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1、重庆市重庆市 2023-2024 学年高二上学期学年高二上学期 1 月期末考试数学试题月期末考试数学试题 2023 年秋高年秋高二（上）期末联合检测试卷二（上）期末联合检测试卷数学数学数学测试卷共数学测试卷共 4 页，满分页，满分 150 分考试时间分考试时间 120 分钟分钟注意事项：注意事项：1答题前答题前，考生务必将自己的准考证号考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的的条形码的“准考证号、姓名、考试科目准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致与考生本人准考证号、姓名是否一致.2回答选
2、择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用回答非选择题时，用 0.5 毫米的黑色墨水签毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效若在试题卷上作答，答案无效.3考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题
3、给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.直线310 x 的倾斜角为（）A.23B.2C.3D.62.在等差数列 na中，45238,aaaa，则1a（）A.2B.1C.2D.43.若方程22123xymm表示的曲线是双曲线，则实数 m 的取值范围是（）A.(2,0)B.(0,3)C.(2,3)D.(,2)(3,)4.正方体1111ABCDABC D中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（）A.,AB AC AD B.1,AB AD AA C.11,AB AB AD D.111,AB AC AD 5.古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗
4、尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为 7 的等比数列那么 1 指节是（）A.77兔尘B.77羊尘C.717兔尘D.717羊尘6.已知直线:10l xmy 与抛物线2:4C yx交于 A，B 两点，若线段 AB 的中点为02x,，则|AB（）A.4B.6C.8D.107.正三棱柱111ABCABC-的所有棱长均相等，E，F 分别是棱111,AB CC上的两个动点，且1
5、B ECF，则异面直线 BE 与 AF 夹角余弦的最大值为（）A.1B.12C.13D.148.己知1F是椭圆22198xy+=的左焦点，过椭圆上一点 P 作直线与圆22(1)1xy相切，切点为 Q，则1PQPF的取值范围是（）A.34,152B.54,172C.1,13D.1,15二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.设*nN，已知数列 na为等比数列
6、，则（）A.2na一定为等比数列B.2na一定为等比数列C.当2n 时，2nnaa一定为等比数列D.当2n 时，22nnaa可能为等比数列10.直线10mxym 与圆224xy相交，则弦长可能为（）A.2B.3C.10D.511.类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系Oxyz中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量(,)na b c，已知平面上定点0000,Pxyz，对于平面上任意点(,)P x y z，根据0PPn可得平面的方程为0000a xxb yyc zz则在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是（）A.若平面过点(1,1,1)，且法向量为(1,1,1)，则平面
7、的方程为30 xyz B.若平面的方程为62230 xyz，则(3,1,1)a 是平面的法向量C.方程320 xy表示经过坐标原点且斜率为32的一条直线D.关于 x，y，z 的任何一个三元一次方程都表示一个平面12.已知点 M，N 是双曲线22:149xyC上不同的两点，则（）A.当 M，N 分别位于双曲线的两支时，直线MN的斜率3 3,2 2k B.当 M，N 均位于双曲线的右支上时，直线MN的斜率3 3,2 2k C.线段MN的中点可能是(2,2)D.线段MN的中点可能是(1,2)三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知直
8、线1:10lxy 与2:(23)20lmxmy，若12ll，则实数 m 的值为_14.己知12,F F是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点 P，使得21212PFFFPF，则椭圆的离心率为_15.设*nN，数列 na满足12,2,nnna naan为奇数为偶数，若412a，则1a _16.已知圆22:()()1Cxaya，圆22:(1 2cos)(32sin)1Dxy ，若存在0,2)使得两圆有公共点，则实数 a 的取值范围为_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记数列 na的前
