《炎德英才湖南省长沙市湖南师大附中2024届高三上学期月考数学试题（五）含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《炎德英才湖南省长沙市湖南师大附中2024届高三上学期月考数学试题（五）含答案.pdf（38页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司大联考湖南师大附中大联考湖南师大附中 2024 届高三月考试卷（五）届高三月考试卷（五）数学数学一一选择题（本大题共选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合2,1,9AaaB=-=-，若1,1,9AB=-，则=a（）A 3B.1C.-1D.-32.已知复数231 ii2iiz-=-，则z的虚部为（）A.-1B.12-C.12D.13.二项式73241xx-的展开式中常数项为（）A 7-B.21-
2、C.7D.214.已知函数 321222xxaxa xf x-+-=+为偶函数，则=a（）A.2B.1C.1-D.2-5.已知F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab-=的左焦点，直线33yxa=+与C交于,A B两点，且BFx轴，则C的离心率为（）A.2B.3C.2D.36.已知函数 coslnf xxa x=+在区间0,2上单调递增，则a的最小值为（）A.8B.4C.2D.7.已知31sincos,cossin33abab+=-=-，则cos 22ab-=（）A.4781B.4781-C.1781D.1781-8.在数列 na中的相邻两项na与*1nan+N之间插入一个首项为1nan
3、-，公差为1n-的等差数列的前n项，记构成的新数列为 nb，若21nan=+，则 nb前 65 项的和为（）A.252-B.-13C.272-D.-14.第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司二二多选题（本大题共多选题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.）9.已知 S 为圆锥的顶点，AB为该圆锥的底面圆O的直径，45,SABC=o为底面圆周上一点，60,2BAC
4、SC=o，则（）A.该圆锥的体积为3B.3AC=C.该圆锥的侧面展开图的圆心角大于180oD.二面角ABCS-的正切值为210.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左右焦点分别为12,F F，直线2yx=+经过C的一个焦点和一个顶点，且与C交于,A B两点（点A 在第三象限），则（）A.2ab=B.2ABF的周长为 8C.83AB=D.以2AF为直径的圆过点B11.若函数 ln0cf xaxb xax=+-在xc=处取得极值，则（）A.240bac-B.acb+为定值C.当0的部分图象如图所示，且32MN=，则不等式 12f x +在区间0,4上的解集为_.四四解答题（本大题共解答题
5、（本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.）17.记ABCV内角,A B C的对边分别为,a b c，已知1tantan3BC=.（1）求222cba-的值；（2）若6a=，且ABCV的周长为36+，求边b上的高.18.记nS为正项数列 na的前n项和，且113a=，231nnnSa=-.（1）求数列 na的通项公式；（2）设111nnnnabaS+=-，记数列 nb的前n项和为nT，证明：38nT.的第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司19.为检验预防某种疾病的A B两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种
6、A B疫苗的志愿者各 100 名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为0,100)，统计如下：该项医学指标0,2525,5050,7575,100接种A 疫苗人数10m+105030m-接种B疫苗人数10m-304020m+个别数据模糊不清，用含字母m mN的代数式表示.（1）为检验该项医学指标在0,50内的是否需要接种加强针，先从医学指标在25,50的志愿者中，按接种A B疫苗分层抽取 8 人，再次抽血化验进行判断.从这 8 人中随机抽取 4 人调研医学指标低的原因，记这 4 人中接种B疫苗的人数为X，求X的分布列与数学期望；（2）根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于 50
