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1、华师一2024届高三正余弦定理的综合应用试题 一、单选题1在中，角、所对的边分别为，的面积为，则（）A B C的最大值为 D的最大值12在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（）ABCD3在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（）ABCD4在锐角中，角，的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（）ABCD5在中，角所对的边分别是是边上一点，且，则的最小值是（）A4B6C8D96在中，分别是边，的中点，与交于点，若，则面积的最大值为（）ABCD7在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（）ABCD8在中，的
2、平分线交于点，则的面积的最大值为（）ABCD9在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，bc，且满足，若点O是ABC外一点，AOB(0)，OA2OB2，则平面四边形OACB面积的最大值是()ABC3D10如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，若部分为直线段，且要求市中心与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（）A千米B千米C千米D千米二、多选题11如图，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在A处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达处，此时测得俯角为已知小车的速度是，且，则（）
3、A此山的高 B小车从A到的行驶过程中观测点的最小仰角为C D小车从A到的行驶过程中观测点的最大仰角的正切值为12如图，的内角，所对的边分别为，.若，且，是外一点，则下列说法正确的是（）A是等边三角形 B若，则四点共圆C四边形面积最大值为 D四边形面积最小值为13在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（）A若，则的面积是B若，则的外接圆半径是 C若，则 D的最小值是14在锐角中，角，所对边分别为，外接圆半径为，若，则（）A B C的最大值为3 D的取值范围为15设的三个内角，所对的边分别为，下列有关等边三角形的四个命题中正确的是（）A若，则是等边三角形B若，则是等边三角形C若，则是等边
4、三角形D若，则是等边三角形16已知ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c=2则下列结论正确（）AABC面积的最大值为B的最大值为C D的取值范围为17已知面积为12，则下列说法正确的是（）A若，则B的最大值为C的值可以为D的值可以为三、填空题18的内角，所对的边分别为，.已知，且，有下列结论：；，时，的面积为；当时，为钝角三角形.其中正确的是 （填写所有正确结论的编号）19已知在中，角，的对边分别为，是的中点，若，则的最大值为 .20如图，在中，的垂直平分线与分别交于两点，且，则 四、解答题21如图，在平面四边形中，（1）若，求；（2）若，求22如图，在梯形中，（1）若，求三
5、角形ABC的面积；（2）若，求.参考答案：1C【分析】A、B由三角形面积公式及余弦定理判断；C由A、B分析，结合辅助角公式、正弦函数性质即可确定目标式最大值；D根据C的分析，结合基本不等式可得，应用同角三角函数关系及三角形内角性质求得，根据A的结论即可求目标式最大值.【详解】的面积为，则， A错误；由且，则，B错误；由，则，所以且，故的最大值为，C正确；由C分析知：，当且仅当时取等号，则，故，即，即，解得，又，所以，而，故的最大值为， D错误.故选：C2C【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解【详解】在中，故题干条件可化为，由余弦定理得，故，又由正弦定理化简得：，整理得，故或（舍去
6、），得为锐角三角形，故，解得，故故选：C3D【分析】由，结合正余弦定理求得角，继而由结合正余弦定理求出，再表示出，利用三角函数的性质求得的范围，即可求得答案.【详解】由，由正弦定理得,即有，而，则，又，由正弦定理余弦定理得，化简得：，由正弦定理有：，即，是锐角三角形且，有，解得，因此，由得：，所以.故选：D4D【分析】根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，即可求出的取值范围【详解】因为的面积为，所以，中，由余弦定理得，则，因为，所以,又，所以，化简得，解得或（不合题意，舍去）；因为，所以，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，设，
