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1、符 号 表一切，任一个存在，某一个全体正整数全体整数n 维 Euclid 空间全体复数en厌 匣a N Zvm几乎处处数域实数或复数00C 底正无穷大或复平面上的无穷远点00向量空间的零元素r，。xB。E（以x。为中心，以r为半径的开球对应到集合E的内点全体H1-1一对一存在唯一/),右端是左端的定义蕴含证毕、述毕叫一：当且仅当目录第一章度量空间11压缩映射原理12完备化. . . . . . .113列紧集154赋范线性空间23线性空间上的距离 2 3 254.2赋范线性空间上的范数等价 应用：最佳逼近问题 有穷维B*空间的刻画 4.3范数与Banach空间 303539424.44.54.
2、64.7商空间 445凸集与不动点50Brouwer与Schauder不动点定理 50 565.25.3应用596内积空间61 627476正交化与Hilbert空间的同构 再论最佳逼近问题 6.2正交与正交基686.36.4第二章 80 86 861线性算子的概念861.11.22Riesz表示定理及其应用9 21023.1纲与纲推理1021063.3闭图像定理112 1143.5应用.116122线性泛函的延拓定理122凸集分离定理13 0几何形式4.14.2共扼空间、弱收敛、自反空间. 14 51375弱收敛及弱收敛16 2弱列紧性与弱列紧性.5.45.1 共辄空间的表示及应用. .14
3、 5 5.2 共辄算子.15 6 5.316 75了弱收敛的例子. 1736线性算子的谱. . 1796.1定义与例. 179183 6.3例子. 188第三章123紧算子与Fredholm算子.193.193Riesz-Fredholm理论 202紧算子的谱理论212. 214216不变子空间.Hilbert-Schmdi t定理 3.1 紧算子的谱2123.246Fredhom 2 21算子. 235目录第四章 252.1.l.l广义函数与Sobolev空间. 2491.2B。空间.1.1基本空间份(n) .252. 259 272 273 276广义函数的定义和基本性质21.3广义函数的
4、收敛性. 3.23.33.1广义微商.平移算子与反射算子.广义函数的乘法. 275459上的Fourier变换278Sobolev空间与嵌入定理 284. . 索弓I. 307第一章度量空间1压缩映射原理度量空间(metric space)又称距离空间，是一种拓扑空间，其上的拓扑由指定的一个距离决定定义1.1.1设勿是一个非空集无叫作度量空间，是指在宽上定义了一个双变量的实值函数p(x,y), 满足下列三个条件：(1) p(x,y) 江，而且 p(x,y) = 0, 当且仅当 X = y;(2) p(x, y) = p(y,x);(3) p(x, z)p(x,y) + p(y, z)(/x,y
5、, z E龙）这里p叫作劣上的一个距离，以p为度量的度量空间究记 作（劣，p).注距离概念是欧氏空间中两点间距离的抽象事实上，如果对妇= (x1, X2, , Xn), Y = (Yi, Y2, . , 如） E 贮，令p(x,y)=也-y乎+(环-y平令(1.1.1)容易看到条件(1), (2), (3)都满足以后当说到欧氏空间时，我们始终用这个p规定其上的距离例1.1.2 (空间Ca,b)区间a,b上的连续函数全体记为Ca, b, 按距离p(x,y) 兰合= atb(1.1.2)形成度量空间(Ca,b,p), 简记作Ca,b. 以后当说到连续函数空间Ca,b时，我们始终用(1.1.2)式规
6、定的p作为其上的距离，除非另外说明引进距离的目的是刻画收敛 2 .泛函分析讲义（第二版）（上）定义1.1.3 度量空间（劣，p)上的点列吓叫作收敛到 功是指： p(xn心o) -t O(n -too). 这时记作业总环 =Xo, 或简单地记作环 -tXo.注 在Ca, b 中点列 xn 收敛到 x。是指：环(t) 一致收敛到 xo(t).与实数集合一样，对于一般的度量空间可引进闭集和完备性等概念定义1.1.4度量空间（龙， p) 中的一个子集E称为闭集，是指： V巳 cE, 若 Xn -t Xo, 则 xo EE.定义1.1.5度量空间（劣，p)上的点列 xn 叫作基本列，是指： p(五环）一