9、 n 项和为nS，已知2231nSnn（1）求数列 na的通项公式；（2）在数列 na中，从第二项起，每隔三项取出一项2610,a a a组成新的数列 nb，求数列 nb的前n 项和nT18.设点12,A A是椭圆22:12yC x 的左、右顶点，动点 P 使得直线1PA与2PA的斜率之积为 2，记点 P的轨迹为（1）求的方程；（2）设过原点 O的直线 l 与动点 P 的轨迹交于 A，B 两点，与椭圆 C 交于 E，F 两点，若2ABEF，求直线 l 的方程19.在如图所示的四棱锥PABCD中，底面 ABCD 是平行四边形，点 E，F 分别在棱 AB，PC 上，且满足2EBAE，2FCPF（1
10、）证明：EF平面 PAD；（2）若平面PCD 底面 ABCD，ABD和PCD为正三角形，求直线 EF 与底面 ABCD 所成角的正切值20.已知数列 na是等比数列，2463,27a aa a（1）求数列 na的通项公式；（2）12633nnnnabaa，记数列 nb的前 n 项和为nT，若对于任意*nN，都有nT，求实数的取值范围21.在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”在如图所示的“阳马”PABCD中，侧棱PA 底面 ABCD，2ABADPA记PAD的重心为 G（1）求点 G 到平面 PBC 的距离（2）求平面 GBD 与平面 PBC 夹角的大小22.已知
11、双曲线22:14xCy的渐近线为12,l l，双曲线C与双曲线 C 的渐近线相同，过双曲线C的右顶点的直线与12,l l，在第一、四象限围成三角形面积的最小值为 8（1）求双曲线C的方程；（2）点P是双曲线C上任意一点，过点P作1PAl依次与双曲线C和2l交于A，B两点，再过点P作2PEl依次与双曲线 C 和1l交于 E，F 两点，证明：|AEBF为定值2023 年秋高二年秋高二（上上）期末联合期末联合检测试卷检测试卷数学数学数学测试卷共数学测试卷共 4 页，满分页，满分 150 分考试时间分考试时间 120 分钟分钟注意事项：注意事项：1答题前答题前，考生务必将自己的准考证号考生务必将自己的
12、准考证号、姓名填写在答题卡上姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的的条形码的“准考证号、姓名、考试科目准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致与考生本人准考证号、姓名是否一致.2回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用回答非选择题时，用 0.5 毫米的黑色墨水签毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答字笔在答题卡上书写
13、作答.若在试题卷上作答，答案无效若在试题卷上作答，答案无效.3考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.直线310 x 的倾斜角为（）A.23B.2C.3D.6【答案】B【解析】【分析】由直线垂直于 x 轴可得结果.【详解】由直线310 x 得33x ，所以直线垂直于 x 轴，即直线的倾斜角为2，故选：B.2.在等差数列 na中，45238,aaaa，则1a（
14、）A.2B.1C.2D.4【答案】C【解析】【分析】设出公差，根据题目条件得到方程组，求出首项.【详解】设公差为d，则11138423adadad，解得12ad.故选：C3.若方程22123xymm表示的曲线是双曲线，则实数 m 的取值范围是（）A.(2,0)B.(0,3)C.(2,3)D.(,2)(3,)【答案】D【解析】【分 析】若 方 程22123xymm表 示 的 曲 线 是 双 曲 线，即2030mm或3020mm，等 价 于230mm，从而得到 m 的取值范围。【详解】因为方程22123xymm表示的曲线是双曲线，所以230mm，即2m 或3m.故选：D4.正方体1111ABCDA
15、BC D中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（）A.,AB AC AD B.1,AB AD AA C.11,AB AB AD D.111,AB AC AD 【答案】A【解析】【分析】ABC 选项，可直接看出是否共面，结合基底的概念判断出答案；D 选项，利用1,AB AD AA 表达出三个向量，设111ACmABnAD ，得到方程组，无解，得到111,AC AB AD 不共面，能作为空间中的一组基底.【详解】A 选项，,AB AC AD 共面，不能作为空间中的一组基底，A 正确；B 选项，1,AB AD AA 不共面，能作为空间中的一组基底，B 错误；C 选项，11,AB AB AD 不共面，
