《湖北省武汉市江岸区2024届高三上学期1月调考数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖北省武汉市江岸区2024届高三上学期1月调考数学试题含答案.pdf（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、湖北省武汉市江岸区湖北省武汉市江岸区 2023-2024 学年高三上学期元月调考数学试学年高三上学期元月调考数学试题题20232024 学年度高三元月调考学年度高三元月调考数学试卷数学试卷一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.已知集合2,1,1,2A，201xBxx，则AB（）A.1,2B.2,1C.1,1,2D.2,1,12.已知i是关于x的方程220 xpxq（p，qR）的一个根，则pq（）A.0B.2C.2D.13.已知向量3,1a，
2、3,2b，1,4c，则cos,a bc（）A.55B.53C.510D.554.函数22()logf xxax在区间0,1上递增，则a的取值范围是（）A.2,)B.(2,)C.(0,2)D.(0,25.若数列 na的前n项和为nS，则“12nnn aaS”是“数列 na是等差数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.成语“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，意思是在小小的军帐之内作出正确的部署，决定了千里之外战场上的胜利，说的是运筹的重要性.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”，如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条
3、正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为12，底面矩形的长与宽之比为2:1，则正脊与斜脊长度的比值为（）A.23B.43C.34D.547.已知 A，B 为双曲线221xy上不同两点，下列点中可为线段AB的中点的是（）A.1,1B.(2,3)C.2,1D.11,28.已知在ABC中，2ab，1sin3B，则sinsin22CBA（）A.103B.103C.23D.23二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得
4、分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，则下列四个命题正确的是（）A.正方体1111ABCDABC D的内切球的半径为22B.两条异面直线1DC和1BC所成的角为3C.直线 BC 与平面11ABC D所成的角等于4D.点 D 到面1ACD的距离为3210.已知圆22:1O xy和圆222:(3)(4)(0)Cxyrr，则（）A.两圆可能无公共点B.若两圆相切，则4r C.直线=1x可能为两圆的公切线D.当4r 时，若ykxm为两圆的公切线，则34k 或72411.设 A，B 是一次随机试验中的两个事件，且1()3P
5、A，1()4P B，7()12P ABAB，则（）A.A，B 相互独立B.5()6P ABC.13P B A D.P A BP B A12.已知函数 exf xkx，lng xkxx，0k，则（）A.当ek 时，函数 f x有两个零点B.存在某个0,k，使得函数 f x与 g x零点个数不相同C.存在ek，使得 f x与 g x有相同的零点D.若函数 f x有两个零点1212,x xxx，g x有两个零点3x，434xxx，一定有1423x xx x三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知如下的两组数据：第一组：10、11、1
6、2、15、14、13第二组：12、14、13、15、a、16若两组数据的方差相等，则实数a的值为_.14.若函数 sinsin03fxxx，在0,上恰有两个最大值点和四个零点，则实数的取值范围是_15.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为 2，高为3 2的正四棱柱构成，如图所示，则该“十字贯穿体”的体积为_16.如图，椭圆1C：2211221110 xyabab和2C：2222221
7、xyab有相同的焦点1F，2F，离心率分别为1e，2e，B为椭圆1C的上顶点，21F PFP，1F，B，P三点共线且垂足P在椭圆2C上，则12ee的最大值是_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC中，角,A B C所对的边分别是,a b c已知2coscoscosBCBCbcabac（1）求A；（2）D为BC边上一点，DABA，且3BDDC，求cosC18.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，4AB，2ADAE.将ADEV沿AE折起，使点D到达点P的