7、，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于 50，产生抗体较强，不需接种加强针.请先完成下面的22列联表，若根据小概率0.025a=的独立性检验，认为接种A B疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求m的最大值.抗体疫苗抗体弱抗体强合计A 疫苗B疫苗合计附：22()n adbcabcdacbdc-=+，其中nabcd=+.第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司a0 250.0250.005xa1.3235.0247.87920.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，12BCAA=，点D为11BC上一点，且1CDBC.（1）证明：1ACP平面1ABD；（2）若ACAB=，求直线CD
8、与平面1ABD所成角的正弦值.21.已知抛物线E的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过12312,1,2,2,1,4AAA-三点中的两点.（1）求抛物线E的方程；（2）设O为坐标原点，E的焦点为F，过F的直线BC与E交于,B C两点，过F的直线PQ与E交于,P Q两点，点,P B都在第二象限，记直线,BC PQ的倾斜角分别为,a b，且90ab-=o.若直线PB与直线CQ交于点M，不同于点M的点N满足MNy轴，当ONPPQ时，设,NBCOBCVV的面积分别为,m n，求mnmn-的取值范围.22.已知函数 2ln2f xa xxa x=-.（1）求函数 f x的极值；（2）设 f x的导函数
9、为 fx，若1212,x xxx-.第 1 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司大联考湖南师大附中大联考湖南师大附中 2024 届高三月考试卷（五）届高三月考试卷（五）数学数学一一选择题（本大题共选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合2,1,9AaaB=-=-，若1,1,9AB=-，则=a（）A.3B.1C.-1D.-3【答案】B【解析】【分析】由1,1,9,1,9ABB=-=-，得到1A求解.【详解】解：因为1,1,9,1,9ABB
10、=-=-，所以1A，当21a=时，1a=，根据元素的互异性可知，1a=；当1a-=时，1a=-，不满足元素的互异性，舍去，故选：B.2.已知复数231 ii2iiz-=-，则z的虚部为（）A.-1B.12-C.12D.1【答案】C【解析】【分析】根据复数除法的运算法则、复数乘方的法则，结合共轭复数和复数虚部的定义进行求解即可.【详解】因为2231 i1 i1 i1 2i 11ii2iii2i2 1 i 1 i42z-=-+-所以1i2z=，所以z的虚部为12，故选：C.3.二项式73241xx-的展开式中常数项为（）A.7-B.21-C.7D.21【答案】A第 2 页/共 25 页学科网（北京
11、）股份有限公司【解析】【分析】根据二项式通项公式进行求解即可.【详解】二项式73241xx-的通项公式为14 14732317741CC1rrrrrrrTxxx-+=-=-，令14 14013rr-=，所以常数项为17C17-=-，故选：A4.已知函数 321222xxaxa xf x-+-=+为偶函数，则=a（）A.2B.1C.1-D.2-【答案】B【解析】【分析】结合偶函数定义与指数幂的运算计算即可得.【详解】因为 f x为偶函数，所以 fxf x-=，即323212122222xxxxaxa xaxa x-+-+-=+，整理得3210ax-=恒成立，所以210a-=，则1a=.故选：B.
12、5.已知F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab-=的左焦点，直线33yxa=+与C交于,A B两点，且BFx轴，则C的离心率为（）A.2B.3C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据题意直线过双曲线的左顶点得,0Aa-，再由BFx求出2,bBca-，然后利用点B也在直线上得到2ca=，从而求解.【详解】易知直线33yxa=+经过C的左顶点,0Aa-，第 3 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司设,0Fc-，因为BFx轴，所以22221cyab-=，解得2bya=-，或2bya=（舍去），所以点B坐标为2,bca-，则233bcaa-=-+，整理得2233acab-=，所以222
13、33acaca-=-，即22320caca-+=，解得ca=（舍去），或2ca=，所以C的离心率为2cea=，故 C 正确.故选：C.6.已知函数 coslnf xxa x=+在区间0,2上单调递增，则a的最小值为（）A.8B.4C.2D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得 0fx在区间0,2上恒成立，即sinaxx在区间0,2上恒成立，设 sin,0,2g xxx x=，利用导数求出max()g x可得答案.【详解】sinsin0-=-+=aaxxfxxxx在区间0,2上恒成立，即sinaxx在区间0,2上恒成立，设 sin,0,2g xxx x=，则 sincos0=+gxxxx，所以
