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1、2024版新教材高考数学一轮复习第2章函数的概率与基本初等函数第4节二次函数与幂函数学案含解析新人教A版20230519117第四节二次函数与幂函数一、教材概念结论性质重现1幂函数的概念一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数为常数；(2)x的系数为1；(3)解析式只有一项2常见的五种幂函数的图象3幂函数的性质(1)幂函数在(0，)上都有定义(2)当0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增(3)当0)f (x)ax2bxc(a0；当时，恒有f (x)0.二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打
2、“”，错的打“”(1)函数y2x是幂函数()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(3)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数()(4)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是()(5)二次函数yax2bxc，xR不可能是偶函数()(6)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()2已知幂函数yf (x)的图象经过点，则f (2)()A B4 C DC解析：设f (x)x，因为图象过点，所以f (4)4，解得，所以f (2)2.3如图是yxa，yxb，yxc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为()Acba Babc Cbca
3、 Dac.5已知函数y2x26x3，x1,1，则y的最小值是_1解析：因为函数y2x26x3的图象的对称轴为x1，所以函数y2x26x3在1，1上单调递减，所以ymin2631.6函数f (x)(m2m1)xm是幂函数，且在x(0，)上单调递增，则实数m的值为_2解析：因为f (x)(m2m1)xm是幂函数，所以m2m11，解得m1或m2.又因为f (x)在(0，)上单调递增，所以m2.考点1幂函数的图象与性质基础性1函数yx1的图象关于x轴对称的图象大致是()B解析：yx的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数yx1的图象可看作由yx的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A
4、中的图象所示)将yx1的图象关于x轴对称后即为选项B2已知幂函数f (x)(n22n2)x (nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上单调递减，则n的值为()A3 B1 C2 D1或2B解析：因为幂函数f (x)(n22n2)x在(0，)上单调递减，所以所以n1.又n1时，f (x)x2的图象关于y轴对称，故n1.故选B3(2021衡水中学调研)已知点(m,8)在幂函数f (x)(m1)xn的图象上设af ，bf (ln )，cf (2)，则a，b，c的大小关系是()Aacb Babc Cbca Dba12，所以f (ln )f (2)f ，则bca.幂函数的图象的应用注意点(1)对于幂函数图
5、象，要抓住直线x1，y1，yx将第一象限分成的六个区域根据0,01，1，1的取值确定位置后，其余象限部分由幂函数的奇偶性决定(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较考点2二次函数的解析式综合性已知二次函数f (x)满足f (2)1，f (1)1，且f (x)的最大值是8，求二次函数f (x)的解析式解：(方法一：利用二次函数的一般式)设f (x)ax2bxc(a0)由题意得解得故f (x)4x24x7.(方法二：利用二次函数的顶点式)设f (x)a(xm)2n(a0)因为f (2)f (1)，所以抛物线的对称轴为x.所以m.又根据题意函数有最大值8，所
6、以n8，所以yf (x)a8.因为f (2)1，所以a81，解得a4，所以f (x)484x24x7.(方法三：利用二次函数的零点式)由已知f (x)10的两根为x12，x21，故可设f (x)1a(x2)(x1)，即f (x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即当a0时，8，解得a4；当a0时，f (x)1，不符合题意，舍去故f (x)4x24x7.求二次函数解析式的策略已知二次函数f (x)x2bxc满足f (0)3，对xR，都有f (1x)f (1x)成立，则f (x)_.x22x3解析：由f (0)3，得c3.又f (1x)f (1x)，所以函数f (x)的图象关于直线x1对
7、称，所以1，所以b2，所以f (x)x22x3.考点3二次函数的图象与性质综合性考向1二次函数的图象(1)已知函数f (x)ax2xc，且f (x)0的解集为(2,1)，则函数yf (x)的图象为()D解析：因为函数f (x)ax2xc，且f (x)0的解集为(2,1)，所以2,1是方程ax2xc0的两根所以a1，c2.所以f (x)x2x2.所以函数yf (x)x2x2，可知其图象开口向下，与x轴的交点坐标分别为(1,0)和(2,0)故选D(2)(多选题)如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为直线x1.下面四个结论中正确的是()A b24acB2ab1Cab