8、位置，使平面APE 平面ABCE.（1）求证：APBE；（2）求平面PAC与平面PBE夹角的余弦值.19.已知函数 eeRxf xax a.（1）讨论函数 f x的单调性；（2）若存在实数a，使得关于x的不等式 f xa恒成立，求实数的取值范围.20.若数列 nx满足：存在等比数列 nc，使得集合*nnxc nN元素个数不大于k*k N，则称数列 nx具有()P k性质.如数列1nx，存在等比数列(1)nnc ，使得集合*0,2nnxc nN，则数列 nx具有(2)P性质.若数列 na满足10a，*11(1)22nnnaan N，记数列 na的前n项和为nS.证明：（1）数列(1)nna 为等
9、比数列；（2）数列 nS具有(2)P性质.21.已知一个盒子中装有 1 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外全部相同.每次从盒子中随机取出 1 个球，并换入 1 个黑球，记以上取球换球活动为 1 次操作.设n次操作后盒子中所剩黑球的个数为.（1）当3n 时，求的分布列；（2）当(3)nk k时，求的分布列和数学期望()E.22.已知抛物线21:4Cxy的焦点为 F，M 为抛物线22:4(1)Cxy上一点，且在第一象限内.过M作抛物线1C的两条切线MA，MB，A，B 是切点；射线MF交抛物线2C于D.（1）求直线AB的方程（用 M 点横坐标0 x表示）；（2）求四边形MADB面积的最小值.202
10、32024 学年度高三元月调考学年度高三元月调考数学试卷数学试卷一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.已知集合2,1,1,2A，201xBxx，则AB（）A.1,2B.2,1C.1,1,2D.2,1,1【答案】B【解析】【分析】先根据分式不等式求出集合B，再根据集合的交集运算即可求解【详解】由201xx，即21010 xxx，解得21x-，所以21Bxx，又2,1,1,2A，所以2,1AB 故选：B2.已知i是关于x的方程220 xpxq（
11、p，qR）的一个根，则pq（）A.0B.2C.2D.1【答案】C【解析】【分析】把根代入方程，利用复数的相等求出,p q即可【详解】i是关于x的方程220 xpxq的一个根，把i代入方程，有2i0pq，则有0,2pq，所以2pq.故选：C3.已知向量3,1a，3,2b，1,4c，则cos,a bc（）A.55B.53C.510D.55【答案】A【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示及夹角公式求解即可.【详解】因为3,1a，3,2b，1,4c，所以10a，2,2bc，则4abc，2 2bc，故45cos,510 2 2abca bcabc故选：A4.函数22()logf xxax在区间0,
12、1上递增，则a的取值范围是（）A.2,)B.(2,)C.(0,2)D.(0,2【答案】A【解析】【分析】根据对数型函数的单调性进行求解即可.【详解】二次函数2yxax 的对称轴为：2ax，因为函数22()logf xxax在区间0,1上递增，所以有212210aaa，故选：A5.若数列 na的前n项和为nS，则“12nnn aaS”是“数列 na是等差数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】必要性显然成立；由12nnn aaS，111(1)2nnnaaS，得11(1)(2)nnnaana，同理可得211(2)(3)nnnaa
13、na，综合，得122nnnaaa，充分性得证，即可得到本题答案.【详解】必要性显然成立；下面来证明充分性，若12nnn aaS，所以当2n时，111(1)2nnnaaS，所以1112(1)nnnan aanaa，化简得11(1)(2)nnnaana，所以当3n时，211(2)(3)nnnaana，得122(2)(2)nnnnanaa，所以122nnnaaa，即数列 na是等差数列，充分性得证，所以“12nnn aaS”是“数列 na是等差数列”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的判断与证明的问题，考查推理能力，属于中等题.6.成语“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，意思是在小小的军
