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1、学科网（北京）股份有限公司成都石室中学成都石室中学 2023-2024 年度上期高年度上期高 2024 届期末考试届期末考试数学试题（理）数学试题（理）（总分：（总分：150 分，时间：分，时间：120 分钟分钟）第第卷（共卷（共 60 分）分）一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 道小题，每小题道小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分）1若复数z满足i2iz=-（i 是虚数单位），则z=（）A12i-+B12i-C12i-D12i+2.已知集合2,1xMy yx=，2Nx yxx=-，则MN等于（）A(0,1B2C0,2D(,2-3设等差数列 na的前n项和为nS，且1326S=
2、，则3810aaa+的值为（）A6B7C8D94.25yxxyx-+的展开式中，33x y的系数为（）A 15-B5-C5D15 5.函数 sin0,0,2f xAxAwjwj=+部分图象如图所示，则3f=（）A32B12C3-D3 6已知圆22:650C xyx+-+=与中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线D的一条渐近线相切，则双曲线D的离心率为（）A3 55B3C3或62D3 55或327.已知函数()f x是偶函数，当 xBxy D2 2xy+11.已知长方体1111ABCDABC D-在球 O 的内部，球心 O 在平面 ABCD上，若球的半径为3，ABBC=，则该长方体体积的最大值是（）
3、A4 B 8 C12D1812曲线C是平面内与三个定点121,0,1,0FF-和30,1F的距离的和等于2 2的点的轨迹.给出下列四个结论：曲线C关于x轴、y轴均对称；曲线C上存在点P，使得32 23PF=；若点P在曲线C上，则12FPF的面积最大值是 1；曲线C上存在点P，使得12FPF为钝角.其中所有正确结论的序号是（）A.B.C.D.第卷（共第卷（共 90 分）分）二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 道小题，每小题道小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.若x、y满足约束条件280403+xyxy，则zxy=+的最大值为_14.设212()logf xxx=+，则不等式
4、11(1)2fx-的解集为_15已知2sin63a+=，则4cos 23a+的值为_16如图，在三棱锥111AABC-中，1AA 平面111111,90ABCABC=，11111222,ABA ABCP=为线段1AB学科网（北京）股份有限公司的中点，,M N分别为线段1AC和线段11BC上任意一点，则5PMMN+的最小值为_三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 道小题，共道小题，共 70 分）分）17某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y（单位：cm）与父亲身高x（单位：cm）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了 5 对父子的身高数据，如下表
5、：父亲身高x160170175185190儿子身高y170174175180186参考数据及公式：51880iix=，521155450iix=，51885iiy=，51156045iiix y=，121niiiniixxyybxx=-=-，aybx=-(1)根据表中数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程；(2)小明的父亲身高 178cm，请你利用回归直线方程预测小明成年后的身高。18如图，在四棱锥PABCD-中，底面ABCD为直角梯形，ABAD，/AD BC，侧面PAB 面ABCD，2PAABAD=，4BC=，E为PD的中点.(1)求证：面PBC 面PDC；(2)若二面角PADB-的大小为
6、60，求BE与面PBC所成角的正弦值.19.为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地 ABCD 用于蔬菜种植实践活动.经测量，边界 AB 与 AD 的长度都是 14 米，60BAD=o，120BCD=o.(1)若 DC 的长为 6 米，求 BC 的长；(2)现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆的最大长度为多少米？学科网（北京）股份有限公司20已知椭圆22122:10 xyCabab+=的离心率为12，抛物线22:4Cyx=在第一象限与椭圆1C 交于点A，点 F 为抛物线2C的焦点，且满足5|3AF=.(1)求椭圆1C的方程；(2)设直线1xmy=+
7、与椭圆1C 交于 P,Q 两点，过,P Q 分别作直线:2l xt t=的垂线，垂足为 M、N，l与 x 轴的交点为 T若PMT、PQT、QNT 的面积成等差数列，求实数 m 的取值范围.21.已知函数1()lnf xxmxmx=-，其中e是自然对数的底数(1)讨论 f x的单调性；(2)若1m=，设关于x的不等式1()lnf xxxkxnx-+对1,ex 恒成立时 k 的最大值为,1,ec knR，求nc+的取值范围选考题：共选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4
