《2024届广东汕头高三上学期期末调研测试数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024届广东汕头高三上学期期末调研测试数学试题含答案.pdf（27页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 汕头市汕头市 20232024 学年度普通高中毕业班期末调研测试学年度普通高中毕业班期末调研测试 数学数学 注意事项：注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对
2、应的答题区域内非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第第卷卷 选择题选择题 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知2i是关于x的方程220 xq+=的一个根，则实数q的值为（）A.8 B.8 C.4 D.4 2.设a表示“向东走 10km”，b表示“向南走 5km”，则bab+所表示的意义为（）A.向东南走10 2km B.向西南走10 2km C.向东南走5 6
3、km D.向西南走5 6km 3.已知全集08UABxx=N，()1,3,5UAB=，则集合B为（）A.2,4,6,7 B.0,2,4,6,8 C.0,2,4,6,7,8 D.0,1,2,3,4,5,6,7,8 4.已知直线1l：210 xay+=和2l：()10axya+=平行，则实数=a（）A.2 或1 B.1 C.1 D.2 5.已知10,sincos2446+=，则tan=（）A.22 B.33 C.2 D.3 6.关于椭圆221259xykk+=与双曲线22197yx=的关系，下列结论正确的是（）A.焦点相同 B.顶点相同 C.焦距相等 D.离心率相等 7.已知函数e(2)()lnx
4、f xx=，下列函数是奇函数的是（）第2页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 A.()11f x+B.()11f x+C.()11f x D.()11f x+8.已知数列 na的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为P、Q、R，则“na为等比数列”的一个必要条件为（）A.()2PQRQ+=B.()22PQP QR+=+C.PQR+=D.2QPR=二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.某科技攻关青年团队共有 10 人，其年龄（单位：岁）分布如下表所示，则这 10 个人年龄的（）年龄 45 40
5、36 32 29 28 人数 1 2 1 3 2 1 A.中位数是 34 B.众数是 32 C.第 25 百分位数是 29 D.平均数为 34.3 10.已知定义在()0,+上的函数()f x满足：(),0,x y+，()()()f xfyf xy+=，且当01x时，()0f x，若()21f=，则（）A.()10f=B.()f x在()0,+上单调递减 C ()1f xfx=D.()()()22022255fff+=11.某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储存温度 x（单位：）满足函数关系ekx by+=（e2.71828=，k，b为常数）若该食品在 0的保鲜时间是 120 小时，在 20
6、的保鲜时间是 30小时，则（）A.0k B.在 10的保鲜时间是 60 小时 C.要使得保鲜时间不少于 15 小时，则储存温度不低于 30 D.在零下 2的保鲜时间将超过 150 小时 12.在三棱锥PABC中，PA 平面ABC，222PAABBCAC=，E是底面ABC上（含边界）的一个动点，F是三棱锥PABC的外接球O表面上的一个动点，则（）.第3页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 A.当E在线段AB上时，PEBC B.EF的最大值为 4 C.当/FA平面PBC时，点F的轨迹长度为2 D.存在点F，使得平面PAC与平面PFB夹角余弦值为63 第第卷卷 非选择题非选择题 三、填空题：本题共
7、三、填空题：本题共 4小题小题.13.二项式()()*1nxnN+的展开式中2x的系数为 15，则n等于_ 14.若正四棱台的上、下底边长分别为 2、4，侧面积为12 3，则该棱台体积为_.15.已知函数()()22sin03f xx=+在区间0,上恰有三个零点，则的取值范围是_.16.从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点如图，一个光学装置由有公共焦点1F，2F的椭圆 C与双曲线 S 构成，现一光线从左焦点1F发出，依次经 S与 C 反射，又回到了点1F，历时1t秒；