16、能作为空间中的一组基底，C 错误；D 选项，因为11ACABADAA ，1111,ABABAA ADADAA ，设111ACmABnAD ，即111ABADAAmABmAAnADnAA ，111mnmn，无解，故111,AC AB AD 不共面，能作为空间中的一组基底，D 错误.故选：A5.古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为
17、 7 的等比数列那么 1 指节是（）A.77兔尘B.77羊尘C.717兔尘D.717羊尘【答案】A【解析】【分析】设 1 微尘为a，求出 1 兔尘为27 a，1 羊尘为37 a，1 指节为97 a，从而可得答案.【详解】设 1 微尘为a，因为微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度，构成了公比为 7 的等比数列，所以 1 窗尘为7a，1 兔尘为27 a，1 羊尘为37 a，1 牛尘为47 a，1 虮为57 a，1 虱为67 a，1 芥子77 a，1 大麦87 a，1 指节为97 a，因为972777aa，所以 1 指节是77兔尘，A 正确，C 不正确；因为963777
18、aa，所以 1 指节是67羊尘，BD 不正确；故选：A.6.已知直线:10l xmy 与抛物线2:4C yx交于 A，B 两点，若线段 AB 的中点为02x,，则|AB（）A.4B.6C.8D.10【答案】C【解析】【分 析】通 过 抛 物 线 的 定 义 得 到120222ABxxx，又 通 过 点 差 法21122244yxyx，得 到1212124yyxxyy，通过线段 AB 的中点为0,2Q x，得到 AB 的斜率。又因为ABQFkk，从而得到0 x的值，从而得到AB.【详解】抛物线2:4C yx的焦点为(1,0)F，直线:10l xmy 过点坐标(1,0)，设11(,)A x y，2
19、2(,)B xy，因为1,0在抛物线内部，且直线l不包含斜率为 0 的情况，则直线l与抛物线必有两交点，因为线段 AB 的中点为0,2Q x，所以124yy21122244yxyx，作差后可以得到2212124()yyxx，即12121241yyxxyy可以得到02011ABQFkkx，则03x 由于抛物线定义，则1202228ABxxx故选：C7.正三棱柱111ABCABC-的所有棱长均相等，E，F 分别是棱111,AB CC上的两个动点，且1B ECF，则异面直线 BE 与 AF 夹角余弦的最大值为（）A.1B.12C.13D.14【答案】D【解析】【分析】设1,0,2B ECFt t，以
20、 A 为原点，1,AB AA 方向分别为 x，z 轴正方向建立空间直角坐标系，从而得到BE 和AF 的坐标.又因为|cos|BE AFBEAF ，从而得到异面直线 BE 与 AF 夹角余弦的最大值.【详解】设12,0,2ABB ECFt t，以 A 为原点，1,AB AA 方向分别为 x，z 轴正方向建立空间直角坐标系，可得(2,0,0),(2,0,2),(,0,2)BEtBEt ，(0,0,0),(1,3,),(1,3,)AFtAFt，故所求角的余弦值为2|11cos444|BE AFttBEAFtt ，当2t 时取“”故选：D8.己知1F是椭圆22198xy+=的左焦点，过椭圆上一点 P
21、作直线与圆22(1)1xy相切，切点为 Q，则1PQPF的取值范围是（）A.34,152B.54,172C.1,13D.1,15【答案】A【解析】【分 析】设21,0F为22(1)1xy的 圆 心，利 用 椭 圆 定 义 和 勾 股 定 理 得 到212216PQPFPFPF，设2,2,4xPFx，得到216yxx 单调递增，从而求出最值，得到取值范围.【详解】设2F为椭圆的右焦点，由题知3,1ac，故121,0,1,0FF，显然21,0F为22(1)1xy的圆心，则221PQPF，由椭圆定义得126PFPF，故212216PQPFPFPF，令2,2,4xPFx，理由如下：设,P m n，33
22、m，则22198mn，22889mn=-，故22222281182999mmPFmnmm 2119993mm，因为33m，所以2192,43PFm，2116,2,4PQPFxxx，函数2,1yx yx均单调递增，故216yxx 在2,4上单调递增，所以1 34,152PQPF.故选：A二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.设*nN，已知数列 na为等比数
23、列，则（）A.2na一定为等比数列B.2na一定为等比数列C.当2n 时，2nnaa一定为等比数列D.当2n 时，22nnaa可能为等比数列【答案】ABD【解析】【分析】设出 na的公比为q，AB 选项，利用等比数列的定义进行判断；CD 选项，可举例说明.【详解】设 na的公比为q，A 选项，122nnaqa，故2na一定为等比数列，A 正确；B 选项，2212nnaqa，故 2na一定为等比数列，B 正确；C 选项，不妨设1na，此时公比为 1，则20nnaa，故2nnaa不是等比数列，C 错误；D 选项，不妨设1na，此时212nnaa，所以当2n 时，22nnaa可能为公比为 1 的等比