14、帐之内作出正确的部署，决定了千里之外战场上的胜利，说的是运筹的重要性.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”，如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为12，底面矩形的长与宽之比为2:1，则正脊与斜脊长度的比值为（）A.23B.43C.34D.54【答案】B【解析】【分析】结合图形，多面体FDABNM中，取AB的中点C，做CQ/BN交MN于Q，做DE底面ABNM于E点，坡面与底面所成二面角的为DHE、DCE，1tantan2DHEDCE，设1DE，得斜脊AD，因为矩形宽4AB，长为 8，得DF，可得答案.【详
15、解】如图，多面体FDABNM中，取AB的中点C，做CQ/BN交MN于Q，做DE底面ABNM于E点，则E点在CQ上，且E点到BNAM、的距离相等，即2EHAB，做DHAM于H点，连接EH，DEEHE，则AM平面DHE，所以EHAM，所以坡面与底面所成二面角为DHE，又DEECE，则AB平面DCE，所以DCAB，坡面与底面所成二面角为DCE，所以正切值1tantan2DHEDCE，不妨设1DE，2EHACBCCE，可得斜脊1 443AD，因为矩形宽4AB，所以长为 8，这样正脊82 24DF ，所以正脊与斜脊长度的比值为4:3即43.故选：B.7.已知 A，B 为双曲线221xy上不同两点，下列点
16、中可为线段AB的中点的是（）A.1,1B.(2,3)C.2,1D.11,2【答案】B【解析】【分析】利用点差法结合选项得出AB方程，再与双曲线方程联立一一验证是否有两个不同交点即可.【详解】设AB的中点001122,C xyA x yB xy，所以12120120122,2,AByyxxxyyykxx，易知2211222211xyxy，由点差法可得 121212120 xxxxyyyy121200121200212ABAByyyyyxkkxxxxxy，若1,1C，此时1,:1ABABklyx，与双曲线联立2222121111yxxxxxxy，即ABl与双曲线只有一个交点，故 A 错误；若2,3
17、C，则此时225,:333ABABklyx，与双曲线联立222232599420251yxxxxxy254525425xx，即ABl与双曲线有两个交点，故 B 正确；若2,1C，则此时2,:22ABABklyx，与双曲线联立2222221122 212021yxxxxxxxy ，即ABl与双曲线有一个交点，故 C 错误；若11,2C，则此时32,:22ABABklyx ，与双曲线联立2222232911463102441yxxxxxxy ，显然无解，即ABl与双曲线没有交点，故 D 错误；故选：B8.已知在ABC中，2ab，1sin3B，则sinsin22CBA（）A.103B.103C.23
18、D.23【答案】A【解析】【分析】首先分析题意，利用正弦定理求sin A，然后结合三角形中内角的诱导公式结合同角的三角函数的基本关系式可求三角函数式的值.【详解】sinsincossin2222CBAABABcoscossinsinsincoscossin22222222ABABABABcossincossin2222AABB因为2ab，故sin2sinAB且0,2B，故0,24B，且2sin3A，故cossin022BB，故22cossincossin1 sin22223BBBBB，而0,22A，故cossin022AA，故25cossincossin1 sin22223AAAAA，故3si
19、nsin2210CBA故选：A.二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，则下列四个命题正确的是（）A.正方体1111ABCDABC D的内切球的半径为22B.两条异面直线1DC和1BC所成的角为3C.直线 BC 与平面11ABC D所成的角等于4D.点 D 到面1ACD的距离为32【答案】BC【解析】【分
20、析】根据正方体和内切球的几何结构特征，可判定 A 错误；连接1,AC CD，把异面直线1DC和1BC所成的角的大小即为直线1DC和1AD所成的角，1ACD为正三角形，可判定 B 正确；证得1BC 平面11ABC D，进而求得直线BC与平面11ABC D所成的角，可判定 C 正确；结合等体积法，得到11D ACDDACDVV，进而可判定 D 错误.公众号：高中试卷君【详解】对于 A 中，正方体1111ABCDABC D的内切球的半径即为正方体1111ABCDABC D的棱长的一半，所以内切球的半径12R，所以 A 错误.对于 B 中，如图所示，连接1,AC CD，因为11/ABC D且11ABC