8、若将装置中的 S去掉，如图，此光线从点1F发出，经 C两次反射后又回到了点1F，历时2t秒若 C 与 S 的离心率之比为2:3，则21tt=_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，6a=，sinsin2BCbaB+=（1）求角A的大小；（2）M为ABC的重心，AM的延长线交BC于点D，且2 3AM=，求ABC的面积 18.记等差数列 na的前n项和为nS，首项为1a，已知424SS=，且221nnaa=+，*nN.的 第4页/共5页 学科网（北京）
9、股份有限公司（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列()1nna前n项和.19.如图，在边长为 4的正三角形ABC中，E、F分别为边AB、AC的中点，将AEF沿EF翻折至1AEF，得四棱锥1AEFCB，设P为1AC的中点.（1）证明：/FP平面1ABE；（2）若平面1AEF 平面EFCB，求平面BPF与平面BCF夹角的余弦值.20.国家学生体质健康标准是我国对学生体质健康方面的基本要求，是综合评价学生综合素质的重要依据.为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，某学校从全校学生中随机抽取 200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查.获得如下信息：男生所占比例为60
10、%；不喜欢体育锻炼的学生所占比例为45%；喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多 50人.（1）完成22列联表，依据小概率值0.001=的独立性检验，分析喜欢体育锻炼与性别是否有关联？性别 体育锻炼 合计 喜欢 不喜欢 男 女 合计 （2）（）从这 200 名学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取 20人，再从这 20 人中随机抽取 3人.记事件A=“至少有 2 名男生”、B=“至少有 2 名喜欢体育锻炼的男生”、C=“至多有 1名喜欢体育锻炼的的 第5页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 女生”.请计算()P B A和()P ABC的值.（）对于随机事件,A B C，()0P A，(
11、)0P AB，试分析()P ABC与()()()P AP B AP C AB的大小关系，并给予证明 参考公式及数据：()()()()()22n adbcabcdacbd=+，nabcd=+0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 21.已知圆心在y轴上移动圆经过点()0,4A，且与x轴、y轴分别交于(),0B x、()0,Cy两个动点，过点B垂直于x轴的直线与过点C垂直于y轴的直线交于点M.（1）求点M的轨迹T的方程；（2）点P、Q在曲线T上，以PQ为直径的圆经过原点O，作OHPQ，垂足为H.试探究是否存在定点R，使得RH为定值，若存在，求出
12、该定点R的坐标；若不存在，说明理由.22.已知函数()()ln1f xxxa x=，Ra.（1）若()0f x，求实数a的值；（2）当*Nn时，证明：1111sinsinsinsinln21232nnnn+恒成立，设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，所以2225,9ak bk=，则()22225916cabkk=，则4c=，所以椭圆焦点为()4,0，焦距为28c=，顶点和离心率是变化的；对于双曲线22197yx=，显然其焦点在y轴上，只需考虑焦距即可，不妨设其焦距为22c，则229716c=+=，故24c=，所以双曲线的焦距为228c=；的的 第4页/共22页 学科网（北京）股份有
13、限公司 所以椭圆与双曲线的焦距相等，故 C正确，其余选项都不正确.故选：C.7.已知函数e(2)()lnxf xx=，下列函数是奇函数的是（）A.()11f x+B.()11f x+C.()11f x D.()11f x+【答案】D【解析】【分析】分别求出每个选项中的函数的表达式，确定其定义域，结合奇函数的定义判断，即可得答案.【详解】由于e(2)2()ln1 lnxxf xxx=+，定义域为(,0)(2,)+故()111ln21xf xx+=+，定义域为,1(),)1(+，()11111ln2ln2ln2(1)1111xxxfxf xxxx+=+=+=+，即()11f x+不是奇函数，A错误
14、；()311ln21xf xx+=+，定义域为(,1)(3,)+，不关于原点对称，即()11f x+不是奇函数，B错误；()311ln1xf xx=，定义域为(,1)(3,)+，不关于原点对称，即()11f x不是奇函数，C错误；()111ln1xf xx+=+，定义域为,1(),)1(+，()11111lnlnln(1)1111xxxfxf xxxx+=+，即()111ln1xf xx+=+为奇函数，D正确，故选：D 8.已知数列 na的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为P、Q、R，则“na为等比数列”的一个必要条件为（）第5页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 A.()2PQRQ+