8、-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分）22.已知圆 C 的参数方程为14cos(14sinxybbb=-+=+为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)若直线l 的参数方程是cossinxtytaa=(t 为参数，a为直线 l 的倾斜角)，l 与 C 交于 A，B 两点，|2 14=AB，求 l 的斜率.23已知函数 2f xx=-.(1)求不等式 25f xx-的解集；(2)若 3f xxa-+恒成立，求a的取值范围.24高三试卷网盘群你将获得：各科无水印各地区试卷（每日更新一手整理，质量有保障）你将获得：各种热门教辅资
9、料还有更多内容限时入群49元详询V：GZSJJ2000学科网（北京）股份有限公司成都石室中学成都石室中学 2023-2024 年度上期高年度上期高 2024 届期末考试届期末考试数学试题（理）数学试题（理）参考答案1若复数z满足i2iz=-（i 是虚数单位），则z=（）A12i-+B12i-C12i-D12i+【答案】A【分析】计算2i1 2iiz-=-，再计算共轭复数即可.【详解】i2iz=-，则2i1 2iiz-=-，则12iz=-+.故选：A2.已知集合2,1xMy yx=，2Nx yxx=-，则MN等于（）A(0,1B2C0,2D(,2-2C【分析】根据指数函数单调性得到0,2M=，解
10、不等式求出0,1N=，利用并集概念求出答案.【详解】20,2xy=，故0,2M=，令20 xx-，解得01x，故0,1N=，故0,2MN=U.故选：C3设等差数列 na的前n项和为nS，且1326S=，则3810aaa+的值为A6B7C8D9【答案】选 A【解析】由1371326Sa=，可得72a=，则1037836aaaa=+=+.4.25yxxyx-+的展开式中，33x y的系数为A 15-B5-C5D15【答案】选 A【解析】22555yyxxyx xyxyxx+-=+-Q，5x xy-的展开式通项为5655()(1)kkkkkkkkTxCxyCxy-=-=-，25yxyx-的展开式通项
11、为254255()(1)rrrrrrrrySCxyCxyx-+=-=-，由6343kr-=-=，可得31kr=，因此，式子25yxxyx-+的展开式中，33x y的系数为331155(1)(1)15CC-+-=-.5.函数 sin0,0,2f xAxAwjwj=+部分图象如图所示，则3f=学科网（北京）股份有限公司A32B12C3-D3【答案】选 D【解析】由函数()sin()f xAxwj=+的部分图象知，2A=，11233334Tppp=-=，解得24Tppw=，12w=，又2122sin2323fppj=+=，可得122232kppjp+=+，Zk，解得26kpjp=+，Zk，|2jp，
12、可得6j=，1()2sin26f xxp=+，12sin2sin332363fpppp=+=.6已知圆22:650C xyx+-+=与中心在原点焦点在坐标轴上的双曲线D的一条渐近线相切，则双曲线D的离心率为（）.A3 55B3C3或62D3 55或32【答案】D【分析】分双曲线的焦点在 x 轴上和 y 轴上，由圆心到渐近线的距离等于半径列式求解即可.【详解】因为22:650C xyx+-+=可化为2234xy-+=，则圆C的圆心为3,0，半径为 2，当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为22221xyab-=，则其渐近线方程为0bxay=，由题意得2232bba=+，即2254ba=，所
13、以2245ba=，所以2243 51155cbeaa=+=+=，当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为22221xyba-=，则其渐近线方程为0axby=，由题意得2232aba=+，即2254ab=，所以2254ba=，则22153142cbeaa=+=，故选：D.7.已知函数()f x是偶函数，当 x0 时，3()1f xxx=-+，则曲线()yf x=在 x=1 处的切线方程为A210 xy+-=B230 xy-=C230 xy+-=D210 xy-=【答案】选 C【解析】因为 x0，3()1f xxx=-+，(1)1f-=，又由 f x是偶函数，(1)1f=，令0 x-时，3()
14、1f xxx=-+，所以，0 x 时，2()31fxx=-+，(1)2f=-，故曲线()yf x=在1x=处的切线方程为12(1)yx-=-，即230 xy+-=.8已知一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）学科网（北京）股份有限公司 A222+B2622+C26222+D26232+【答案】C【分析】先由三视图原几何体，再分别求得各面的面积相加即可得解.【详解】由题知，该三视图对应的几何体的直观图如图所示，其中半圆柱的底面半径为 1、高为 1，三棱锥OABC-中，O在底面ABC的射影1O为AB的中点，BCAB，1BC=，2OAOB=，5AC=，因为1OO 面ABC，BC面ABC