8、c0D5a0，即b24ac，A正确；二次函数的图象的对称轴为直线x1，即1，得2ab0，B错误；结合图象知，当x1时，y0，即abc0，C错误；因为函数的图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，D正确故选AD1解决二次函数图象问题的基本方法(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系2分析二次函数图象问题的要点一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图象上的一些特殊点从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象反之，也能从图象中得到如上信息. 考向2二次函数的单调性若函数f (x)ax2(a3)x1在区间1，)上单调递减，则
9、实数a的取值范围为()A3,0)B(，3C2,0D3,0D解析：当a0时，f (x)3x1，在1，)上单调递减，满足题意当a0时，f (x)的图象对称轴为x.由f (x)在1，)上单调递减知解得3a0.综上，a的取值范围为3,0若函数f (x)ax2(a3)x1的单调递减区间是1，)，则a_.3解析：由题意知f (x)必为二次函数且a2xm恒成立，则实数m的取值范围是_(，1)解析：f (x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0.令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可因为g(x)x23x1m在1,1
10、上单调递减，所以g(x)ming(1)m1.由m10，得m0且a1)与二次函数y(a1)x2x在同一坐标系内的图象可能是()A解析：若0a1，则ylogax在(0，)上单调递增，y(a1)x2x的图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B不正确，只有A满足2若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，则m的取值范围为()A(0,4 B C DC解析：yx23x4的定义域为0，m，显然，在x0时，y4.又值域为，根据二次函数图象的对称性知m3.故选C3(2020唐山模拟)设函数f (x)x2xa(a0)已知f (m)0Df (m1)0，所以f (x)的大致图象如图所示由f (m)0，得1m0.所以
11、f (m1)f (0)0.4设函数f (x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围为_解析：由题意得a对1x4恒成立又2，.第五节指数与指数函数一、教材概念结论性质重现1n次方根(1)根式的概念一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数(2)a的n次方根的表示当n为奇数时，a；当n为偶数时，|a|2有理数指数幂幂的有关概念正数的正分数指数幂：a (a0，m，nN*，n1)正数的负分数指数幂：a(a0，m，nN*，n1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)；(
12、ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3.指数函数的概念一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.形如ykax，yaxk(kR且k0，a0且a1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数4指数函数的图象与性质0a1图象定义域R值域(0，)性质过定点(0,1)，即x0时，y1当x1；当x0时，0y0时，y1；当x0时，0y1)的值域是(0，)()(5)函数y2x1是指数函数()(6)若am0，且a1)，则m0，且a1)的图象经过点P，则f (1)_.解析：由题意知a2，所以a，所以f (x)，所以f (1).4已知函数f (x)a
13、xb(a0，且a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_.解析：当a1时，易知f (x)在1,0上单调递增，则即无解当0a0，则下列等式成立的是()A(2)24B2a3C(2)01D(a)4D解析：对于A，(2)2，故A错误；对于B,2a3，故B错误；对于C，(2)01，故C错误；对于D，(a)4，故D正确2化简(a0，b0)_.解析：原式2213101.3计算：(0.002)10(2)10_.解析：原式50011010201.指数幂运算的一般原则(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号；
14、底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要力求统一考点2指数函数的图象及应用综合性(1)已知函数f (x)2x2，则函数y|f (x)|的图象可能是()B解析：y|f (x)|2x2|易知函数y|f (x)|的图象的分段点是x1，且过点(1,0)，(0,1)，|f (x)|0. 又y|f (x)|在(，1)上单调递减故选B(2)若函数y|2x1|的图象与直线yb有两个公共点，则b的取值范围为_(0,1)解析：作出曲线y|2x1|的图象与直线yb如图所示由图象可得b的取值范围是(0,1)指数函数图象的应用问题的