15、=B.()22PQP QR+=+C.PQR+=D.2QPR=【答案】B【解析】【分析】先分析得所选条件由“na为等比数列”推得成立，再举反例排除 ACD，利用等比数列的通项公式推得 B选项的条件成立，从而得解.【详解】依题意，要成为“na为等比数列”的必要条件，则“na为等比数列”推出该条件成立，对于 ACD，当 na为等比数列时，不妨取数列1,2,4，1n=，则1,3,7PQR=，此时()()21 3739PQRQ+=+=，故 A错误；此时47PQR+=，故 C错误；此时297QPR=，故 D错误；对于 B，当 na为等比数列时，设等比数列 na的公比为q，则12nPaaa=+，()1221
16、2nnnnnnQPaaaqaaaq P+=+=+=，()222122312nnnnnnRQaaaqaaaq P+=+=+=，所以()()2QPP RQ=，即222PPQQPRPQ+=，所以()222PQPRPQPQP QR+=+=+，故 B正确 故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析出“na为等比数列”的必要条件是由其推出，再举反例轻松排除错误选项，从而得解.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.某科技攻关青年团队共有 10 人，其年龄（单位：岁）分布如下表所示，则这 10 个人年龄的
17、（）.第6页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 年龄 45 40 36 32 29 28 人数 1 2 1 3 2 1 A.中位数是 34 B.众数是 32 C.第 25 百分位数是 29 D.平均数为 34.3【答案】BCD【解析】【分析】根据给定数据，利用中位数、众数、百分位数、平均数的定义计算判断即可.【详解】把 10 个人的年龄由小到大排列为28,29,29,32,32,32,36,40,40,45，这组数据的中位数为 32，众数为 32，A 错误，B正确；由25%102.5=，得这组数据的第 25 百分位数是第 3个数，为 29，C 正确；这组数据的平均数282 293 3236
18、2 404534.310 x+=，D 正确.故选：BCD 10.已知定义在()0,+上的函数()f x满足：(),0,x y+，()()()f xfyf xy+=，且当01x时，()0f x，若()21f=，则（）A.()10f=B.()f x在()0,+上单调递减 C.()1f xfx=D.()()()22022255fff+=【答案】AC【解析】【分析】利用赋值法可判断 AC；利用函数单调性的定义，结合题设条件可判断 B，利用条件推得()()()1nnff xxf x=+，从而利用累加法与等差数列的求和公式可判断 D.【详解】对于 A，因为(),0,x y+，()()()f xfyf xy
19、+=，令1xy=，得()()()111+=fff，则()10f=，故 A 正确；对于 C，令1yx=，得()()110f xffx+=，则()1f xfx=，第7页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 所以()1f xfx=，故 C正确；对于 B，设()12,0,x x+且12xx，则1201xx，则()()()112222xf xf xfxf xx=()()112222xxff xf xfxx=+=，因为当01x时，()0f x，所以120 xfx，即()()12f xf x 所以()f x在()0,+上单调递增，故 B错误；对于 D，令1nyx=，得()()()1nnff xxf x=+
20、，则()()()2xffxf x=+，()()()32fxfxxf=+，()()()1nnff xxf x=+，上述各式相加，得()()()()()1nxxxfnff xnf=+=，又()21f=，所以()()()()()()22020120222122022102ffff+=+=，故 D错误；故选：AC.11.某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储存温度 x（单位：）满足函数关系ekx by+=（e2.71828=，k，b为常数）若该食品在 0的保鲜时间是 120 小时，在 20的保鲜时间是 30小时，则（）A.0k B.在 10的保鲜时间是 60 小时 C.要使得保鲜时间不少于 15 小时