21、 D，则四边形11ABC D为平行四边形，所以11/BCAD，所以异面直线1DC和1BC所成的角的大小即为直线1DC和1AD所成的角1ADC的大小，又因为112ACADDC，则1ACD为正三角形，即13AD C，所以 B 正确；对于 C 中，如图所示，连接1BC，在正方形11BBCC中，11BCBC.因为AB平面11BBCC，1BC 平面11BBCC，所以1ABBC.又因为1ABBCBI，AB平面11ABC D，1BC 平面11ABC D，所以1BC 平面11ABC D，所以直线BC与平面11ABC D所成的角为14CBC，所以 C 正确；对于 D 中，如图所示，设点 D 到面1ACD的距离为
22、h，因为1ACD为正三角形，所以1113sin232ACDSACADV,又因为1122ACDSAD CDV，根据等体积转换可知：11D ACDDACDVV，即111133ACDACDShSDD，即111133232h ，解得33h，所以 D 错误.故选：BC.10.已知圆22:1O xy和圆222:(3)(4)(0)Cxyrr，则（）A.两圆可能无公共点B.若两圆相切，则4r C.直线=1x可能为两圆的公切线D.当4r 时，若ykxm为两圆的公切线，则34k 或724【答案】ACD【解析】【分析】先根据题意求出圆O和圆C的圆心距为5d，当1dr 即可判断 A；分两圆外切和内切两种情况即可判断
23、B；当2r 时即可判断 C；结合选项 B 可得，当4r 时，两圆外切，再根据圆O和圆C的圆心到直线的距离分别为1和4即可判断 D【详解】由圆O的圆心为0,0，圆C的圆心为3,4，则圆O和圆C的圆心距为22345d，对于 A，当1dr，即04r时，两圆可能相离，即无公共点，故 A 正确；对于 B，当两圆外切时，1dr，得4r；当两圆内切时，1rd，得6r，故 B 错误；对于 C，当2r 时，直线=1x可能为两圆的公切线，故 C 正确；对于 D，结合选项 B 可得，当4r 时，两圆外切，则有22113441mkkmk，解得34k 或724k，故 D 正确故选：ACD11.设 A，B 是一次随机试验
24、中的两个事件，且1()3P A，1()4P B，7()12P ABAB，则（）A.A，B 相互独立B.5()6P ABC.13P B A D.P A BP B A【答案】ABD【解析】【分析】利用独立事件、对立事件、互斥事件的定义与概率公式可判定 A、B，利用条件概率的定义与公式可判定 C、D.【详解】由题意可知 23()1,134P AP AP BP B ，事件,AB AB互斥，且 ,P ABP ABP AP ABP ABP B，所以 7()212P ABABP ABP ABP AP BP AB，即 2171234126P ABP ABP A P B，故 A 正确；则 ()P ABP AP
25、BP ABP AP BP AP B1313534346，故 B 正确；由条件概率公式可知：11162433P ABP B AP A，故 C 错误；11146134P ABP BP ABP A BP BP B，21336243P BAP AP ABP B AP AP A即P A BP B A，故 D 正确.故选：ABD12.已知函数 exf xkx，lng xkxx，0k，则（）A.当ek 时，函数 f x有两个零点B.存在某个0,k，使得函数 f x与 g x零点个数不相同C.存在ek，使得 f x与 g x有相同的零点D.若函数 f x有两个零点1212,x xxx，g x有两个零点3x，4
26、34xxx，一定有1423x xx x【答案】ACD【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，结合零点存在性定理及同构式一一判定选项即可.【详解】由 ee0 xxf xkxfxk k，令 0lnfxxk，令 0lnfxxk，即 f x在,lnk上单调递减，在ln,k上单调递增，即 minlnf xfk，对于 A 项，当ek 时，则 minln1 ln0f xfkkk，又易知 010f，且x 时，e0 xkxf x，根据零点存在性定理可知函数 f x在0,lnk和ln,k内各有一个零点，故 A 正确；对于 B 项，当ek时，此时 min10f xf，则 f x有一个零点，当0ek时，min
27、ln1 ln0f xfkkk，则此时 f x无零点，又易得 lnlnelnlnxg xkxxkxfx ，则0,k，函数 f x的零点个数与 g x的零点个数相同，故 B 错误；对于 C 项，由 A、B 项结论可知：当ek 时，yf x有两个零点1212,lnx xxkx，同时 g x有两个零点3x，434xxx，则根据lnyx单调递增可知，存在唯一的34,x x满足3142lnlnxxxx成立，有331442ln0ln0g xfxfxg xfxfx ，若 C 正确，则只能有23xx，即12exx，由题意易知：1222ln212222eeeelnlnxxxxxkxxxxx，令 2e1exxxh
