的乘法适合消去律，即律，即 a,b,cRa,b,cR，a0a0，有，有ababac ac b bc c 和和babaca ca b bc c证明证明 充分性。充分性。任取任取a,bRa,bR，abab0 0且且a0a0，则由则由abab0 0a0a0和消去律得和消去律得 b b0 0。这就证明了这就证明了R R是无零因子环。是无零因子环。必要性。必要性。任取任取a,b,cRa,b,cR，a0a0，由由ababacac得得 a(b-c)a(b-c)0 0，由于由于R R是无零因子环，是无零因子环，a0a0，必有必有b-cb-c0 0，即，即
18、b bc c。这就证明了左消去律成立。这就证明了左消去律成立。同理可证右消去律也成立。同理可证右消去律也成立。现在学习的是第20页，共25页环的直积环的直积例例12.612.6 设设R R1 1,R,R2 2是环，是环，,R,R1 1RR2 2,令令+不难验证不难验证R R1 1RR2 2关于关于+和和运算构成一个环，称为环运算构成一个环，称为环R R1 1和和R R2 2的的直积直积，记作记作R R1 1RR2 2。可以证明，可以证明，若若R R1 1和和R R2 2是交换环和含幺环，则是交换环和含幺环，则R R1 1RR2 2也是交换环和含幺环。也是交换环和含幺环。若若R R1 1和和R
19、R2 2是无零因子环，那么是无零因子环，那么R R1 1RR2 2不一定是无零因子环。不一定是无零因子环。例如例如Z Z3 3和和Z Z2 2是无零因子环，因为消去律在是无零因子环，因为消去律在Z Z3 3和和Z Z2 2中都是成立的。中都是成立的。但是但是Z Z3 3ZZ2 2就不是无零因子环。就不是无零因子环。若不然，由若不然，由和和，根据消去律就可得到，根据消去律就可得到。错误。错误。因此我们可以说因此我们可以说整环的直积不一定是整环整环的直积不一定是整环。现在学习的是第21页，共25页域的定义与实例域的定义与实例定义定义12.512.5 设设R R是整环，且是整环，且R R中至少含有两
20、个元素。若中至少含有两个元素。若 aRaR*R-0R-0，都有，都有a a1 1RR，则称，则称R R是是域域。例如：例如：有理数集有理数集Q Q、实数集、实数集R R、复数集、复数集C C关于普通的加法和乘法关于普通的加法和乘法都构成域，分别称为都构成域，分别称为有理数域有理数域、实数域实数域和和复数域复数域。整数环只能构成整环整数环只能构成整环Z Z，而不是域，因为并不是对于任意的，而不是域，因为并不是对于任意的非零整数非零整数zZzZ都有都有1/zZ1/zZ。对于模对于模n n的整数环的整数环Z Zn n，若，若n n是素数，可以证明是素数，可以证明Z Zn n是域。是域。现在学习的是第
21、22页，共25页例例12.712.7例例12.712.7 设设p为素数，证明为素数，证明Zp是域。是域。证明证明 p为素数，为素数，p22，所以，所以|Zp|2|2。易见易见Zp关于模关于模p乘法可交换，单位元是乘法可交换，单位元是1 1，且对于任意的，且对于任意的i,jZp，i0 0 有有i j0 0 p p整除整除ij p|j j0 0所以所以Zp中无零因子，中无零因子，Zp为整环。为整环。Zp关于乘法关于乘法 构成有限半群，且构成有限半群，且Zp关于关于 适合消去律。适合消去律。下面证明每个非零元素都有逆元。下面证明每个非零元素都有逆元。任取任取iZp,i0,0,令令i Zp=i j|j
22、Zp 则则i Zp=Zp，否则必存在否则必存在j,kZp，使得，使得i j=i k，由消去律得，由消去律得jk。这是。这是矛盾的。矛盾的。由于由于11Zp，这就推出，存在，这就推出，存在iZp，使得，使得i i=1=1。由于。由于 运算的交换性可知运算的交换性可知i就是就是i的逆元。从而证明了的逆元。从而证明了Zp是域。是域。现在学习的是第23页，共25页例例12.812.8判断下述集合关于给定的运算是否构成环、整环和域，如果判断下述集合关于给定的运算是否构成环、整环和域，如果不能构成，请说明理由。不能构成，请说明理由。(1)A(1)A a+b|a,bZZ，关于数的加法和乘法。，关于数的加法和
23、乘法。是环和整环，但不是域，是环和整环，但不是域，例如例如 A A，但但 没有逆元。没有逆元。(2)A(2)A a+b|a,bQQ，关于数的加法和乘法。关于数的加法和乘法。是环是环,整环和域。整环和域。(3)A(3)A a+b|a,bZZ，关于数的加法和乘法。关于数的加法和乘法。不是环，不是整环，也不是域。因为不是环，不是整环，也不是域。因为A A关于数的乘法不封闭。关于数的乘法不封闭。(4)A(4)A a+bi|a,bZZi2 2-1-1，关于复数的加法和乘法。关于复数的加法和乘法。是环和整环，但不是域，例如是环和整环，但不是域，例如 2 2iAA，但但2 2i没有逆元。没有逆元。现在学习的是第24页，共25页例例12.812.8(5)A(5)A|a,b|a,bZZ，关于矩阵的加法和乘法。关于矩阵的加法和乘法。是环，但不是整环和域。是环，但不是整环和域。考虑矩阵考虑矩阵 和和 。它们都是它们都是A A中的矩阵，且满足中的矩阵，且满足因此因此是左零因子，是左零因子，是右零因子。是右零因子。A A不是无零因子环。也不是整环和域。不是无零因子环。也不是整环和域。现在学习的是第25页，共25页