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1、统考版2024届高考数学一轮复习第四章4.1任意角和蝗制及任意角的三角函数学案理含解析20230423157第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数【知识重温】一、必记4个知识点1角的分类(1)任意角可按旋转方向分为_、_、_.(2)按终边位置可分为_和终边在坐标轴上的角(3)与角终边相同的角连同角在内可以用一个式子来表示，即_.2象限角第一象限角的集合_第二象限角的集合_第三象限角的集合_第四象限角的集合_3.角的度量(1)弧度制：把等于_长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角(2)角的度量制有：_制，_制(3)换算关系：1_rad,1 rad_.(4)弧长及扇形面积公式：弧长公式为_，扇形面积公
2、式为_.4任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么_叫做的正弦，记作sin _叫做的余弦，记作cos _叫做的正切，记作tan 各象限符号_口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段_为正弦线有向线段_为余弦线有向线段_为正切线二、必明3个易误点1易混概念：第一象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2利用180 rad进行互化时，易出现度量单位的混用3三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin y，cos x，tan ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin ，cos
3、，tan .【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)小于90的角是锐角()(2)角k(kZ)是第一象限角()(3)若sin sin，则.()(4)300角与60角的终边相同()(5)若A|2k，kZ，B|4k，kZ，则AB.()二、教材改编2已知是第一象限角，那么是()A第一象限角 B第二象限角C第一或第二象限角 D第一或第三象限角3已知角的终边过点P(12,5)，则sin _，cos _.三、易错易混4若一扇形的圆心角为72，半径为20 cm，则扇形的面积为()A40 cm2 B80 cm2C40 cm2 D80 cm25角的终边经过点P(x,4)，且c
4、os ，则sin _.四、走进高考62020全国卷，2若为第四象限角，则()Acos 20 Bcos 20 Dsin 20象限角与终边相同的角的表示自主练透型12018全国卷下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ) Bk360(kZ)Ck360315(kZ) Dk(kZ)2设是第三象限角，且|cos |cos ，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角3若sin 0，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角4已知角的终边在直线yx上，则的集合S_.悟技法1.终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(
5、2)按逆时针方向写出0,2)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合2确定k，(kN*)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角的范围；(2)再写出k或的范围；(3)然后根据k的可能取值讨论确定k或的终边所在位置.考点二扇形的弧长及面积公式互动讲练型例1若扇形的周长为10，面积为4，则该扇形的圆心角为_变式练(着眼于举一反三)1若去掉本例中“面积为4”，则当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？悟技法应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问
6、题(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.2.若扇形的圆心角120，弦长AB12 cm，则弧长l_ cm.3已知扇形的面积为2，扇形的圆心角的弧度数是，则扇形的周长为_考点三三角函数的定义及应用分层深化型考向一：三角函数的定义例2(1)若是第二象限角，其终边上有一点P(x，)，且cos x，则sin 的值是()A. B.C. D(2)已知角的终边经过点P(x，6)，且cos ，则_.考向二：三角函数值的符号例3(1)若1，则x不可能的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)若满足sin cos 0且cos sin 0，则在第_象限考向三：三角函
7、数线的应用例4设asin 1，bcos 1，ctan 1，则a，b，c的大小关系是()Aabc BacbCbac Dbca悟技法1.三角函数定义应用策略(1)已知角的终边与单位圆的交点坐标，可直接根据三角函数的定义求解(2)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解(3)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义的推广形式求解(4)已知角的某三角函数值(含参数)或角终边上一点P的坐标(含参数)，可根据三角函数的定义列方程求参数值(5)已知角的终边所在的直线方程或角的大小，根据三角函数的定义可求角终边上