28、xh xxx，则0,1,0 x 时，0h x，1,x时，0h x，故 h x在 0,1,0上单调递减，在1,上单调递增，且0 x 时，0h x，0 x 时，min1eh xh，所以222ln1xxx，满足22lnh xhx，即存在ek，使得 f x与 g x有相同的零点23xx，故 C 正确；对于 D 项，由 C 项结论可知，此时ek，则由1122334142312124eeeexxxxxxxkx xx xxxxxx，故 D 正确.综上：ACD 正确.故选：ACD【点睛】难点点睛：可以先利用导数含参讨论函数的单调性与最值，结合零点存在性定理判定零点个数，对于第二项，注意观察两个函数的解析式，利
29、用同构式判定可零点之间的联系；第三项，构造函数利用其单调性可判定同构式是否有解.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知如下的两组数据：第一组：10、11、12、15、14、13第二组：12、14、13、15、a、16若两组数据的方差相等，则实数a的值为_.【答案】11 或 17【解析】【分析】根据方差公式及其变形即可得到方程，解出即可.【详解】第一组的平均数10 11 12 13 14 1512.56x，第二组的平均数12 13 14 15 167066aax，则第一组的方差为222222210 12.511 12.512
30、12.513 12.514 12.515 12.535612s，则第二组的方差为22222222252820812141315167035663612aaaas，解得11a 或 17.故答案为：11 或 17.14.若函数 sinsin03fxxx，在0,上恰有两个最大值点和四个零点，则实数的取值范围是_【答案】23 13,63【解析】【分析】先化简函数式得 3sin6f xx，再结合三角函数的图象与性质，利用整体代换计算即可.【详解】由三角恒等变换可得 3sin6f xx，0,x时，有,666x，若要满足题意则需：923 134,6263.故答案为：23 13,6315.“十字贯穿体”是由两
31、个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为 2，高为3 2的正四棱柱构成，如图所示，则该“十字贯穿体”的体积为_【答案】56 23【解析】【分析】根据总体积减去重叠部分的体积求解即可；【详解】如图，两个正四棱柱的重叠部分为多面体CDGEST，取CS的中点I，则多面体CDGEST可以分成 8 个全等三棱锥CGEI，12 2222GEIS,则12 22233CGEIV,则该“十字贯穿体”的体积为:16 256 2
32、212 2824 233CGEIVV,故答案为：56 23.16.如图，椭圆1C：2211221110 xyabab和2C：2222221xyab有相同的焦点1F，2F，离心率分别为1e，2e，B为椭圆1C的上顶点，21F PFP，1F，B，P三点共线且垂足P在椭圆2C上，则12ee的最大值是_.【答案】212【解析】【分析】将12ee表示为三角函数的形式，然后根据三角恒等变换以及三角函数最值的知识求得12ee的最大值.【详解】由图知1111OFceaBF，122212222OFcceaaPFPF则121212PFPFeeBF，设12,02PFF，则122sincosPFPFc，1coscBF
33、则12sincoscosee211cos2sincoscossin22221sin 2242，由于52,sin 214444，所以122112sin 22422ee.故答案为：212【点睛】方法点睛：求解椭圆的离心率，方法有很多，如根据已知条件求得,a c，从而求得椭圆的离心率；如根据已知条件求得,a c的齐次式，从而求得椭圆的离心率；如根据已知条件求得,a b的齐次式，先求得ba，然后利用2222221ccabbeaaaa求得椭圆的离心率.公众号：高中试卷君四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过
34、程或演算步骤.17.在ABC中，角,A B C所对的边分别是,a b c已知2coscoscosBCBCbcabac（1）求A；（2）D为BC边上一点，DABA，且3BDDC，求cosC【答案】（1）23A（2）7 1938【解析】【分析】（1）已知等式去分母，正弦定理边化角，利用两角和的正弦公式化简，可得角A；（2）由DABA且3BDDC，利用向量法求得23cb，再结合余弦定理求a和cosC.【小问 1 详解】已知2coscoscosBCBCbcabac，由BCA，有coscosBCA，所以2coscoscosABCbcabac，两边同乘以 abc 得：2 coscoscosaAcBbC由正