7、其中，所以，又，所以时，取得最大值为，时，时，且，所以，即的取值范围是，故选：D5C【分析】利用正弦定理及，表达出，再利用基本不等式求出最值.【详解】如图所示，因为，所以，在RtABD中，即，因为，由正弦定理可得：，即，所以，所以，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8.故选：C6C【分析】设，由三角形中的中位线的性质和比例的性质可得出，再设，根据余弦定理得，再得出，由三角形的面积公式表示的面积，根据二次函数的最值可得选项.【详解】因为分别是边，的中点，所以，所以，又，设，则，又因为，所以，设，所以在中，所以，所以，当时，面积取得最大值，故选：C. 【点睛】本题考查三角形
8、的面积的最值求解，关键在于运用三角形的中位线性质和比例性质得出线段间的关系，再运用余弦定理和三角形的面积公式表示三角形的面积为一个变量的函数，属于较难题.7A【分析】由条件可得，然后根据余弦定理可得、，根据三角形是钝角三角形求出，然后利用对勾函数的性质求出的范围即可【详解】如图所示：，连接，并延长交于，由是三角形的重心，得是的中点，由重心的性质得，即，由余弦定理得：，则，为锐角，是钝角三角形，或为钝角，或，将代入得：，故选：A8C【分析】设，则，结合正弦定理表示得，由余弦定理可得与的关系式，联立前式由同角三角函数和二次函数性质化简即可求解【详解】如图，设设，则由正弦定理可得，又，所以，式联立可
9、得，则，则，对，由余弦定理可得，则，当时，有最大值，所以，故选：C【点睛】本题考查由三角形的边角关系求解面积最值，正弦定理、余弦定理解三角形，属于难题，本题中的角平分线性质可当结论进行识记：为的角平分线，则9A【分析】根据正弦和角公式化简得 是正三角形，再将平面四边形OACB面积表示成 的三角函数，利用三角函数求得最值.【详解】由已知得： 即所以 即 又因为 所以 所以 又因为 所以 是等边三角形.所以 在中，由余弦定理得 且因为平面四边形OACB面积为 当 时，有最大值 ，此时平面四边形OACB面积有最大值 ，故选A.【点睛】本题关键在于把所求面积表示成角的三角函数，属于难度题.10D【分析
10、】使用余弦定理及基本不等式，得到，使用正弦定理及三角恒等变换得到，进而求得AB的最短距离.【详解】在中，设，则，当且仅当时取等号，设，则，又到的距离为20千米，所以，故（时取等号），所以，得，故选：D11BCD【分析】分别求出、的值判断AC；由等面积法可得到的距离，再求最大仰角的正切，可判断D;由判断B.【详解】由题意可得，设，则,因为，所以由余弦定理可知，解得，从而因为，所以由等面积法可得到的距离，则最大仰角的正切值为又，所以最小仰角为故选：BCD.12AC【分析】根据正弦定理及三角恒等变换化简条件式可判定A，由余弦定理可判定B，设，由正弦定理结合三角函数的性质可判定C、D.【详解】由正弦定
11、理，得，B是等腰的底角，是等边三角形，A正确；对于B，若四点共圆，则四边形对角互补，由A正确知，但由于时，B不正确.对于C、D，设，则，C正确，D不正确；故选：AC.13ACD【分析】A、B、C选项由已知结合正弦定理和差角公式及同角的基本关系进行变形即可判断，D选项用角表示出结合三角恒等变换以及均值不等式即可判断.【详解】因为，角的平分线交于，所以，所以，由正弦定理得，所以，所以，故A正确；因为，所以，设的外接圆半径是，由正弦定理，所以，故B错误；因为，由正弦定理，因为和互补，所以，所以，故C正确；设，则，因为，所以若，则，若，则，令，当且仅当，即或时，则或，故或（舍去），综上：当为等边三角形
12、时，的最小值是，故D正确.故选：ACD.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.14ACD【分析】由正弦定理求外接圆半径；由题设知，结合即可求范围；由余弦定理及基本不等式求的最大值，注意取最大的条件；由C分析有，结合正弦定理边角关系及的范围，应用二倍角正余弦等恒等变换，根据三角函数的值域求范围.【详解】由题设，外接圆直径为，故，A正确；锐角中，则，故，B错误；，则，当且仅当时等号成立，