14、g x在0,2上单调递增，则 max()2g xg x，所以该圆锥的侧面展开图的圆心角大于180,Co正确；取BC的中点D，连接,SD OD，则,SDBC OD为ABCV的中位线，所以11,22ODBC ODAC=，所以ODS为二面角ABCS-的平面角，易知SODV为直角三角形，所以tan2,DSOODSOD=错误.第 6 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司故选：AC.10.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左右焦点分别为12,F F，直线2yx=+经过C的一个焦点和一个顶点，且与C交于,A B两点（点A 在第三象限），则（）A.2ab=B.2ABF的周长为 8C.83AB
15、=D.以2AF为直径的圆过点B【答案】BCD【解析】【分析】根据条件求出,a b c的值，判定 A 错误；由椭圆定义可得2ABF的周长为 8，判定 B 正确；联立方程组求出422,0,233AB-，可得83AB=，判定 C 正确；2221212BFBFFF+=，所以1290FBF=o，判定 D 正确.【详解】易知直线2yx=+经过C的焦点12,0F-和顶点0,2B，所以2,2bc=，则22abc=+=2，所以2,Aab=错误；由椭圆的定义可知，2ABF的周长为48,Ba=正确；由上可知C的方程为22142xy+=，由221,422,xyyx+=+解得1240,23xx=-，则422,0,233
16、AB-，所以22428202,C333AB=-+-=正确；由12122,2 2BFBFFF=得，2221212BFBFFF+=，所以1290FBF=o，则以2AF为直径的圆过点,DB正确.第 7 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司故选：BCD.11.若函数 ln0cf xaxb xax=+-在xc=处取得极值，则（）A.240bac-B.acb+为定值C.当0，即可判断 A；由20acbcc+=判断 B；当a，当,xc+时 0fx，222bcaxbxcfxaxxx+=+=，由题意可知，xc=是方程20axbxc+=的一个变号实数根，则240bac=-，故 A 正确；由20acbcc+=
17、得，1acb+=-，故 B 正确；当a，所以函数2yaxbxc=+开口向下，且与x轴正半轴只有一个交点，第 8 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司当0,xc时，()0fx，当,xc+时，0fx，所以 f x在0,c上单调递增，在,c+上单调递减，则 f x有且仅有一个极大值，故 C 正确；将1bac=-代入20axbxc+=整理得10 xxca-=，则方程有不相等的实数根1a与c，即1ca，当10ca时，0fx，所以 f x在10,ca+上单调递增，在1,ca上单调递减，则1xa=是 f x的极大值点，xc=是 f x的极小值点，当10ca；当1,xca时，0fx的部分图象如图所示，且
18、32MN=，则不等式 12f x +在区间0,4上的解集为_.【答案】51,416【解析】【分析】根据函数的最高点和最低点，结合函数的零点、正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】由图可知，3,1,ABAB+=-+=-解得2,1AB=，由图可知，12sin+12sin2jj=，第 12 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司又0j，所以当0 x 时，显然有66xw+，因此函数先是增函数，显然不符合图象，当56j=时，52sin16f xxw=+因为0w，所以当0 x 时，显然有5566xw+，因此函数先是减函数，符合图象特征，令 1551572sin10sin2 66266f xxxxkw
19、ww=+=+=-+=-，或25112 Z66xkkw+=-，因为32MN=，所以2123243239xxwww-=，即 452sin196f xx=+，由 45452122sin1 12sin,96962f xxx+所以有453921932 2 ZZ4964216216mmmxmmxm+-，因为0,4x，所以令1m=，则有9219351692162161616xx-，而0,4x，所以51416x，故答案为：51,416【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数的单调性确定j的值.四四解答题（本大题共解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程