21、，则储存温度不低于 30 D.在零下 2的保鲜时间将超过 150 小时【答案】AB【解析】【分析】本题首先可根据题意得出ekx by+=是减函数，且120e1b=，可判断出A正确；根据120e1b=及2030ek b+=，可得101e2k=，则可求得10ek b+的值，判断出B正确；解不等式e15kx b+得30 x，则C错误；当2x=时，可求得2e150k b+，则D错误.第8页/共22页 学科网（北京）股份有限公司【详解】因为该食品在 0的保鲜时间是 120 小时，在 20的保鲜时间是 30 小时，易得ekx by+=是减函数，结合复合函数的单调性可知0k，可知0b，所以A正确；又2030
22、ek b+=，即2030eekb=，故201e4k=，101e2k=，则10101eee120602k bkb+=，故B正确；若e15kx b+，则1e8kx，结合101e2k=，不等式化为30eekxk，即30kxk，又0k，所以30 x，故C错误；当2x=时，11221055e(e)e(e)120(2)120150k bkbk+=在区间0,上恰有三个零点，则的取值范围是_.的 第12页/共22页 学科网（北京）股份有限公司【答案】7 10,33【解析】【分析】先由题意求得23+的取值范围，再利用正弦函数的性质得到关于的不等式，从而得解.【详解】因为0,x，0，则222333x+，又因为函数
23、()22sin3f xx=+在区间0,上恰有三个零点，则2343+，解得71033，所以的取值范围为7 10,33.故答案为：7 10,33.16.从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点如图，一个光学装置由有公共焦点1F，2F的椭圆 C与双曲线 S 构成，现一光线从左焦点1F发出，依次经 S与 C 反射，又回到了点1F，历时1t秒；若将装置中的 S去掉，如图，此光线从点1F发出，经 C两次反射后又回到了点1F，历时2t秒若 C 与 S 的离心率之比为2:3，则21tt=
24、_ 【答案】6【解析】【分析】在图和图中，利用椭圆和双曲线的定义，分别求得1ABF和1CDF的周长，再根据光速相同，时间比等于路程比，再结合 C 与 S 的离心率之比为2:3，即可求解.【详解】在图中，由椭圆的定义得：1212BFBFa+=，由双曲线的定义得2122AFAFa=，两式相 第13页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 减得12211222BFBFAFAFaa+=，所以1ABF的周长为1222aa，在图中，1CDF的周长为14a，因为光速相同，1221112422422taaaaat=因为 C与 S的离心率之比为2:3，即11221223ceaaceaa=，所以21462223t
25、t=.故答案为：6.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.ABC内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，6a=，sinsin2BCbaB+=（1）求角A的大小；（2）M为ABC的重心，AM的延长线交BC于点D，且2 3AM=，求ABC的面积【答案】（1）3 （2）9 3【解析】【分析】（1）在ABC中，利用诱导公式，正弦定理及正弦二倍角公式化简可得结果；（2）分别在ABC，ABD和ACD中，利用余弦定理建立等量关系，利用三角形面积公式可得结果.【小问 1 详解】在ABC中，因为sinsincoss
26、in2222BCAAbbbaB+=，由正弦定理可得sin cossin sin2ABAB=,0B，0sinB，即cossin2AA=，所以cos2sincos222AAA=，0,022AA，的 第14页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 故1sin22A=，即3A=.【小问 2 详解】因为M为ABC的重心，AM的延长线交BC于点D，且2 3AM=，所以点D为BC中点，且3 3AD=，在ABC中，6a=，22261cos22bcAbc+=，即2236bcbc=+，在ABD和ACD中，222222coscos22ADBDcADCDbADBADCAD BDAD CD+=,化简得2272bc+=，
27、所以2236723636bcbc=+=，故11sin36 sin9 3223ABCSbcA=，所以ABC的面积为9 3 18.记等差数列 na的前n项和为nS，首项为1a，已知424SS=，且221nnaa=+，*nN.（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列()1nna的前n项和.【答案】（1）21nan=（2）()1nnTn=【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式得到关于1a，d的方程组，解之即可得解；（2）利用错位相减法即可得解.【小问 1 详解】依题意，设等差数列 na的公差为d，第15页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 因为424SS=，221nnaa=+，所