35、弦定理得：2sincossincoscossinsinsinAACBCBBCA由0,A，sin0A，所以1cos2A ，23A【小问 2 详解】取AB、AC为平面向量的基底因为 D 在 BC 边上，且3BDDC，所以33134444ADABBDABBCABACABABAC 因为DABA，所以0AD AB ，则13044ABACAB 即230ABAC AB ，得23cosABACABA ，所以232cbc，23cb不妨设2b，3c 在ABC中，由余弦定理：2222cos49619abcbcA，所以19a 由余弦定理：22219497 19cos2382192abcCab18.如图，已知四边形AB
36、CD为平行四边形，E为CD的中点，4AB，2ADAE.将ADEV沿AE折起，使点D到达点P的位置，使平面APE 平面ABCE.（1）求证：APBE；（2）求平面PAC与平面PBE夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1313【解析】【分析】（1）结合长度关系可整的90AEB，即BEAE，应用平面垂直于平面的性质定理即可证明；（2）作POAE，过O作/Oy EB，,OA Oy OP两两垂直，建立空间直角坐标系，即可应用向量法求解.【小问 1 详解】因为四边形ABCD为平行四边形，由E为CD的中点，4AB，2ADAE，则ADEV为等边三角形，所以120BCE.则CEEDDACB，所以BCE为
37、等腰三角形，可得30CEB，18090AEBAEDBCE，即BEAE，因为平面APE 平面ABCE，平面APE 平面ABCEAE，BE 平面ABCE，则BE 平面APE，且AP平面APE，所以APBE.【小问 2 详解】作POAE，过O作/Oy EB，由面APE 面ABCE得PO面ABCE则,OA Oy OP两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系.(0,0,3)P，(1,0,0)A，(1,0,0)E，(1,2 3,0)B，(2,3,0)C 设平面PAC的一个法向量为111,mx y zr由00m PAm AC 知111133xzyx可取(3,3,1)m，同理得平面PBE的一个法向量(3,0,1)
38、n .设平面PAC与平面PBE的夹角为.则3 113cos|13132m nm n .面PAC与面PBE夹角的余弦值为1313.19.已知函数 eeRxf xax a.（1）讨论函数 f x的单调性；（2）若存在实数a，使得关于x的不等式 f xa恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析.（2）1,e【解析】【分析】（1）求导以后对导数中的参数进行分类讨论，根据不同的分类判断函数的单调性；（2）根据第 1 问的结论，将恒成立问题转化为函数的最大（小）值问题，构造新函数，求出的范围.【小问 1 详解】函数 eeRxf xax a，xR，则()(e)e1xfxa，当e0a，即ea时，()
39、0fx恒成立，即()f x在R上单调递增；当e0a，即ea 时，令()0fx，解得ln(e)xa，x(,ln(e)a ln(e)a(ln(e),)a()fx+0()f x极大值综上所述，当ea是，()f x在R上单调递增；当ea 时，()f x在(,ln(e)a 上单调递增，在(ln(e),)a上单调递减.【小问 2 详解】()f xa等价于(e)e0 xaxa，令()(e)exh xaxa，当ea时，1(1)(e)e10ahaa，所以()0h x不恒成立，不合题意.当ea 时，()f xa等价于max()af a，由（1）可知max()(ln(e)1 ln(e)f xfaa ，所以1 ln(
40、e)aa ，对ea 有解，所以1 ln(e)aa 对ea 有解，因此原命题转化为存在ea，使得1 ln(e)aa.令ln(e)1()au aa，ea，则min()u a，222eln(e)ln(e)1ee()aaaaau aaaa，令e()ln(e)eaaa，则21e()0e(e)aaa，所以()a在(e,)上单调递增，又e(2e)ln(2ee)02ee，所以当e2ea时，()0a，()0u a，故()u a在(e,2e)上单调递减，当2ea 时，()0a，()0u a，故()u a在(2e,+)上单调递增，所以min1()(2e)eu au，所以1e，即实数的取值范围是1,e.【点睛】关键点
41、点睛：第二问，问题化为存在ea，使得1 ln(e)aa，利用导数研究右侧最小值，即可得范围.20.若数列 nx满足：存在等比数列 nc，使得集合*nnxc nN元素个数不大于k*k N，则称数列 nx具有()P k性质.如数列1nx，存在等比数列(1)nnc ，使得集合*0,2nnxc nN，则数列 nx具有(2)P性质.若数列 na满足10a，*11(1)22nnnaan N，记数列 na的前n项和为nS.证明：（1）数列(1)nna 为等比数列；（2）数列 nS具有(2)P性质.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(1)nnnba，求出1b和1nb，求出1nb和