24、数列，D 正确.故选：ABD10.直线10mxym 与圆224xy相交，则弦长可能为（）A.2B.3C.10D.5【答案】BC【解析】【分析】求出10mxym 恒过定点1,1A，从而得到弦长的最小值和最大值，得到答案.【详解】224xy的圆心为0,0O，半径为2r，10mxym 变形为110m xy，故10mxym 恒过定点1,1A，由于22114，故1,1A在圆内，当OA与直线10mxym 垂直时，弦长最短，此时弦长2222 422 2rOA，当10mxym 过点0,0O时，弦长最长，为直径 4，故弦长可能为 3 或10.故选：BC11.类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐
25、标系Oxyz中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量(,)na b c，已知平面上定点0000,Pxyz，对于平面上任意点(,)P x y z，根据0PPn可得平面的方程为0000a xxb yyc zz则在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是（）A.若平面过点(1,1,1)，且法向量为(1,1,1)，则平面的方程为30 xyz B.若平面的方程为62230 xyz，则(3,1,1)a 是平面的法向量C.方程320 xy表示经过坐标原点且斜率为32的一条直线D.关于 x，y，z 的任何一个三元一次方程都表示一个平面【答案】ABD【解析】【分析】A：根据条件写出平面的方程并化简；B：先分析
26、方程对应的一个法向量，然后根据法向量与a之间的关系作出判断；C：与题设方程作对比，然后作出判断即可；D：设出三元一次方程的一般形式，然后与题设方程对比并作出判断.【详解】对于 A：根据题设可知平面的方程为1111110 xyz ，即为30 xyz ，故 A 正确；对于 B：因为平面的方程为62230 xyz，由题设可知平面的一个法向量为6,2,2n，且2na 即,n a 共线，所以3,1,1a 是平面的法向量，故 B 正确；对于 C：3203020000 xyxyz ，该方程可表示：一个法向量为3,2,0m 且过0,0,0的平面，故 C 错误；对于 D：设0axbyczd abc，其等价于00
27、0da xb yc zc，该方程可表示：一个法向量为,pa b c且过0,0,dc的平面，故 D 正确；故选：ABD.12.已知点 M，N 是双曲线22:149xyC上不同的两点，则（）A.当 M，N 分别位于双曲线的两支时，直线MN的斜率3 3,2 2k B.当 M，N 均位于双曲线的右支上时，直线MN的斜率3 3,2 2k C.线段MN的中点可能是(2,2)D.线段MN的中点可能是(1,2)【答案】AD【解析】【分析】由题意先得渐近线斜率，结合直线与双曲线的位置关系即可判断 AB，由点差法求直线的斜率，注意验证此时直线是否与双曲线有交点即可.【详解】双曲线渐近线为32yx，当 M，N 分别
28、位于双曲线的两支时，直线 MN 较渐近线更平缓，故3 3,2 2k，当 M，N 均位于双曲线的右支上时，直线 MN 较渐近线更陡，故33,22k ，所以 A 对 B错；记1122,M x yN xy，中点00,Pxy，由 M，N 是双曲线 C 上的点，有22112222149149xyxy，两式相减可得22221212049xxyy，当12xx时，有1190494OPOPk kk k，对于 C，991,:2(2)44OPkkMN yx与双曲线方程联立可知直线 MN 与方程无交点，故 C 错；对于 D，93 32,82 2OPkk，故此时 M，N 分别位于双曲线的左右两支，故 D 正确故选：AD
29、.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知直线1:10lxy 与2:(23)20lmxmy，若12ll，则实数 m 的值为_【答案】1【解析】【分析】根据平行关系得到方程，求出1m，验证后得到答案.【详解】由直线平行得到230mm ，解得1m，此时2:20lxy，与1:10lxy 不重合，平行，满足要求.故答案为：114.己知12,F F是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点 P，使得21212PFFFPF，则椭圆的离心率为_【答案】23【解析】【分析】求出212,PFc PFc，由椭圆定义得到32ca，求出离心率.【详解】因为21
30、1222PFPFFFc，所以212,PFc PFc，由椭圆定义得212PFPFa，即32ca，故离心率23ca.故答案为：2315.设*nN，数列 na满足12,2,nnna naan为奇数为偶数，若412a，则1a _【答案】2【解析】【分析】由题意结合新定义的数列逐步往前迭代即可列方程求解.【详解】432112222 224412aaaaa，所以12a 故答案为：2.16.已知圆22:()()1Cxaya，圆22:(1 2cos)(32sin)1Dxy ，若存在0,2)使得两圆有公共点，则实数 a 的取值范围为_【答案】3,1【解析】【分析】根据两个圆的圆心位置，结合圆与圆的位置关系进行求