15、，所以1BCOO，又BCAB，111,ABOOO AB OO=I面ABO，所以BC面ABO，又OB面ABO，故BCOB，3OC=，222ACOAOC=+，OAOC，该几何体的表面积为21111 1 1 121 12 12 1232222 +26222+=+.故选：C.9执行如图所示的程序框图，若随机输入的0,16a，则输出的1 1,4 2b的概率为（）A316B1516C12D34【答案】B学科网（北京）股份有限公司【分析】根据1 1,4 2b可得1,2a，再根据循环结构可得当1,16a时均能得到1 1,4 2b，从而可得答案.【详解】由框图可得若1 1,4 2b，则11242a-，解得1,2
16、a.故当0,1a，满足2a，可得输出1,12b；当1,2a时，满足2a，可得输出1 1,4 2b；当2,4a时，不满足2a，此时2log1,2aa=，故可得输出1 1,4 2b；当4,16a时，不满足2a，此时2log2,4aa=；不满足2a BxyD2 2xy+【答案】选 D【解析】因为23x=，34y=，所以23log 3,log 4xy=，因为32223log 3log 22=，32333log 4log 32，所以 A，B 错误；因为33333211log 4log 2log 4log 8log 92log 3yx+=+=+=，所以12yx+=，所以 D 正确.11.已知长方体1111
17、ABCDABC D-在球 O 的内部，球心 O 在平面 ABCD 上，若球的半径为3，ABBC=，则该长方体体积的最大值是A4 B 8 C12D18【答案】选 A【解析】设长方体1111ABCDABC D-的高为 h，设 AB=a，则2BDa=，所以222BDa=.由勾股定理得222()332BDh+=即2232+=ah得226 2=-ah，所以长方体1111ABCDABC D-的体积为2236226=-=-+Va hhhhh，设3()26=-+f hhh，其中 0h3，则2()66=-+fhh，令()0f h=，得1h=，当01h，()f h在(0,1)上单调递增；当13h时，()0fh，(
18、)f h在(1,3)上单调递减.所以函数()Vf h=在1h=处取得极大值，亦即最大值，则max(1)4=Vf.因此该长方体的体积的最大值为4.12曲线C是平面内与三个定点121,0,1,0FF-和30,1F的距离的和等于2 2的点的轨迹.给出下列四个结论：曲线C关于x轴、y轴均对称；学科网（北京）股份有限公司曲线C上存在点P，使得32 23PF=；若点P在曲线C上，则12FPF的面积最大值是 1；曲线C上存在点P，使得12FPF为钝角.其中所有正确结论的序号是（）A.B.C.D.【答案】C【分析】由已知表示出 C 的方程，观察方程的对称性可以判断结果；假设结论成立，推理出曲线不存在，不合题意
19、；点 P 在椭圆上顶点时，满足题意，且面积最大；寻找曲线 C 上的一个特殊点，验证12FPF为钝角.【详解】设曲线C上任意一点 P(x，y)，由题意可知C的方程为2222221112 2xyxyxy+-+-=.错误,在此方程中用x-取代x，方程不变，可知C关于y轴对称；同理用y-取代y，方程改变，可知C不关于x轴对称，故错误.错误,若32 23PF=，则12124 223PFPFFF+=，曲线C不存在，故错误.正确,121232 2PFPFPFPFPF+=，P 应该在椭圆 D：2212xy+=内(含边界)，曲线C与椭圆 D有唯一的公共点30,1F，此时122FF=，31OF=，当点 P 为3F
20、点时，12FPF的面积最大，最大值是 1；故正确正确，由 可知，取曲线C上点30,1F，此时13290FF F=o，下面在曲线C上再寻找一个特殊点P(0，y)，01y，则22 112 2yy+-=，把22 12 21yy+=-+两边平方，整理得23(24 2)4 250yy+-+-=，解得4 22(84 2)6y-=，即1y=或4 253-.因为4 25013-o.故正确故答案为：【点睛】易错点睛：与椭圆相关的综合问题，难度大，要注意：(1)注意观察方程的特征，利用代数方法判断曲线C的对称性；(2)适当利用反向推理，假设成立，再反向推理看是否合理；(3)椭圆焦点三角中，当点在椭圆上下顶点时，焦
21、点三角形面积最大，椭圆上点与两个焦点的张角最大；(3)验证存在性的问题，只需找到一个正例就可以说明其存在性；验证某个结论错误时，只需一个反例即可说明.13.若 x、y满足约束条件280403+xyxy，则zxy=+的最大值为_【答案】7【解析】由题意可知，约束条件为280403+xyxy，根据约束条件可绘出可行域：学科网（北京）股份有限公司当目标函数经过点4,3B时取最大值，max437z=+=.14.设212()logf xxx=+，则不等式11(1)2fx-的解集为_【答案】1,13【解析】由题意，函数212()logf xxx=+，根据初等函数的性质，可得函数 f x在定义域0,+为单调
22、递减函数，且1(2)2=f，则不等式11(1)2fx-等价于1012x-，解得113x的离心率为12，抛物线22:4Cyx=在第一象限与椭圆 C1交于点A，点 F 为抛物线2C的焦点，且满足5|3AF=.(1)求椭圆1C的方程；(2)设直线1xmy=+与椭圆 C1交于 P,Q 两点，过,P Q 分别作直线:2l xt t=的垂线，垂足为 M、N，l与 x 轴的交点为 T若PMT、PQT、QNT 的面积成等差数列，求实数 m 的取值范围.【解析】(1)由题意，5|13MAFx=+=,则点2 2 6,33A 在椭圆上，得2248193ab+=，222214abea-=即2234ab=联立，解得 a
