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1、2024版新教材高考数学一轮复习第2章函数的概率与基本初等函数第6节对数与对数函数学案含解析新人教A版20230519119第六节对数与对数函数一、教材概念结论性质重现1对数的概念一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)(2)对数的性质loga10；logaa1；aN；logaaNN(a0，且a1)(3)对数的换底公式logab(a0，且a1；
2、b0；c0，且c1)换底公式的三个重要结论(1)logab.(2)logbnlogab.(3)logablogbclogcdlogad.其中a0，且a1，b0，且b1，c0，且c1，m，nR.3对数函数(1)一般地，函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，). (2)对数函数的图象与性质0a1图象定义域(0，)值域R性质过定点(1,0)，即x1时，y0当x1时，y0；当0x0当x1时，y0；当0x1时，y0减函数增函数对数函数图象的特征(1)由图可知，0dc1b0，且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图象只在第一、第四象限4反函数指数函数y
3、ax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)loga(MN)logaMlogaN()(2)logaxlogayloga(xy)()(3)函数ylog2x及ylog3x都是对数函数()(4)对数函数ylogax(a0，且a1)在(0，)上是增函数()(5)函数yln 与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()2计算log29log342log510log50.25()A0B2 C4D6D解析：原式2log23(2log32)log5(1020.25)4log525426
4、.3函数yloga(x1)2(a0，且a1)的图象恒过定点_(2,2)解析：当x2时，函数yloga(x1)2(a0，且a1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)4函数ylg|x|()A是偶函数，在区间(，0)上单调递增B是偶函数，在区间(，0)上单调递减C是奇函数，在区间(0，)上单调递减D是奇函数，在区间(0，)上单调递增B解析：ylg|x|是偶函数，由图象知(图略)，函数在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增5若函数yf (x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，且f (2)1，则f (x)()Alog2x B Clog0.5x D2x2A解析：由题意知f (x)logax(a0，
5、且a1)因为f (2)1，所以loga21.所以a2.所以f (x)log2x.考点1对数运算问题基础性1填空：(1)lg 25lg 2lglog29log32的值是_(2)已知2x12，log2y，则xy的值为_(3)设2a5bm，且2，则m_.(1)(2)2(3)解析：(1)原式lg 5lg 2212.(2)因为2x12，所以xlog212，所以xylog212log2log242.(3)因为2a5bm0，所以alog2m，blog5m，所以logm2logm5logm102.所以m210.所以m.2(2021北京二中高三月考)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位m
6、ol/L，记作H)和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作OH)的乘积等于常数1014.已知pH值的定义为pHlgH，健康人体血液的pH值保持在7.357.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据： lg 20.30，lg 30.48)()A B C DC解析：由题设有1014H2.又107.45H107.35 ，所以100.91014H2100.7.所以0.9lg1014H20.7.又lg 0.3，lg 0.48，lg 0.78，lg 1，只有lg 在范围之中故选C解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简(2)将同底对数的和、差、倍合并(3)利用换
7、底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用(4)利用常用对数中的lg 2lg 51.考点2对数函数的图象及应用综合性(1) 已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f (x)ln(x1)，则函数f (x)的大致图象为()C解析：先作出当x0时，f (x)ln(x1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y轴对称的图象，可得函数f (x)在R上的大致图象，如选项C中图象所示(2)当0x时，4xlogax，则实数a的取值范围是()ABC(1，)D(，2)B解析：易知0a1，函数y4x与ylogax的大致图象如图由题意可知只需满足loga4，
8、解得a，所以a1.故选B1将本例(2)中“4xlogax”变为“4xlogax有解”，则实数a的取值范围为_解析：若方程4xlogax在上有解，则函数y4x与函数ylogax的图象在上有交点由图象可知解得0a，即a的取值范围为.2若本例(2)变为：已知不等式x2logax0对x恒成立，则实数a的取值范围为_解析：由x2logax0得x2logax.设f 1(x)x2，f 2(x)logax，要使x时，不等式x21时，显然不成立；当0a1时，如图所示要使x2logax在x上恒成立，需f 1f 2，所以有loga，解得a，所以a1.考点3对数函数的性质及应用应用性考向1比较函数值的大小设a0.50