20、或演算步骤证明过程或演算步骤.）17.记ABCV的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知1tantan3BC=.第 13 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司（1）求222cba-的值；（2）若6a=，且ABCV的周长为36+，求边b上的高.【答案】（1）12 （2）152【解析】【分析】（1）根据题意，得到3sincossincosBCCB=，结合正弦、余弦定理，求得2224()2cba-=，即可求解；（2）根据题意得到3bc+=，结合（1）得到1cb-=，联立方程组求得2,1cb=，再由余弦定cos A的值，利用sinhcA=，即可求解.【小问 1 详解】解：由1tantan
21、3BC=，可得sinsincos3cosBCBC=，所以3sincossincosBCCB=，又由正弦定理和余弦定理，可得222222322abcacbbcabac+-+-=，整理得2224()2cba-=，所以22212cba-=.【小问 2 详解】解：由6a=，且ABCV的周长为36+，可得3bc+=，又由（1）可知，222123cba-=，即()()3cb cb+-=，所以1cb-=，联立方程组31bccb+=-=，解得2,1cb=，所以22222212(6)1cos22 1 24bcaAbc+-+-=-，则22115sin1 cos1()44AA=-=-=，所以边b上的高为1515si
22、n242hcA=.第 14 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司18.记nS为正项数列 na的前n项和，且113a=，231nnnSa=-.（1）求数列 na的通项公式；（2）设111nnnnabaS+=-，记数列 nb的前n项和为nT，证明：38nT.【答案】（1）13nna=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由231nnnSa=-退位相减可得13nnaa-=，又10,a 可得113nnaa-=，继而可知数列 na为等比数列，则通项可求；（2）由（1）可得1na+、1nS+继而可求nb，并将其裂项再求和，即可证明不等式.【小问 1 详解】因为231nnnSa=-，所以，当2n 时，
23、111231nnnSa-=-，两式相减得，111223131nnnnnnSSaa-=-，化简可得1133310nnnnaa-=，所以130nnaa-=，即13nnaa-=，又110,3a=可得113nnaa-=，所以数列 na是以13为首项，13为公比的等比数列，可得1111333nnna-=【小问 2 详解】由（1）可知，1113nna+=，第 15 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司1113311112313nnnS-=-所以1111123nnS+=-，则111113111111323nnnnnnnabaS+=-，111=111133nn+-，123nnTbbbb=+L122311
24、11111111111111111333333nn+=-+-+-L，1312113n+=-，因为118139n+-，所以1198113n+-，则38nT.19.为检验预防某种疾病的A B两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种A B疫苗的志愿者各 100 名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为0,100)，统计如下：该项医学指标0,2525,5050,7575,100接种A 疫苗人数10m+105030m-接种B疫苗人数10m-304020m+第 16 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司个别数据模糊不清，用含字母m mN的代数式表示.（1）为检验该项医学指标在0,50内的是否需要接种加
25、强针，先从医学指标在25,50的志愿者中，按接种A B疫苗分层抽取 8 人，再次抽血化验进行判断.从这 8 人中随机抽取 4 人调研医学指标低的原因，记这 4 人中接种B疫苗的人数为X，求X的分布列与数学期望；（2）根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于 50，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于 50，产生抗体较强，不需接种加强针.请先完成下面的22列联表，若根据小概率0.025a=的独立性检验，认为接种A B疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求m的最大值.抗体疫苗抗体弱抗体强合计A 疫苗B疫苗合计附：22()n adbcabcdacbdc-=+，其中nabcd=+.a0