28、以()111114 3442(21)22(1)1daaadandand+=+=+，即1121daad=，解得112ad=，所以21nan=.【小问 2 详解】由（1）得()()()1121nnnan=，设数列()1nna的前n项和为nT，则()()()()()123111315121nnTn+=+，则()()()()()2341111315121nnnT+=+，两式相减，得()()()()()()23411212121212121nnnTn+=+()()()()()()21111121111221nnnnn=+=，故()1nnTn=.19.如图，在边长为 4的正三角形ABC中，E、F分别为边A
29、B、AC的中点，将AEF沿EF翻折至1AEF，得四棱锥1AEFCB，设P为1AC的中点.（1）证明：/FP平面1ABE；（2）若平面1AEF 平面EFCB，求平面BPF与平面BCF夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）217【解析】第16页/共22页 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）取1AB的中点 Q，可得四边形EFPQ为平行四边形，则/FPEQ，再由直线与平面平行的判定定理证明即可；（2）利用面面垂直的性质定理可得1AO 平面EFCB，从而建立空间直角坐标系，求出面BPF与平面BCF的法向量，再利用向量夹角公式求解即可.【小问 1 详解】取1AB的中点 Q，连接,PQ EQ,
30、则有/PQBC，且12PQBC=，又E、F分别为边AB、AC的中点，则/EFBC，且12EFBC=，故/PQEF，且PQEF=，则四边形EFPQ为平行四边形，则/FPEQ，又FP 平面1ABE，EQ 平面1ABE，故/FP平面1ABE.【小问 2 详解】取EF中点 O，BC中点 G，连接1,AO OG，在ABC中，易得AEAF=，所以,OGEF AOEF，则1AOEF，又平面1AEF 平面EFCB，且交线为EF，1AO 平面1AEF，所以1AO 平面EFCB，则1,OA OE OG两两垂直，故以 O为原点，1,OE OG OA所在直线分别为 x轴、y 轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易
31、得13AOOG=，则()10,0,3A，()1,0,0F，()2,3,0B，()2,3,0C，由P为1AC中点，故331,22P，第17页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 则330,22FP=，(3,3,0)FB=，设平面BPF的一个法向量(),nx y z=，则00n FPn FB=，即33022330yzxy+=+=，取3y=，则1,3xz=，故()1,3,3n=，易得平面BCF的一个法向量()0,0,1m=，设平面BPF与平面BCF的夹角为，02，()0P AB，试分析()P ABC与()()()P AP B AP C AB的大小关系，并给予证明 参考公式及数据：()()()()(
32、)22n adbcabcdacbd=+，nabcd=+.0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析；有关联 （2）（）()98187P B A=，()98285P ABC=；（ii）()()()()P ABCP AP B AP C AB=，证明见解析【解析】【分析】（1）依题意完善22列联表，求得2，从而利用独立性检验即可得解；（2）（i）分析分层抽样所得的样本情况，再分析事件B A与ABC的意义，利用组合数结合古典概型的概率公式即可得解；（ii）利用条件概率公式即可得证明.【小问 1 详解】因为男生所占比例为60%
33、，所以男生有200 60%120=人，因为不喜欢体育锻炼的学生所占比例为45%，所以不喜欢体育锻炼的学生有200 45%90=人，则喜欢体育锻炼的学生有20090110=人，又喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多 50人，所以喜欢体育锻炼的男生有 80 人，喜欢体育锻炼的女生有 30 人，所以22列联表如下：性别 体育锻炼 合计 喜欢 不喜欢 男 80 40 120 女 30 50 80 合计 110 90 200 第19页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 假设0H：是否喜欢体育锻炼与性别无关联.根据表中数据，计算得到()2220080 5040 3016.49810.828120