9、.4，blog0.40.3，clog80.4，则a，b，c的大小关系是()Aabc Bcba Ccab DbcaC解析：因为0a0.50.4log0.40.41，clog80.4log810，所以ca1，所以x.简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0a1进行分类讨论(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解考向3对数函数性质的综合问题若函数f (x)log2(x2ax3a)在区间(，2上单调递减，则
10、实数a的取值范围是()A(，4) B(4,4C(，4)2，)D4,4)D解析：由题意得x2ax3a0在区间(，2上恒成立，且函数yx2ax3a在(，2上单调递减，则2且(2)2(2)a3a0，解得4a4.所以实数a的取值范围是4,4)故选D解决对数函数性质的综合问题的注意点(1)要分清函数的底数a(0,1)，还是a(1，)(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性1(2019全国卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()AabcBacbCcabDbcaB解析：因为alog20.2201,0
11、c0.20.30.201，所以acb.故选B2已知不等式logx(2x21)logx3x0成立，则实数x的取值范围是_解析：原不等式或.解不等式组，得x1时，ylogau是增函数，f (x)maxloga42，得a2；当0a0且a1)的图象相同()(3)函数yf (x)与yf (x)的图象关于原点对称()(4)若函数yf (x)满足f (1x)f (1x)，则函数f (x)的图象关于直线x1对称()(5)将函数yf (x)的图象向右平移1个单位长度得到函数yf (x1)的图象()2下列图象是函数f (x)的图象的是()C解析：函数f (x)的图象是由yx2的图象中x0.考点1作函数的图象基础性
12、分别作出下列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)y2x2；(3)yx22|x|1.解：(1)y图象如图(1)所示(2)将y2x的图象向左平移2个单位长度图象如图(2)所示(3)y图象如图(3)所示作函数图象的两种常用方法1直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出2图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序考点2判断函数的图象综合性考向1由函数图象的解析式判断图象(1)(2019全国卷)函数y在6，6的图象大致为()B解析：因为 yf (x)，x6,6，所以 f (x)f
13、 (x)，所以 f (x)是奇函数，排除选项C当x4时，y(7,8)，排除选项A，D故选B(2)已知定义在区间0,4上的函数yf (x)的图象如图所示，则yf (2x)的图象为() D解析：(方法一)先作出函数yf (x)的图象关于y轴的对称图象，得到yf (x)的图象；然后将yf (x)的图象向右平移2个单位长度，得到yf (2x)的图象；再作yf (2x)的图象关于x轴的对称图象，得到yf (2x)的图象故选D(方法二)先作出函数yf (x)的图象关于原点的对称图象，得到yf (x)的图象；然后将yf (x)的图象向右平移2个单位长度，得到yf (2x)的图象故选D下列四个函数中，图象如图
14、所示的只能是()Ayxlg xByxlg xCyxlg xDyxlg xB解析：当x1时，由图象知y0，而C，D中y0，而A中ylg 0，排除B，C故选D2已知函数f (x)g(x)f (x)，则函数g(x)的图象是()D解析：(方法一)由题设得函数g(x)f (x)据此可画出该函数的图象，如题图选项D中图象故选D(方法二)先画出函数f (x)的图象，如图1所示，再根据函数f (x)与f (x)的图象关于坐标原点对称，即可画出函数f (x)，即g(x)的图象，如图2所示故选D3如图，矩形ABCD的周长为4，设ABx，ACy，则yf (x)的大致图象为() C解析：(方法一)由题意得y，x(0,
15、2)不是一次函数，排除选项A，B当x0时，y2，故选C(方法二)由方法一知y在(0,1上单调递减，在1,2)上单调递增，且非一次函数故选C考点3函数图象的应用综合性考向1研究函数的性质已知函数f (x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af (x)是偶函数，在区间(0，)上单调递增Bf (x)是偶函数，在区间(，1)上单调递减Cf (x)是奇函数，在区间(1,1)上单调递减Df (x)是奇函数，在区间(，0)上单调递增C解析：f (x)画出函数f (x)的图象，如图观察图象可知，函数f (x)的图象关于原点对称，故函数f (x)为奇函数，且在(1，1)上单调递减利用函数的图象研究函数的性质考
16、向2解不等式函数f (x)是周期为4的偶函数，当x0,2时，f (x)x1，则不等式xf (x)0在(1,3)上的解集为()A(1,3)B(1,1)C(1,0)(1,3)D(1,0)(0,1)C解析：作出函数f (x)的图象如图所示当x(1,0)时，由xf (x)0得x(1,0)；当x(0,1)时，由xf (x)0得x；当x(1,3)时，由xf (x)0得x(1,3)所以x(1,0)(1,3)考向3求参数的取值范围设函数f (x)|xa|，g(x)x1，对于任意的xR，不等式f (x)g(x)恒成立，则实数a的取值范围是_1，)解析：作出函数f (x)|xa|与g(x)x1的图象，如图，观察图
17、象可知，当且仅当a1，即a1时，不等式f (x)g(x)恒成立，因此a的取值范围是1，)与函数相关的不等式问题的求解方法当不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两个函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合法求解1对a，bR，记maxa，b则函数f (x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是_解析：函数f (x)max|x1|，|x2|(xR)的图象如图所示由图象可得，其最小值为.2已知函数f (x)在R上单调且其部分图象如图所示若不等式2f (xt)4的解集为(1, 2)，则实数t的值为_1解析：由图象可知不等式2f (xt)4即为f (3)f (xt)1时，函数f (x)x2x在(1,2)上单调递增，在2，)上单调递减，则最大值为f (2)2.又f (4)2，f (1)1，故所求实数m的取值范围为8，1