26、.250.0250.005xa1.3235.0247.879【答案】（1）分布列见解析，3E X=（2）列联表见解析，2【解析】【分析】（1）由抽样调查性质可得抽取接种A B、疫苗人数，计算出X的所有可能取值的对应概率可得分布列，由分布列可计算期望；（2）结合2c的计算公式计算出对应m的范围即可得.第 17 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【小问 1 详解】从医学指标在25,50的志愿者中，按接种A B、疫苗分层抽取 8 人中，接种A 疫苗有 2 人，接种B疫苗有 6 人，由题意可知，X可能取值为2,3,4，221304262626444888C CC CC C3432,3,4C14
27、C7C14P XP XP X=，X的分布列为：X234P31447314则343234314714E X=+=；【小问 2 详解】22列联表如下：抗体疫苗抗体弱抗体强合计A 疫苗20m+80m-100B疫苗40m-60m+100合计60140200则 222200804060202 10100 100 140 6021mmmmmc-+-=，由题意可知，20.0252 105.02421mx-=，整理得，21052.752m-，解得2m 或18,mmN，又100,mm-N，则10,mmN，所以2,mmN，第 18 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司故m的最大值为 2.20.如图，在直三棱
28、柱111ABCABC-中，12BCAA=，点D为11BC上一点，且1CDBC.（1）证明：1ACP平面1ABD；（2）若ACAB=，求直线CD与平面1ABD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）2 23【解析】【分析】（1）利用空间向量的线性运算与数量积运算法则求得D为1BC的中点，再利用线面平行的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法求出直线CD与平面1ABD所成角的正弦值，从而求解.【小问 1 详解】设11101C DtC Bt=uuuu uuuu，则11111CDCCC DCCtC B=+=+uuu uuuu uuuu uuuu uuuu，1111111
29、111C BC BB BC BC CC BCC=+=+=-uuuuuuuuuuuuuuuuuu uuuuuuuu，所以2211111111111111CDC BCCtC BC BCCt CC C BCCtC B=+-=-+uuu uuuuuuu uuuuuuuuuuuu uuuu uuu uuuu uuuu，因为11111,2CDBC CCC B BCAA=，所以21210tAA-=，解得12t=，则点D为1BC的中点.连接1AB，设11ABABE=I，连接DE，因为四边形11ABB A为矩形，所以E为1AB的中点，第 19 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司在11ABC中，DE中位线
30、，所以DEP1AC，又1AC 平面1,ABD DE 平面1ABD，所以1ACP平面1ABD.【小问 2 详解】取BC的中点O，连接,OD OA，则DOP1BB，所以ODBC，由ACAB=可知，AOBC，易知四边形1AADO为平行四边形，又1AA 平面ABC，所以DO 平面ABC，所以DOOA.以O为坐标原点，分别以,OC OA OD所在直线为x轴y轴z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz-，如图，设1(0),22(0)OAm mBCAAa a=，所以1,2CCa BCa=，则1220,0,0,0,0,0,022Am aBaDaCa-，所以1220,0,0,0,22DAmDBaaDCaa=-=
31、-uuuu uuu uuu，设平面1ABD一个法向量为,nx y z=r，由10,0,DA nDB n=uuuu uuu 得0,20,2myaxaz=-=取2x=，则2,0,1n=-r，设直线CD与平面1ABD所成角为q，为的第 20 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司则22 2sincos,3332aDC naq=uuu.故直线CD与平面1ABD所成角的正弦值为2 23.21.已知抛物线E的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过12312,1,2,2,1,4AAA-三点中的两点.（1）求抛物线E的方程；（2）设O为坐标原点，E的焦点为F，过F的直线BC与E交于,B C两点，过F的直线
32、PQ与E交于,P Q两点，点,P B都在第二象限，记直线,BC PQ的倾斜角分别为,a b，且90ab-=o.若直线PB与直线CQ交于点M，不同于点M的点N满足MNy轴，当ONPPQ时，设,NBCOBCVV的面积分别为,m n，求mnmn-的取值范围.【答案】（1）24xy=（2）10,4【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称性，分类讨论进行求解即可；（2）根据直线的斜率公式、一元二次方程根与系数关系，结合三角形面积公式、点到直线距离公式、基本不等式进行求解即可.【小问 1 详解】因为12,1A关于y轴对称的点为12,1A-，所以拋物线E经过12,A A两点中的一点，由题意可知，抛物线E经过3