34、80 110 90=，依据小概率值0.001=的2独立性检验，我们推断0H不成立.即认为是否喜欢体育锻炼与性别有关联.【小问 2 详解】（）依题意，随机抽取的 20 名学生中，喜欢体育锻炼的男生有8人，不喜欢体育锻炼的男生有4人，喜欢体育锻炼的女生有3人，不喜欢体育锻炼的女生有5人，事件B A表示：“在至少有 2名男生的条件下，至少有 2名男生喜欢体育锻炼”，事件ABC表示：“2男生 1女生都喜欢体育锻炼”和“3 男生中至少两人喜欢体育锻炼”，所以()()211138435821312812CCCCC98C CC187P B A+=+，()()211213835848320CCCC CC98C
35、285P ABC+=；（）对于随机事件,A B C，()0P A，()0P AB，有()()()()P ABCP AP B AP C AB=，证明如下：()()()()()()()()()P ABP ABCP AP B AP C ABP AP ABCP AP AB=.21.已知圆心在y轴上移动的圆经过点()0,4A，且与x轴、y轴分别交于(),0B x、()0,Cy两个动点，过点B垂直于x轴的直线与过点C垂直于y轴的直线交于点M.（1）求点M的轨迹T的方程；（2）点P、Q在曲线T上，以PQ为直径的圆经过原点O，作OHPQ，垂足为H.试探究是否存在定点R，使得RH为定值，若存在，求出该定点R的坐
36、标；若不存在，说明理由.【答案】（1）24xy=（2）存在，(0,2)R【解析】【分析】（1）根据题意得知AC为动圆的直径，从而利用平面向量垂直的坐标表示即可得解；第20页/共22页 学科网（北京）股份有限公司（2）根据题意假设直线PQ的方程，联立直线PQ与曲线T的方程，结合韦达定理求得1212,x xy y，再利用平面向量垂直的坐标表示求得m，从而推得直线PQ经过定点(0,4)N，进而推得点H在以ON为直径的圆上，由此得解.【小问 1 详解】因为圆心在y轴上移动的圆经过点()0,4A与()0,Cy，所以AC为动圆的直径，又动圆经过点(),0B x，故ABCB，于是(,4)(,)0AB CBx
37、xy=，即24xy=，而过点B垂直于x轴的直线与过点C垂直于y轴的直线交于点M，则(),M x y，故点M的轨迹T的方程为24xy=.【小问 2 详解】依题意，直线PQ的斜率存在且截距大于 0，故设其方程为()()1122(0),ykxm mP x yQ xy=+，联立24ykxmxy=+=，消去y得，2440 xkxm=，故()2160km=+，则124x xm=，故222121216x xy ym=，因为以PQ为直径的圆经过原点O，所以OPOQ，则12120OP OQx xy y+=，则240mm+=，解得4m=或0m=(舍去)，故直线PQ为4ykx=+，显然经过定点(0,4)N，又因为O
38、HPQ，则点H在以ON为直径的圆上，第21页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 取ON中点(0,2)R，则122RHON=，因此，存在定点(0,2)R使得RH为定值 2.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,x yxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12x x（或12yy+、12y y）的形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知函数()()ln1f xxxa x=，Ra.（1）若()0f x，求
39、实数a的值；（2）当*Nn时，证明：1111sinsinsinsinln21232nnnn+.【答案】（1）1a=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意推到()10f=，从而求得1a=，再检验当1a=时，()0f x 成立，从而得解；（2）利用小问（1）得不等式1ln1xx，再构造函数()sing xxx=证得sin xx，从而证得()()1sinlnln1nknknk，注意到()10f=，所以当()0f x 恒成立时，1x=是()f x的最小值点，也是极小值点，则()10f=，而()1 lnfxxa=+，所以1 ln10a+=，解得1a=，当1a=时，()ln1f xxxx=+，()
40、lnfxx=，令()0fx，得01x，则()f x在区间()1,+上单调递增，所以()()10f xf=，第22页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 所以1a=【小问 2 详解】由（1）得，ln10 xxx+，即1ln1xx，当且仅当1x=时等号成立，令1nkxnk+=+，则1ln1nknknk+，1,2,kn，*Nn，所以()()1lnlnln11nknknknknk+时，()()00g xg=，即sin xx 所以()()11sinlnln1nknknknk+，1,2,kn，*Nn，所以111sinsinsin122nnn+()()()()()ln1lnln2ln1ln 2ln 21nnnnnn+()2ln 2lnlnln2nnnn=.【点睛】关键点睛：本题求解的关键是借助1ln1xx 得出()()1sinlnln1nknknk+，结合累加求和可证结论.