8、某特定点的坐标2三角函数值符号的记忆口诀一全正、二正弦、三正切、四余弦3三角函数线的两个主要应用(1)三角式比较大小(2)解三角不等式(方程).变式练(着眼于举一反三)4sin 2cos 3tan 4的值()A小于0 B大于0C等于0 D不存在5已知角的终边在直线yx上，且cos 0，则tan _.6已知角的终边过点P(3cos ，4cos )，其中，则sin _，tan _.第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数【知识重温】正角负角零角象限角k360(kZ)|2k2k，kZ|2k2k，kZ|2k2k，kZ|2k2k2，kZ半径角度弧度l|rSlr|r2yx正正正正负负
9、负负正负正负MPOMAT【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)(5)2解析：因为k36090k360，kZ，所以k18045k180，kZ，当k为奇数时，是第三象限角；当k为偶数时，是第一象限角答案：D3解析：r 13，sin ，cos .答案：4解析：72，S扇形R220280(cm2)答案：B5解析：由题意得，解得x0或x3，当x0时，sin 1；当x3时，sin .答案：或16解析：解法一是第四象限角，2k2k，kZ，4k24k，kZ，角2的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，sin 20，cos 2可正、可负、可零，故选D.解法二是第四象限角，sin 0，sin 22sin co
10、s 0，故选D.答案：D课堂考点突破考点一1解析：与角的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确答案：C2解析：是第三象限角，是第二或第四象限角，又|cos |cos ，cos 0，因此是第二象限角答案：B3解析：sin 0，在第一、三象限，故sin 0时，在第三象限答案：C4解析：如图，直线xy0过原点，倾斜角为60，在0360范围内，终边落在射线OA上的角是60，终边落在射线OB上的角是240，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：S1|60k360，kZ，S2|240k360，kZ，所以角的集合SS1S2|60k360，kZ|60180k360，
11、kZ|602k180，kZ|60(2k1)180，kZ，所以角的集合S|60k180，kZ答案：|60k180，kZ考点二例1解析：设圆心角是，半径是r，则，解得或(舍去)，故扇形的圆心角为.答案：变式练1解析：设圆心角为，半径为r，则2rr10，Sr2r(102r)r(5r)(r)2.当且仅当r时，Smax，2，所以当r，2时，扇形面积最大2解析：设扇形的半径为r cm，如图由sin 60得r4 cm，所以l|r4(cm)答案：3解析：设扇形的弧长为l，半径为R，由题意可得：lR2，解得：l2，R2，则扇形的周长为：l2R42.答案：42考点三例2解析：(1)由三角函数的定义得cos x，解
12、得x0或x或x，是第二象限角，即x0，x，sin .(2)因为角的终边经过点P(x，6)，且cos ，所以cos ，即x，所以P(，6)所以sin ，所以tan ，则.答案：(1)C(2)例3解析：(1)当x是第一象限角时，31，故x一定不是第一象限角；当x是第二象限角时，1111，即x可以是第二象限角；当x是第三象限角时，1111，即x可以是第三象限角；当x是第四象限角时，1111，即x可以是第四象限角(2)sin cos 0，在第二、四象限，又cos sin 0，(2k，2k)，kZ，在第二象限答案：(1)A(2)二例4解析：如图，设BOC1，由于1，结合三角函数线的定义有cos 1OC，
13、sin 1CB，tan 1DA，结合几何关系可得cos 1sin 1tan 1，即bac.答案：C变式练4解析：因为2340，cos 30，所以sin 2cos 3tan 40.答案：A5解析：如图，由题意知，角的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则yx，由三角函数的定义得tan 1.答案：16解析：因为，所以cos 0，所以r5cos ，所以sin ，tan .答案：第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式【知识重温】一、必记3个知识点1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：_.(2)商数关系：_.2三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)正弦sin _余弦cos _正切ta
14、n _3.特殊角的三角函数值角030456090120150180角的弧度数0sin _1_0cos _0_1tan _1_0二、必明2个易误点1在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号2注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，为锐角，则sin2cos21.()(2)若R，则tan 恒成立()(3)sin()sin 成立的条件是为锐角()二、教材改编2已知sin()，则cos ()ABC.D.3化简 (为第二象限角)_.三、易错易混4已知sin()，且(，0)，则tan(2)等于()A.