31、解即可.【详解】由圆的标准方程可知(,),(1 2cos,32sin)C a a D，设,D x y，所以有222212cos134cos4sin432sinxxyy ，故点 C 在直线yx上，点 D 在以(1,3)M为圆心，2 为半径的圆上，故圆 D 上的点均在以 M 为圆心，3 为半径的圆上及其内部，由题意可知圆22:(1)(3)9Mxy与圆 C 有交点，即223 1|1 32(1)(3)4MCaa ，解得 3,1a 故答案为：3,1【点睛】关键点睛：判断圆 D 上的点的在圆 M 上，是解题的关键.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、
32、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记数列 na的前 n 项和为nS，已知2231nSnn（1）求数列 na的通项公式；（2）在数列 na中，从第二项起，每隔三项取出一项2610,a a a组成新的数列 nb，求数列 nb的前n 项和nT【答案】（1）0,145,2nnann（2）285nTnn【解析】【分析】（1）根据数列的求和公式，利用其与通项的关系，可得答案；（2）根据数列 na的通项公式，写出 nb的通项公式，利用等差数列的求和公式，可得答案.【小问 1 详解】由题：2231nSnn，当2n时，有212(1)3(1)1nSnn，两式相减可得：45nan，当1
33、n 时，110Sa，不满足上式，故0,145,2nnann；【小问 2 详解】由题可知42nnba，由于*nN，故42124(42)51613,3nannba，故12(3 1613)8522nnbbnnnTnn.18.设点12,A A是椭圆22:12yC x 的左、右顶点，动点 P 使得直线1PA与2PA的斜率之积为 2，记点 P的轨迹为（1）求的方程；（2）设过原点 O 的直线 l 与动点 P 的轨迹交于 A，B 两点，与椭圆 C 交于 E，F 两点，若2ABEF，求直线 l 的方程【答案】（1）221(1)2yxx（2）305yx【解析】【分析】（1）设动点(,)P x y，根据条件得到方
34、程，变形后得到轨迹方程，注意1x ；（2）由对称性得到2OAOE，不妨设点 A，E 在同一象限，设00,E xy，则002,2Axy，得到方程组，求出220065xy求出直线 l 的斜率，求出方程.【小问 1 详解】由题意得12(1,0),(1,0)AA，设动点(,)P x y，则动点 P 不与点12,A A相同，即1x ，直线1PA的斜率为1yx，直线2PA的斜率1yx，由题意得211yyxx，即2221yx，2212yx，即动点 P 的轨迹的方程为：221(1)2yxx；【小问 2 详解】轨迹是以原点 O 为中心的双曲线，轨迹、椭圆 C、直线 l 都关于原点 O 中心对称，由2ABEF，则
35、2OAOE，不妨设点 A，E 在同一象限，则点 E 为 OA 的中点，设点00,E xy，则直线 l 的斜率为00kyx，002,2Axy，2222000022,842xyxy，22220000284xyxy，即220065xy，2202065ykx，即305k ，直线 l 的方程为305yx 19.在如图所示的四棱锥PABCD中，底面 ABCD 是平行四边形，点 E，F 分别在棱 AB，PC 上，且满足2EBAE，2FCPF（1）证明：EF平面 PAD；（2）若平面PCD 底面 ABCD，ABD和PCD为正三角形，求直线 EF 与底面 ABCD 所成角的正切值【答案】（1）证明见解析（2）3
36、913【解析】【分析】（1）过点 F 作/FGCD并交 PD 于点 G，则四边形AEFG是平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）过点 F 作FOCD于点 O，连接 OE，由面面垂直的性质可得FO 底面 ABCD，进而确定直线 EF与底面 ABCD 所成角，设PFa，解三角形EFO即可.【小问 1 详解】在PCD中过点 F 作/FGCD并交 PD 于点 G，则FGPFCDPC，由2FCPF得13FGCD，由2EBAE得13AEAB，ABCD是平行四边形，/,/,ABD ABDAEFG AEFGCC，AEFG是平行四边形，/EFAG，而AG 平面 PAD，EF 平面 PAD，/EF平面
37、 PAD；【小问 2 详解】在平面 PCD 中过点 F 作FOCD于点 O，连接 OE，若平面PCD 底面 ABCD，由平面PCD底面 ABCDDC，FO 平面PCD，FO底面 ABCD，即FEO为直线 EF 与底面 ABCD 所成角，设PFa，则3ABCDPCa，在,2,60,3RtFOC FCaOCFFOa，由题意知底面 ABCD 是菱形，3,2,60ADa AEa DOaDAB，取 EB 的中点 M，连接 CM，则四边形OEMC为平行四边形，有OECM，在BCM中，120,3,CBMBCa BMa，由余弦定理，得22222cos12013CMBMBCBM BCa，故13EOCMa，在Rt