15、求解方法(1)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解(2)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x1与图象的交点进行判断1若函数y|2x1|在(，k上单调递减，则k的取值范围为_(，0解析：因为函数y|2x1|的单调递减区间为(，0，所以k0，即k的取值范围为(，02若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_1,1解析：作出曲线|y|2x1的图象，如图所示，要使该曲线与直线yb没有公共点，只需1b1.3若直线y2a与函数y|ax1|(a0，且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为_解析：y|ax1|的图象是由yax的图象先向下
16、平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的当a1时，如图1，两个图象只有一个交点，不合题意；当0a1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则02a1，得0a.综上可知，a的取值范围为.考点3指数函数的性质及应用应用性考向1比较大小已知a2，b4，c25，则()AbacBabcCbcaDca4b，c2554a，所以bac. 故选A考向2解指数方程或不等式(1)已知实数a1，函数f (x)若f (1a)f (a1)，则a的值为_解析：当a1时，代入不成立故a的值为.(2)设函数f (x)若f (a)1，则实数a的取值范围是_(3,1)解析：当a0时，不等式f (a)1可化为71，即
17、8，所以 3.又a0，所以3a0.当a0时，不等式f (a)1可化为1.所以0a1.综上，a的取值范围为(3,1)考向3指数型函数的单调性已知函数f (x)2|2xm|(m为常数)，若f (x)在区间2，)上单调递增，则m的取值范围是_(，4解析：令t|2xm|，则t|2xm|在区间上单调递增，在区间上单调递减而y2t在R上单调递增，所以要使函数f (x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有2，即m4，所以m的取值范围是(，4考向4指数型函数的最值若函数f (x)有最大值3，则a_.1解析：令h(x)ax24x3，y因为f (x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f
18、(x)有最大值3时，a的值为1.综合应用指数函数性质的常考题型及求解策略常考题型求解策略比较幂值的大小(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解，要注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致，另外要明确复合函数的构成，借助“同增异减”，将问题归结为内层函数相关的问题加以解决1已知f (x)2x2x，a，b，clog2，则f (a)，f (b)，f (
19、c)的大小关系为()Af (b)f (a)f (c)Bf (c)f (b)f (a)Cf (c)f (a)f (b)Df (b)f (c)f (a)B解析：易知f (x)2x2x在R上为增函数又ab0，clog20，则abc，所以f (c)f (b)f (a)2(2020全国卷)若2x2y3x3y，则()Aln(yx1)0Bln(yx1)0Cln|xy|0Dln|xy|0A解析：(方法一)由2x2y3x3y，可得2x3x2y3y，令f (x)2x3x，则f (x)在R上单调递增，且f (x)f (y)，所以xy，即yx0，由于yx11，故ln(yx1)ln 10.(方法二)取x1，y0，满足2
20、x2y3x3y，此时ln(yx1)ln 20，ln|xy|ln 10，可排除BCD3函数y的值域是()A(，4)B(0，)C(0,4D4，)C解析：设tx22x1，则y.因为01，所以y为关于t的减函数因为t(x1)222，所以00)，则yt22t的单调递增区间为1，)令2x1，得x0.又y2x在R上单调递增，所以函数f (x)4x2x1的单调递增区间是0，).(2020临沂月考)设a，b，c，则a，b，c的大小关系是()AacbBabcCcabDbca四字程序读想算思比较大小比较大小的方法是什么？式子变换转化与化归a, b, c均为幂值的形式1.利用函数单调性；2.通过中间量比较大小；3.作
21、差或商比较1.构造函数；2.统一幂指数；3.化为根式形式注意分数指数幂的等价变形以及分数指数幂的运算法则思路参考：构造指数函数，利用单调性求解A解析：先比较b与c的大小，构造函数y. 因为0，所以b1，所以ac，所以acb.故选A思路参考：统一幂指数，利用幂函数单调性比较大小A解析：因为a，b，c为正实数，且a5，b5，c5，所以a5 c5 b5，即acb.故选A思路参考：将三个数转化为同次根式的形式比较大小A解析：因为a，b，c，所以acb.故选A1本题给出了三种比较指数幂大小的方法，解法一是构造函数法，利用指数函数性质比较大小，利用这种方法应注意底数是否大于1；解法二与解法三比较类似，都是对a，b，c进行简单变形，转化为同次根式的形式，由被开方数的大小可得出a，b，c的大小特别是解法三，结构较为简洁，转化为同次根式迅速求解2基于新课程标准，对于比较大小的问题，要熟练掌握基本初等函数的性质，尤其是单调性，同时也要熟练掌握指数式与对数式的互化，指数幂的运算法则等知识. 比较大小问题体现了逻辑推理、数学运算的数学素养(多选题)已知函数a，b满足等式，下列四个关系式中可能成立的是()A0baBab0C0abDba0AB解析：函数y1与y2的图象如图所示由得ab0或0ba或ab0.故AB可能成立，CD不可能成立