7、 O(n,m -t oo). 这也就是说 vc 0, :3N(c), 使得 m,nN(c) 今 p(气压） 0,:3N(c), 使得对 Vm,nN(c),有p(xm ,环）总总户(t) - Xn(t)I c.因此对 tit E a,b,lxm(t) - Xn(t)I O,Vxo E究，:38 =8(xo, c) 0, 使得p(x,xo) 8 = r(Tx, Txo) 0, 使得 Vn E N,:3x九，使得 p(xn心o) 0,:3N = N(8(xo,c), 使得当 nN 时，有 p(x九，xo) 8. 从而r(T环，Txo) c, 即得业总r(Txn,Txo) = 0.设 中 是股上定义的
8、实函数，求方程扒x) = 0的根的问题可以看成胶一民的映射f位）工 一 cp(x)的不动点问题即求 m已R 满足：tf位） =x.下列常微分方程的初值问题=F(t, x),x( O) =e,(1.1.5)或它的等价形式，即求连续函数 x(t) 满足下列积分方程的问题：x(t) =(+ f。t F(r,x(r)dr,(1.1.6). 4.泛函分析讲义（第二版）（上）也可以看成是一个不动点问题为此，在以 t=O 为中心的某区间 -h, h 上考察度量空间 C-h, h, 并引入映射(Tx)(t)=+ s:F(r,x(分） dr,(1.1.7)则 (1.1.6) 式等价于求 C-h, h 上的一个点
9、 x, 使得 x=Tx, 即求 T 的不动点在度量空间上有一个很简单而基本的不动点定理 一 压缩映射原理定义1.1.10 称 T: (究，p) 一（览，p) 是一个压缩映射，如果存在 0 a 1, 使得 p(Tx, Ty)ap(x, y)(/x, y E).例1.1.11 设劣= 0,1,T(x) 是 O, 1 上的一个可微函数，满足条件：T(x) E O, 1 (Vx E (0, 1),(1. 1.8)以及IT(x)Ia 1 (Vx E O,1),(1.1.9)则映射 T: 劣一劣是一个压缩映射证p(Tx, Ty)= IT(x) -T(y)I 0 0,L 0, 使得当 It匡h, Ix 广I
10、8, lx2 -I6 时，有IF(t,x1) - F(t,x2)ILlx 1 - x叶，(1.1.10)这时就有其中p(Tx,Ty)Lhp(x,y)万(, 6)会x(t) E C-h,hI mltlaxhlx(t) - e, 6.ee在这里我们不能直接取 C-h, h 为定理 1.1.12 中的度量空间览， 因为当 Lh O 足够小，以使maxl(Tx)(t) I= maxjJ。F(T,x(T)dTI,; Mh,; 8.由于 (C-h,h,p) 是一个完备的度量空间，而劣又是它的一个闭子集，因此 (tc,p) 还是一个完备的度量空间（习题 1.1.1). 于是我们得到了下面的定理定理 1.1.
11、14 设函数 F(t,x) 在h,h X- 8,+ 5 上定义、连续并满足条件 (1.1.10), 则当 h min6/M, 1/L 时，初值问题(1.1.5) 在 -h,h 上存在唯一解例 1.1.15 (隐函数存在定理）设 f(x,y) = (f1(x,y),fm 位，y) : 贮x 即飞 汇， u XV C贮x 汇是 (xo,Yo) 在. 8.泛函分析讲义（第二版）（上）厌飞d沪中的一个邻域设 f(x,y) 及I(x,y),句(x,y)oy盯1彻m (x, y) 没(x, y),忒(x,y)丿在 UxV 内连续，又设f位o,Yo)(沁x,y) (xo,Yo)于 0,。-+则3(xo,Yo
12、) 的一个邻域 Uox Vo c U x V 以及唯一的连续函数p : UiVo, 满足f(x,O(x) = 0 (当x E Uo),叩o) = YO-1B)证用（盯(xo,Yo) )f(x,yjT 代替 f(x,yy1 0T, 可设盯-8y (xo,Yo) =0 1为恒等矩阵，其中考虑映射 T : cp -+ Tep,(Tcp)(x) = cp(x) - f(x,cp(x),第一章度最空间. 9.其中 O,C(万(xo,r),股m) 表示定义在闭球万仰O , r) 上取值于胶m 上的向噩值连续函数空间，其距离定义为“三百（气），r)p( 0, 使得lj 一 气气厂i,j = 1,2,m,xE