38、 EFO，339tan1313aFEOa，直线 EF 与底面 ABCD 所成角的正切值391320.已知数列 na是等比数列，2463,27a aa a（1）求数列 na的通项公式；（2）12633nnnnabaa，记数列 nb的前 n 项和为nT，若对于任意*nN，都有nT，求实数的取值范围【答案】（1）3nna（2）16【解析】【分析】（1）利用等比数列通项公式列方程组求解（2）裂项相消法求出nT，求其最值，得答案.【小问 1 详解】设数列 na的首项为1a，公比为 q，由题意得245111213327aa qa qqa q所以数列 na的通项公式为3nna【小问 2 详解】126 333
39、33nnnnb12113333nnnb233412111111333333333333nnnT2221111133336336nn，由nT恒成立，可知1621.在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”在如图所示的“阳马”PABCD中，侧棱PA 底面 ABCD，2ABADPA记PAD的重心为 G（1）求点 G 到平面 PBC 的距离（2）求平面 GBD 与平面 PBC 夹角的大小【答案】（1）2 23（2）30【解析】【分析】（1）根据长方形的性质，结合线面垂直的性质建立空间直角坐标系，利用空间点到面距离公式进行求解即可；（2）利用空间夹角公式进行求解即可.【小问
40、1 详解】因为底面为长方形，所以ADAB，又因为PA 底面 ABCD，ABAD，底面 ABCD，所以,PAAB PAAD，以点 A 为原点，AD 为 x 轴，AB 为 y 轴，AP 为 z 轴建立空间直角坐标系则(0,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(2,0,0),(0,0,2)ABCDP所以重心2222,0,(0,2,2),(2,0,0),2,3333GPBBCGB 设平面 PBC 的法向量为(,)ma b c022010,1,1201aPB mbcbmBC mac 所以点 G 到平面 PBC 的距离为：22,2,(0,1,1)33|2 2|32GB mm【小问 2 详解】42,0
41、,33GD，设平面 GBD 的法向量为(,)nx y z221203311,1,2420233xGB nxyzynGD nxzz 设平面 GBD 与平面 PBC 的夹角为，则(0,1,1)(1,1,2)3cos,30|226m nmn 22.已知双曲线22:14xCy的渐近线为12,l l，双曲线C与双曲线 C 的渐近线相同，过双曲线C的右顶点的直线与12,l l，在第一、四象限围成三角形面积的最小值为 8（1）求双曲线C的方程；（2）点P是双曲线C上任意一点，过点P作1PAl依次与双曲线C和2l交于A，B两点，再过点P作2PEl依次与双曲线 C 和1l交于 E，F 两点，证明：|AEBF为定
42、值【答案】（1）221164xy（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设直线方程为(2)yk xt，联立求出交点坐标，从而求出围成的三角形面积为28214ttk，当直线方程斜率不存在时，求出围成的三角形面积为2t，从而得到28t，4t，得到双曲线方程；（2）设直线1:2PA yxn，直线1:2PE yxm，并得到220044xmny，联立方程，求出,A B E F的坐标，从而求出223520644nAEn，2252064nBFn，从而得到|AEBF为定值.【小问 1 详解】由已知可设双曲线22:1(0)4xyCttt，其渐近线为12yx，右顶点为(2,0)t，设过右顶点的直线斜率为 k，则12
43、k 或12k，直线方程为(2)yk xt，联立212yk xtyx，解得421221k txkk tyk，联立212yk xtyx，解得421221k txkk tyk，故直线与12,l l在第一、四象限的交点的纵坐标之差为22128221214k tk tkkktk，围成三角形面积为2221882212414kttttkk，当斜率不存在时，直线方程为2xt，将2xt代入12yx 中，得到交点坐标为2,tt，围成三角形的面积为12222ttt，故围成的三角形面积的最小值为28t，4t，故双曲线C的方程为221164xy；【小问 2 详解】设点00,P xy，直线1:2PA yxn，则0012n
44、xy，且220044xy，直线1:2PE yxm，则0012myx，所以220044xmny，联立221214yxnxy，由221111422xyxyxy，故112xyn，所以111,22xnynnn，故点2211,2nnAnn，联立1212yxnyx 得点,2nB n，同理联立221214yxmxy得点2211,2mmEmm，联立1212yxmyx 得点,2mFm，4mn ，222222111122nmnmAEnmnm2214124228nnnnnnnn22222233339999994821626484nnnnnnnn222245452735206644844nnnn而222222224()()4164()()82444nmnnnBFmnnnnnn 2252064nn34AEBF，AEBF的定值为34【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.