15、 B C. D5已知sin cos ，且0，则tan _.四、走进高考62019全国卷tan 255()A2 B2 C2 D2三角函数的诱导公式自主练透型1sin(1 200)cos 1 290_.2若f(x)sin1，且f(2 020)2，则f(2 021)_.32021合肥检测在平面直角坐标系中，若角 的终边经过点P，则sin()()ABC.D.悟技法1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤2利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的求出值.考点二同角三角函数关系式的应用互动讲练型考向一：公式
16、的直接应用例1(1)已知角是第二象限角，且满足sin3cos()1，则tan()等于()A.BCD1(2)2021北京市适应性测试已知是第四象限角，且tan ，则sin ()A B. C. D悟技法同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin2cos21可实现的正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.考向二：已知tan ，求关于sin 与cos 的齐次式的值例2(1)若tan 3，则等于()A2 B2
17、 C. D(2)已知tan 2，则_.悟技法已知角的正切值，求由sin 和cos 构成的代数式的值，构成的代数式通常是分式齐次式或整式齐次式(1)形如的分式，可将分子、分母同时除以cos ；形如的分式，可将分子、分母同时除以cos2，将正、余弦转化为正切，从而求值(2)形如asin2bsin cos ccos2的式子，可将其看成分母为1的分式，再将1变形为sin2cos2，转化为形如的分式求解.考向三：利用sin cos 与sin cos 之间的关系求值例3已知sin cos ，0，则sin cos 的值为_悟技法在同角三角函数的基本关系中，sin2cos21可变换成(sin cos )22s
18、in cos 1，其中sin cos 与sin cos 很容易与一元二次方程的根与系数的关系产生联系若以sin ，cos 为两根构造一元二次方程，则可利用上述关系解决相关问题如本题中，易知sin ，cos 是关于x的方程x2x0的两个实数根，解方程可求出sin 和cos .考向四：三角函数式的化简例4(1)；(2) (180270)悟技法同角三角函数式化简过程中常用的方法：(1)对于含有根号的，常把被开方数(式)去根号达到化简的目的；(2)化切为弦，从而减少函数名称，达到化简的目的；(3)对于含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin2cos21，以降低次数，达到化简的目的.变式练(着
19、眼于举一反三)1已知是第四象限角，sin ，则tan 等于()A B. C D.2已知tan 3，则sincos的值为()A. B C. D32021吉林部分名校3月联考若sin cos ，且，则sin()cos()()A B. C D.4已知5，则cos2sin cos 的值是()A. B C3 D3第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式【知识重温】sin2cos21tan sin sin sin cos cos cos cos cos sin sin tan tan tan 010【小题热身】1答案：(1)(2)(3)2解析：sin()sin2()sin()cos ，cos ，故选B.答案
20、：B3解析：为第二象限角，原式2tan .答案：2tan 4解析：sin()，sin ，又(，0)，cos ，则tan ，tan(2)tan ，tan .答案：A5解析：00，又sin cos ，则cos sin 代入cos2sin21得sin ，cos ，tan .答案：6解析：tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)2.故选D.答案：D课堂考点突破考点一1解析：原式sin 1 200cos 1 290sin(3360120)cos(3360210)sin 120cos 210sin(18060)cos(18030)sin 60cos 30.答案：2解析：因为f(2
21、020)sin1sin(1 010)1sin 12，所以sin 1，cos 0.所以f(2 021)sin1sin1cos 11.答案：13解析：因为sinsin，coscos，所以点P为，角的终边在第二象限，根据任意角的三角函数的定义可得sin ，所以sin()sin ，选A.答案：A考点二例1解析：(1)由sin3cos()1，得cos 3cos 1，cos ，角是第二象限角，sin ，tan()tan .(2)因为tan ，所以cos sin ，sin2cos21，由得sin2，又是第四象限角，所以sin 0，则sin ，故选A.答案：(1)B(2)A例2解析：(1)因为tan 3，所以
22、2.(2)原式，又tan 2，原式.答案：(1)A(2)例3解析：sin cos ，(sin cos )2，解得sin cos，(sin cos )212sin cos ，0且sin cos 0，cos 0，sin cos .答案：例4解析：(1)原式1.(2)原式 .180270，sin 0，原式.变式练1解析：因为是第四象限角，sin ，所以cos ，故tan .答案：C2解析：通解依题意，sincoscos sin ，故选B.优解因为tan 3，所以sin 3cos ，又sin2cos21，所以cos2.而sincoscos sin 3cos2.故选B.答案：B3解析：由sin cos