33、11,4A-，当抛物线E的方程为22(0)ypx p=-时，将点311,4A-代入E的方程得，21214p=-，解得132p=，验证可知，抛物线21:16E yx=-不经过点12,A A，不满足题意；第 21 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司当抛物线E的方程为22(0)xpy p=时，将点311,4A-代入E的方程得，21124p-=，解得2p=，验证可知，抛物线2:4E xy=经过点1A，不经过点2A，满足题意，故抛物线E的方程为24xy=.小问 2 详解】由（1）可知，0,1F，设BC的方程为10ykxk=+，设1122,B x yC xy，由21,4,ykxxy=+=得2440
34、 xkx-=，12124,4xxk x x+=-，因为90ab-=o，所以BCPQ，设3344,P xyQ xy，同理可知，34344,4xxx xk+=-=-.直线BP的斜率为223131313131444BPxxyyxxkxxxx-+=-，其方程2311144xxxyxx+-=-，即311344xxx xyx+=-同理可知直线CQ的方程422444xxx xyx+=-，即31311313134444444xxxxxxyxxx xx x-+=-=-由解得，1y=-，所以点M在直线1y=-上，由MNy轴可知，点N在直线1y=-上，设0,1N x-，由ONPPQ可知，ONBC，【第 22 页/共
35、 25 页学科网（北京）股份有限公司则1ONBCkk=-，所以011xk-=-，解得0 xk=，由上可知，212122444BCyyk xxk=+=+=+，原点O到直线BC的距离为1211dk=+，N到直线BC的距离为22221kdk+=+，所以2222111221,2122mBC dkknBC dk=+=+，则222111121221mnmnnmkkk-=-=-+2221221kkk+=+222222111111122412212111kkkkkk+=+，当且仅当22111kk+=+，即0k=取得等号，因为0k，所以14mnmn-得，104mnmn-，故mnmn-的取值范围为10,4.第 2
36、3 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点睛：本题的关键是对mnmn-的表达式进行变形，用基本不等式进行求解.22.已知函数 2ln2f xa xxa x=-.（1）求函数 f x的极值；（2）设 f x的导函数为 fx，若1212,x xxx-.【答案】（1）极大值为2ln42aaaa+-.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先利用导数求得 f x的单调区间，再利用极值定义即可求得函数 f x的极值；（2）先将不等式 211fxfx-转化为2121212ln0 xxxxxx-，再构造函数 12ln(1)g ttt tt=-，并利用导数证得 10g tg=，进而证得原不等式
37、成立.【小问 1 详解】f x的定义域为0,+，2122xaxafxxaxx-+=-=-，当0a 时，0fx时，当0,2ax时，()0fx，当,2ax+时，0fx，所以 f x在0,2a上单调递增，在,2a+上单调递减，故 f x只存在极大值且为2ln242aaafaa=+-.【小问 2 详解】由1212,x xxx为 f x的两个零点得，22111222ln2ln2a xxa xa xxa x-=-，所以 2221212121lnln2axxxxxxxx-+-=-+-，则 22212121212212121122lnlnlnxxxxxxxxaxxxxxxxx-+-+=-+-+-，又12121
38、22222aafxfxxaxaxx+=-+-121211222axxxx=+-+212112212211211222lnxxxxxxxxxxxx-+=+-+-.由（1）可知，f x在0,2a上单调递增，在,2a+上单调递减，若1212,x xxx-，需证 120fxfx+，需证2121122122112112220lnxxxxxxxxxxxx-+-+-，第 25 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司又12220 xx+，即证2121221111220lnxxxxxxxx-+-+-，因为120 xx，则2211ln0 xxxx+-，所以需证221211211122 ln0 xxxxxxxx-+-+-，即证2121212ln0 xxxxxx-，令21(1)xttx=，需证12ln0ttt-，设 12ln(1)g ttt tt=-，则 22212(1)10tg tttt-=+-=，所以 g t在1,+上单调递增，所以 10g tg=，则12ln0ttt-，故 211fxfx-.