42、nb的关系即可证明；（2）由（1）求出na，求出nS，设数列2132nnr 即可证明.【小问 1 详解】设(1)nnnba，则11b ，111111(1)(1)(1)(1)22222nnnnnnnnnaabab .因此数列(1)nna 是首项为1，公比为12的等比数列，且11(1)2nnna ；【小问 2 详解】由（1），111(1)2nnna ，所以111(1)11212(1)11(1)623212nnnnnS ，取数列2132nnr，则 nr是等比数列，并且11(1)62nnnSr，因此集合*2 1,3 3nnSrn N，所以数列 nS具有(2)P性质.公众号：高中试卷君21.已知一个盒子
43、中装有 1 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外全部相同.每次从盒子中随机取出 1 个球，并换入 1 个黑球，记以上取球换球活动为 1 次操作.设n次操作后盒子中所剩黑球的个数为.（1）当3n 时，求的分布列；（2）当(3)nk k时，求的分布列和数学期望()E.【答案】（1）分布列见解析（2）分布列见解析，数学期望为2323k【解析】【分析】（1）首先分析题意，列出3n，即 3 次摸换球后的可能取值为 1，2，3，再一次计算可能即可.（2）利用（1）中题意，进行分析即可，最后算出答案.【小问 1 详解】3n，即 3 次摸换球后的可能取值为 1，2，3.当1，即 3 次摸球都摸到黑球，1111
44、(1)33327P当2，即 3 次摸球中有且仅有 2 次摸到黑球，1 次白球，(2)PPPP黑黑白黑白黑白黑黑1121222223333333331427当3，即 3 次摸球中有且仅有 1 次摸到黑球，2 次白球，(3)PPPP黑白白白黑白白白黑121221211333333331227.分布列为122P12714271227【小问 2 详解】(3)nk k时，即k次摸球换球后，黑球个数可能取值为 1，2，3同（1）当1，即k次摸球都摸到黑球1(1)3kP，当2，即k次摸球有且仅有“1k”次摸到黑球，1 次摸到白球，(2)PPPP白黑黑黑黑黑黑黑白黑白12122122123333333kkk1
45、12223kkk2 121312kk2123kk.当3，(3)1(1)(2)PPP 2 211133kkk 12113kk 14 213 211()3333kkkkkE，2 233kk，2323k22.已知抛物线21:4Cxy的焦点为 F，M 为抛物线22:4(1)Cxy上一点，且在第一象限内.过M作抛物线1C的两条切线MA，MB，A，B 是切点；射线MF交抛物线2C于D.（1）求直线AB的方程（用 M 点横坐标0 x表示）；（2）求四边形MADB面积的最小值.【答案】（1）200214xx xy（2）16【解析】【分析】（1）利用导数求则切线MA和MB的方程，由点M坐标同时满足MA和MB的方
46、程，得直线AB的方程；（2）设直线MF的方程，表示出弦长MD，再求 A、B 到直线MF的距离，表示出四边形MADB面积，利用韦达定理化简，由基本不等式求最小值.【小问 1 详解】00,Mxy，11,A x y，22,B xy，抛物线21:4Cxy，即24xy，则2xy，抛物线在点11,A x y处切线斜率为12x，则切线MA方程为1112xyyxx，整理得112x xyy，同理，MB方程为222x xyy，又M在MA，MB上，有1001200222x xyyx xyy，直线AB的方程为002x xyy，又00,Mxy在24(1)xy上，有20014xy，所以直线AB的方程为200214xx x
47、y.【小问 2 详解】设:1MFlykx，33,D x y，联立214(1)ykxxy，2480 xkx，030348xxkx x 2222203|1116324 12MDkxxkkkk.设 A、B 到MFl的距离为1d、2d.则 121211221222211111k xxyykxykxyddkkk2212121212224414 1xxk xxxxkxxkk联立20042xyx xyy，200240 xx xy，12012024xxxx xy，2000120224162 2424 11xykxddkxkk，（其中200004164 41162xyyy）222012022 21|2 124
48、2221MADBkxSMDddkkkkxk四边形，又2000004101xyyykx20084xxk代入得2220000000001881884 2321622MADBxSxxxxxxxx四边形2200181(2 8)1622xx，当且仅当02 2x，即(2 2,1)M取最小值.所以四边形MADB面积的最小值为 16.【点睛】方法点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题