23、得12sin cos ，即2sin cos ，(sin cos )212sin cos ，又，sin cos ，则x.()二、教材改编2下列关于函数y4sin x，x0,2的单调性的叙述，正确的是()A在0，上单调递增，在，2上单调递减B在0，上单调递增，在，2上单调递减C在0，及，2上单调递增，在，上单调递减D在，上单调递增，在0，及，2上单调递减3函数ycos(x)的最大值为_，此时x的集合为_三、易错易混4关于三角函数的图象，有下列说法：ysin|x|与ysin x的图象关于y轴对称；ycos(x)与ycos|x|的图象相同；y|sin x|与ysin(x)的图象关于x轴对称；ycos
24、x与ycos(x)的图象关于y轴对称其中正确的是_(写出所有正确说法的序号)5函数y12sin(x)的单调增区间是_四、走进高考62019全国卷下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是()Af(x)|cos 2x| Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos |x| Df(x)sin |x|三角函数的定义域自主练透型1y 的定义域为_2函数y的定义域为_3函数ylg(sin x) 的定义域为_悟技法求与三角函数有关的函数定义域的基本方法是“数形结合”，也就是在求这类函数定义域时，往往需要解有关的三角不等式，而解三角不等式的方法是：要么利用正、余弦曲线，正切曲线，要么利用单位圆等图形的直观
25、形象来解决问题.考点二三角函数的值域与最值互动讲练型例1(1)2019全国卷函数f(x)sin3cos x的最小值为_(2)函数ysin xcos xsin xcos x，x0，的值域为_悟技法三角函数最值或值域的三种求法(1)直接法：利用sin x，cos x的值域(2)化一法：化为yAsin(x)k的形式，确定x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题. 变式练(着眼于举一反三)1函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()A2 B0C1 D12函数f(x)sin在区间上的最小值为_考点
26、三三角函数的性质互动讲练型考向一：三角函数的周期性例2函数f(x)(sin xcos x)(cos xsin x)的最小正周期是()A. BC. D2考向二：三角函数的对称性例3已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则函数f(x)的图象()A关于直线x对称 B关于直线x对称C关于点对称 D关于点对称考向三：三角函数的单调性例4已知f(x)sin，x0，则f(x)的单调递增区间为_悟技法1.奇偶性与周期性的判断方法(1)奇偶性：由正、余弦函数的奇偶性可判断yAsin x和yAcos x分别为奇函数和偶函数(2)周期性：利用函数yAsin(x)，yAcos(x)(0)的周期为，函数yAtan
27、(x)(0)的周期为求解2求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求它的单调区间.变式练(着眼于举一反三)32021贵阳市监测考试已知函数f(x)cos 2xsin 2x，则f(x)的单调递增区间是()Ak，k(kZ) Bk，k(kZ)Ck，k(kZ) Dk，k(kZ)4关于函数ytan，下列说法正确的是()A是奇函数B在区间上单调递减C.为其图象的一个对称中心D最小正周期为5若函数f(x)sin x(0)在上单调递增，在区间上单调递减，则_.第三节
28、三角函数的图象与性质【知识重温】f(xT)f(x)T最小正数最小正数y|1y1y|1y1R(2k1)，2k2k，(2k1)2k2k2k2k奇函数偶函数奇函数(k，0)，kZ，kZ，kZxk，kZxk，kZ22【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2解析：结合正弦函数ysin x，x0,2的图象可知C正确答案：C3解析：当cos(x)1，即x2k，kZ，即x4k，kZ时，函数y有最大值.答案：x|x4k，kZ4解析：对于，ycos(x)cos x，ycos|x|cos x，故其图象相同；对于，ycos(x)cos x，故其图象关于y轴对称；由图象(图略)可知均不正确故正确的说法
29、是.答案：5解析：y12sin(x)12sin(x)令ux，根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是ysin u的单调递减区间，解2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，故函数y12sin(x)的单调递增区间是2k，2k(kZ)答案：2k，2k(kZ)6解析：当x(，)时，2x(，)，由于f1(x)cos 2x在x(，)上单调递减，且cos 2x0，故f(x)|cos 2x|在(，)上单调递增f1(x)cos 2x的周期为，f(x)|cos 2x|的周期为，故A符合题意而f(x)|sin 2x|以为周期，在(，)上单调递减；f(x)cos|x|cos x的周期为2；f(x)sin|
30、x|不是周期函数，故选A.答案：A课堂考点突破考点一1解析：要使函数有意义，则cos x，由三角函数图象可得：2kx2k，kZ.故函数y的定义域为x|2kx2k，kZ答案：x|2kx2k，kZ2解析：要使函数有意义，必须有即故函数的定义域为x|xk，且xk，kZ答案：x|xk且xk，kZ3解析：要使函数有意义，则即解得所以2kx2k(kZ)所以函数的定义域为x|2kx2k，kZ答案：x|2kx2k，kZ考点二例1解析：(1)f(x)sin3cos xcos 2x3cos x2cos2x3cos x1，令cos xt，则t1,1f(t)2t23t122，易知当t1时，f(t)min2123114.故f(x)的最小值为4.(2)设tsin xcos x，则t2sin2xcos2x2sin xcos x，sin xcos x，且1t .yt(t1)21.当t1时，ymax1；