13、C正确；由C分析知：，而，又且， 则，而，所以，则，所以，D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：D选项，应用边角关系及角的范围，结合三角恒等变换将转化为三角函数性质求范围.15BCD【分析】根据正弦定理及三角函数的图象与性质及导数判断函数单调性，即可判断ABCD的真假.【详解】A，若，由正弦定理可知：任意都满足条件，因此不一定是等边三角形，不正确；B，若，由正弦定理可得：，是等边三角形，正确C，若，由正弦定理可得：，是等边三角形，正确D，若，时，是等边三角形；时，研究函数的单调性，时，函数在上单调递减，因此不成立综上可得：是等边三角形，正确故选：BCD16AB【分析】A选项，利用余弦定理和基
14、本不等式求解面积的最大值；B选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得，利用正弦定理和三角恒等变换得到，结合B的取值范围求出最大值；C选项，利用正弦定理进行求解；D选项，用进行变换得到，结合A的取值范围得到的取值范围.【详解】由余弦定理得：，解得：，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，所以，故，A正确；，其中由正弦定理得：，所以，因为，所以，故最大值为，的最大值为，B正确；，故C错误；，因为，所以，所以，D错误.故选：AB【点睛】三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解.17AD【分析】利
15、用同角的三角函数的基本关系结合面积、余弦定理可得，计算出可判断A的正误，而利用余弦定理、基本不等式可得关于的三角函数不等式，从而可判断B的正误，对于C，求出的范围后可判断其正误，对于D，由可得的值，结合已知条件可判断三角形是否存在.【详解】设所对的边为，因为面积为12，故，故.对于A，若，结合为三角形内角可得，故.因为，故，故，故.由正弦定理可得，故，故A正确.对于B，由余弦定理可得，所以即，当且仅当时等号成立.而，故，故，整理得到，而，因为，故，故的最大值为，当且仅当时等号成立，故B错误.对于C，故，而，故，故C错误.对于D，若，则可得或，若，则 ，消元后得到： ，所以，整理得到，但，故矛盾
16、即不成立.若，则，消元后得到：，所以，整理得到，结合可得，此时，故D正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：三角形一般有7个几何量（三边和三角以及外接圆的半径），由已知的三个量一般可求出其余的四个量，求解过程中注意选择合适的定理来解决，另外在边角关系的转化的过程，注意根据边的特征和角的特征合理消元.18【详解】，故可设，.，则，当时，故为钝角三角形.面，又，.，即，.当，时，的面积为，故四个结论中，只有不正确.填【点睛】解三角形中运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式进边角互换及运算是常见题形，要注意三角形内角和为来减少角的个数，及两边之和大于第三边，两边第差小于第三边来构造不等关系是常用处理技
17、巧19【分析】由正弦定理和题设条件，得到，即，再在和中，由余弦定理化简得到，转化为，令，得到，求得，进而得到的最大值.【详解】因为，由正弦定理可得，即，可得，所以，所以，在中，由余弦定理，可得，在中，由余弦定理，可得，因为，所以，两式相加，可得，可得，即，所以，令，可得，即，解得，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，即的最大值为.故答案为：.20【详解】分析：连接，因为是中垂线，所以.在中，由正弦定理得到与角的关系.在直角三角形中，两者结合可得的大小，从而在中利用正弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得 .详解：由题设，有，所以，故.又，所以，而，故，因此为等腰直角三角形，所以.在中，所以，
18、故，在中，.点睛：解三角形时，如果题设给出的几何量分散在不同的三角形中，我们就需要找出沟通这些不同三角形的几何量，如本题中的和，通过它们得到分散的几何量之间的关系.21(1)(2)【分析】（1）由两角差的正切公式求得，从而在直角三角形中求得；（2）设设，表示出，由正弦定理结合三角函数恒等变换求得，再由正弦定理求得【详解】（1）由已知，所以；（2）设，则，由正弦定理得，是锐角，故解得，由正弦定理，所以22(1)；(2).【分析】(1)中，用含的余弦定理表达式建立关于BC的方程，求出BC，再利用面积定理即可得解；(2)用表示和中相关的角，再用正弦定理建立关系，并整理得关于的方程即可作答.【详解】(1)中，由余弦定理得得，而，则，所以三角形ABC的面积为；(2) 梯形中，令，则，中，由正弦定理得：，中，由正弦定理得：，两式相除得：，而，则，所以.