23、24，b23，椭圆 C1的方程为22143xy+=；4 分(2)依题意，直线 PQ 与 x 轴不重合，故可设直线 PQ 的方程为 xmy+1联立221431xyxmy+=+，消去22:(34)690 xmymy+-=设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则有0，且12122269,3434myyy ymm+=-=-+7 分设PMT，PQT，QNT 的面积分别为 S1，S2，S3，S1，S2，S3成等差数列，2S2S1+S3，即 3S2S1+S2+S3，则1212121131|22tyytxtxyy-=-+-；即 3（t1）2t（x1+x2），得 t3（x1+x2），9 分又 x1my1+1，
24、x2my2+2，于是，t3（my1+my2+2）1m（y1+y2），2261234mtm=+，解得243m 21.（本小题满分 12 分）已知函数1()lnf xxmxmx=-，其中e是自然对数的底数(1)讨论 f x的单调性；学科网（北京）股份有限公司(2)若1m=，设关于 x的不等式1()lnf xxxkxnx-+对1,ex 恒成立时 k 的最大值为,1,ec knR，求nc+的取值范围【解析】(1)f x的定义域为0,+，22211()1mxmxfxxxx-+=+-=，1 分当2m 时，()0fx，0,xf x+单调递增；当2m 时，221()0 xmxfxx-+=，221244,22m
25、mmmxx-+-=，120,0,fxxxxf x+单调递增；120,fxxx xf x时，()f x在22(0,),(42)4,2mmmm-+-+单调递增，在22(,4422)mmmm-+-单调递减.5 分(2)因为 x的不等式1()lnf xxxkxnx-+对1,ex 恒成立,则(1ln)lnxxxxnkx+-+，对1,ex 恒成立,6 分令1lnln()xxxxng xx+-+=，即2ln()xxng xx-+-=，令()lnp xxxn=-+-，即1()10p xx=-+，所以()p x在1,ex上递增；7 分当(1)0p，即1n 时，因为1,en，所以1n=，当1,ex，()0p x，
26、即()0g x，所以()g x在1,e上递增，所以min()(1)cg xgn=，故22ncn+=；8 分当(e)0p即e1,en-时，因为1,ex，()0p x，即()0g x，所以()g x在1,e上递减，所以min2()(e)encg xg+=，故212e,e1eeenncn+=+；9 分当(1)(e)0pp，即(1,e1)n-时，因为()lnp xxxn=-+-在1,e上递增，所以存在唯一实数0(1,e)x，使得00p x=，即00lnnxx=-，则当01,xx时，()0p x，即()0g x，即()0g x，故()g x在01,x上单减，0,ex上单增，所以0000min00001l
27、nln1()lnxxxxncg xg xxxx+-+=+，所以00000011lnlnncxxxxxx+=+-=+，设0001()(1,e)u xxxx=+，则2020011()10 xu xxx-=-=，所以()u x在1,e上递增，所以12,eenc+综上所述，22,e1enc+12 分22.选修 44：坐标系与参数方程已知圆 C 的参数方程为14cos(14sinxybbb=-+=+为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极学科网（北京）股份有限公司坐标系.(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)若直线l的参数方程是cossinxtytaa=(t 为参数，a为直线 l 的倾斜角)，
28、l 与 C 交于 A，B 两点，|2 14=AB，求 l 的斜率.【解析】（）圆 C 的直角方程为221(1)16xy+-=将cos,sinxyrqrq=，222xyr+=得22cossin140rrqq+-=.故圆 C 的极坐标方程为22cossin140rrqq+-=4 分（）在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为(R)qa r=，设 A，B 所对应的极径分别为12,r r.将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得22cossin140rrqq+-=.于是1212sinco,14srrraar+=-2121212|457sin22 14=-=+-=-=ABrrrrr ra得sin21,
29、2,24aaa=所以 l 的斜率为 1.10 分23已知函数 2f xx=-.(1)求不等式 25f xx-的解集；(2)若 3f xxa-+恒成立，求a的取值范围.【答案】(1),3-(2),51,-+U.【分析】（1）绝对值不等式分类讨论求解即可得；（2）双绝对值不等式恒成立问题，借助绝对值三角不等式，将原问题转化即可得.【详解】（1）25f xx-等价于20225xxx-或20225xxx-，解得23x或2x，即3x，即不等式 25f xx-的解集为,3-；5 分（2）3f xxa-+恒成立，即23xxa-+恒成立，因为222xxaxxaa-+-+=+，所以23a+，解得1a 或5a -，即a的取值范围是,51,-+U.10 分24高三试卷网盘群你将获得：各科无水印各地区试卷（每日更新一手整理，质量有保障）你将获得：各种热门教辅资料还有更多内容限时入群49元详询V：GZSJJ2000