13、B(xo,6),yE万(Yo,6),盯(x,y) 在彻其中ij 表示括号内矩阵的第 i 行，第 j 列元素， 6ij = 0,i-/ j,如=1,i=j. 记di (x)=pi (x) -叭(x),i= 1,2,m, 根据微分中值定理xE万（气），r)p(Tp,T心） = max ldi (x)fi(x,p(x) + fi(x,心(x)I1 仁.;m= max:i:百工o,r) limdi (x) 区m 8fi(x,f(x) dj (x)8yjj=l(1.1.11)! max队(x)I = 1P(-P劝），2 :t: 尹沁o,r)lim其中 cp, 心E究，y(x) = (Y:心）加(x),
14、. .加(x), 这里叭x)E万(yo,o),xEB(xo,r),股m 加(xo) = Yo,私(x)=0i(x)cp(x) + (1 - 0i(x)心(x), 0 0i(x) 0, 使得2J玉万(:z:o,r)lim5因此当0 r min虹时，p(Tyo, Yo) -2 ,-1+ 1-5 1+ 1 5 = 5, cp E龙p(Tcp,Yo)-2 p(cp沿o)2此外，还有-522(Tcp)(xo) = cp(xo) - f(xo, cp(xo)=yo-! 仰o,Yo), cp E免所以 T: 龙一劣习题1.1.1 证明：完备空间的闭子集是一个完备的子空间，而任一度量空间中的完备子空间必是闭子
15、集f(x) =1= o.求证：存在岔的邻1.1.2 (Newton 法）设 f 是定义在 a, b 上的二次连续可微的实值函数，年E (a, b)使得八动= o,-一域U(动，使得 Vxo EU(动，迭代序列环+1 = Xn!(环）!(环）(n = 0, 1, 2,)第一章度量空间. 11.是收敛的，并且nl-imoo Xn =X.1.1.3 设（龙，p)是度量空间，映射T: 龙一勿满足p(Tx, Ty) p(x, y) (Vx # y),并已知T有不动点，求证：此不动点是唯一的 1.1.4设T是度量空间上的压缩映射，求证：T是连续的1.1.5 设T是压缩映射，求证：T九 伍 EN) 也是压缩
16、映射，并说明逆命题不一定成立1.1.6 设M是（即， p) 中的有界闭集映射T:M-.M满足：p(Tx, Ty) p(x, y)(Vx, y E M, x # y). 求证： T 在 M 中存在唯一的不动点1.1.7 对千积分方程。其中 y(t) E CO, 1) 为一给定函数，入为常数，囚 1, 求证：存在唯一解 x(t) E CO, l.2 完 备 化2在压缩映射原理（定理1.1.12)中，对空间（览，p) 的完备性要求一般来说是不能省略的这很容易从下例中看出大家知道函 数 T(x) 全宁TT 在 O, 1 上有定义，并且有唯一的不动点 xo =J一，百+1 然而若取劣= O, 叶杠o,
17、那么T仍然是免一死的压缩8映射，但它却不再有不动点因此在许多分析问题中，我们经常要求所在的空间览是完备的不过空间是否完备与其上的距f离紧密相连以Ca, b为例，当赋以另一距离P1 (x, y)全alx(t) - y(t)ldt(1.2.1)b12泛函分析讲义（第二版）（上）时 (Ca, b, P1) 就不是完备的（请读者自己验证）！以下我们将仿照实数理论中从有理数域出发定义无理数的方法，对空间（览，p) 增添 “理想元素” ，使之 扩充 为一个完备空间定义1.2.1 设（览，P), (!1, P1) 是两个度量空间，如果存在映射妇兜-+- %1 满足(1) p是满射，(2) p(x, y) =
18、 p认 0, :3z EE, 使得 p(x, z) c:. 换句话说 ;/x E觉，:3 环 CE, 使得 x九 -+ x (n-+ oo).例1.2.3 a, b 上的多项式全体记为 Pa, b. 根据 Weierstr邸s 定理可知 Pa, b在Ca, b 中稠密定义1.2.4 包含给定度量空间（变，p) 的最小的完备度量空间称为宽的完备化空间，其中最小的含义是：任何一个以（龙，p) 为子空间的完备度量空间都以此空间为子空间命题1.2.5 如果(%1 , P1) 是一个以 （劣，p) 为子空间的完备度量空间，P1I 无 x 兜= p, 并且劣在织中稠密，则距是死的第一章度量空间13完备化空
