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1、河南省南阳市2023-2024学年高三上学期1月期终质量评估数学高三数学第 1页 共 6 页2023 年秋期高中三年级期终质量评估数学试题参考答案一选择题1-8.CBDCBDAC二选择题9.AC10.ACD11.ABD12.CD三填空题13.-1214.），（）（10,115.8916.31四解答题（答案仅供参考，各小题若有其他解法，请酌情给分）17.解析：（1）,ma b，sin,3cosnBA，且0m n，sin3 cos0aBbA，由正弦定理得sinsin3sincos0ABBA.2 分0B，sin0B，sin3cosAA，tan3A.0A，3A.5 分（2）10a，由余弦定理得2222
2、2cos10abcbcA，即22100bcbc.7 分222bcbc，1002bcbc，100bc.133sin10025 3244SbcAbc，8 分当且仅当bc时，ABC面积有最大值，最大值为25 3.10 分18.解析：（1）因为11122nnnnnaaa aa，所以1131122nnnna aaa，则111111111nnnnnnnnaaaaa aaa1121122nnnnaaaa，所以12nnbb，2 分又10a，所以11111ba，故数列 nb是首项为 1，公差为 2 的等差数列，所以12(1)21nbnn，5 分1122112121nnnabnn .6 分#QQABbQCEogA
3、IABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=#高三数学第 2页 共 6 页（2）证明：（方法一）（方法一）由（1）可得2nSn，所以211nSn.当1n 时，1117=14TS.7 分当2n 时，22111111211nnnn，8 分1231111nnTSSSS111111111111232435211nnnn 111111221nn 71 1174214nn.11 分综上可得7.4nT 12 分（方法二）（方法二）由（1）可得2nSn，所以211nSn.当1n 时，1117=14TS.7 分当2n 时，22111157=+1+=444TSS.8 分当3n
4、 时，21111(1)1nn nnn，9 分1231111nnTSSSS11111111+423341nn 71744n.11 分综上可得7.4nT 12 分19.解析：(1)证明：如图，连接1AC，在ACA1中，12A A，1AC，160A AC，#QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=#高三数学第 3页 共 6 页由余弦定理，得222111112cos4122 132ACAAACAAACA AC ，所以13AC，所以22211ACACA A，所以1ACAC，2 分同理1ACBC，又BCACC，,AC BC 平面ABC,所以1
5、AC 平面ABC,又1AC 平面11A ACC，所以平面ABC 平面11A ACC.5 分(2)由平面几何知识可知，ACCP，6 分以C为坐标原点，以 CA，CP，CA1为,x y z,轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则(1,0,0)A，13(,0)22B，1(0,0,3)A，7 分所以1(1,0,3)AA ，33(,0)22AB 设平面1A AB的法向量为111(,)mx y z，则1111130,330,22m AAxzm ABxy 令11z，得(3,3,1)m.9 分又平面PCA1的法向量为)0,0,1(n，10 分13391933,cosnm11 分所以二面角11BPAC的正
6、弦值为13130.12 分（若用综合几何法求解，请按照步骤酌情给分）20.解析：(1)前四组频数成等差数列，设 a0.2d，b0.22d，c0.23d，0.5(0.20.2d0.22d0.23d0.2d0.10.10.1)1，解得 d0.1，a0.3，b0.4，c0.5.居民月用水量在 22.5 内的频率为 0.50.50.25.4 分(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于等于 2.5 的频率为 0.70.8，为使 80%以上居民月用水价格为 4 元/立方米，应规定83.215.07.08.05.2w8 分(3)将频率视为概率，设 A(单位：立方米)代表居民月用水量，#QQABbQCEog
7、AIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=#高三数学第 4页 共 6 页可知 P(A2.5)0.7，由题意，知 XB(3，0.7)，P(X0)C030.330.027，P(X1)C130.70.320.189，P(X2)C230.720.30.441，P(X3)C330.730.343.X 的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.34311 分XB(3，0.7)，E(X)30.72.1.12 分21.解析：（1）设),(yxP，则xabyQ，ybaxR，由题意可得，2|)(21|)(21|abybayxabx，即12222byax，故点
8、 P 的轨迹 C 的方程为12222byax；4 分（2）由（1）可知 C：1422 yx假设存在常数 n,使 AEAD（常数），设直线nmyxl：，代入 C，整理得0)4(24(222nmnyym），设),(),(2211yxEyxD则44,422221221mnyymmnyy6 分所以),4(),4(2211yxyxAEAD21212121)4)(4()4)(4(yynmynmyyyxx221212)4()(4()1(nyynmyym7 分222222)4(4)4(24)4)(1(nmnnmmnm（算法一）（算法一）整理化简得：0460325)12(22nnm对Rm恒成立.9 分故0460
9、325,0122nn舍去）或(652012325,122nnn11 分#QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=#高三数学第 5页 共 6 页当直线l为 x 轴时12 AEAD综上，存在常数52n,对任意直线l,使12 AEAD（为定值）12 分（算法二）（算法二）22222222222)4(4)4()48()4(4)4(24)4)(1(nmnmnnnmnnmmnm根据对应系数成比例得：444822nnn.9 分整理得0123252nn，解得652nn或当6n不能保证任意l成立，故舍去.将52n代入上式可得12 AEAD11 分当
10、直线l为 x 轴时12 AEAD综上，存在常数52n,对任意直线l,使12 AEAD（为定值）12 分22.解析：（1）依题意知：0,x，lnaxafx，)1(11)(2xaxxxaxg1 分0a时，0)(xg恒成立，)(xg在），（0上单调递减；3 分0a时，由,10,0)(axxg得,1,0)(axxg得)(xg在），（a10上单调递减，），（a1上单调递增.5 分（2）依题意，要证：lnesin1xxxx，当01x时，ln0,1sin0 xxxex，故原不等式成立，7 分当1x 时，要证：lnesin1xxxx，即要证：lnsin10 xxxex，令()lnsin1,(1)xh xxxexx则 lncos1xh xxex，1sinxhxexx，8 分0)(,1 xhx9 分#QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=#高三数学第 6页 共 6 页 h x在1+，单调递减 11cos10h xhe 10 分()h x在1+，单调递减，()(1)1sin10h xhe ，即：lnsin10 xxxex，故原不等式成立.12 分#QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=#