19、间一证事实上，灾 E 坏，3xn E 兜，使得 p1(Xn ,)0 (noo). 如果存在（疡， P2) 以（劣，p) 为子空间，因为P2(Xn , Xm) =Pl (xn, Xm)0 (n,m -4 oo),所以或E疫，使得 p2(xn, e) -+ 0. 做映射 T : .9t1 一劣2,T= f我们还要证T是等距的 因为 rfTJ E距，又3y 九 E览，使得P1(Y九， rJ) -+ 0, 所以毗 TJ)=吧如P1(x 九，y九） =j监 心(xn,Y九） =p认；对）这表明 (.21, P1) 是 (.22, P2) 的一个子空间定理1.2.6每一个度量空间都有一个完备化空间证设（宽
20、，p)是一个度噩空间，分三步证明它有一个完备化空间(1) 将览中的基本列分类，凡是满足九-tOOlim p(x九，Yn) = 0的两个基本列吓,y叶称为等价的彼此等价的基本列归于同一类且只归一类，称为等价类 我们把一个等价类看成是一个元素，并用无表示一切这种元素（等价类）组成的集合在织上定义距离：灾，r/ E织，任取吓Ee, y叶Er/, 令叭,r,)=nl皿p(x九，y社(1.2.2)容易验证 (1.2.2) 式右端的极限的确存在并且极限值与吓,y叶的选取无关（请读者自己验证） 为了验证 (1.2.2) 式定义的 P1 的确是个距离，注意到定义 1.1.1 中的 (1), (2) 是显然的，
21、而 (3) 可由p(x 九，Yn )p(X n 五） + p(zn , Yn)14泛函分析讲义（第二版）（上）取极限得到，其中 x叶，y吐 z社是分别属于等价类c罚,(的基本列 这样，我们就证明了 (!1, P1 ) 是一度量空间(2) Vx E龙，我们用 x E 织表示包含序列 (x, x, , x, ) 的等价类，这样的全体记为劣. 显然劣1 C .%1 且映射T: X t-4 ex 作为（劣，p) -t (兜,P1) 的映射满足定义 1.2.1 中的 (1), (2). 因此，（劣，p) 和 (!l, P1) 等距同构即有（宽，p) C (, P1)进一步容易验证度在织中稠密(3) 证明
22、 (.%1 , P1)是完备的设(T吁是无中的基本列要证玉E织，使得叭(n) 忑） -tO (n-too).1。先证特殊情形，假定 (n) C龙令环= r-1e伍），则巳是觉中的基本列设x叶E , 便有e伍）一e.20 再证一般情形，由于龙 在t(1中稠密，ven)E!Z1,3tn) E 宠，使得 P1(产，e(n) O, 存在基本列y叶，使得p(x九， Yn ) 0, 使得 AC B(xo,r), 其中B(xo, r) 全 x E 兜lp(x, xo) r.16泛函分析讲义（第二版）（上）在有穷维欧氏空间，有界无穷集必含有一个收敛子列，但这个性质例不能1.推3.广1环t(到在任C意O的, 1
23、度上星，空考间察点列)= t 0, NcM. 如果对于VxEM3y EN, 使得pxy)0, 都存在着M的一个有穷e网第一章度量空间17定理 1.3.8 (Hausdorff)为了（完备）度量空间（龙，p)中的集合M是列紧的必须（且仅须）M是完全有界集证必要性用反证法，若如0,M中没有有穷的c。网任取X1EM,3迈 EMB(x1 忑o);X寸x1,x2 EM,3x3 EMB(x1,co) UB(x2,co);对x1 ,X2, ,X叶EM,:3x叶1EM lJ B(x伈co);k=l这样产生的点列环 cM显然满足p(Xn , Xm)co(n =/= m), 它没有收敛的子列这与M的列紧性矛盾充分
24、性若吓是M中的无穷点列想找一个收敛子列对1网，3y1 EM妇的子列x切 C B(y记）；对1/2网，如EMx1 )的子列x2 ) C B(y2, 1/2);对l/k网，:3yk EM,x炉1)的子列婓 C B(yk , l/k);最后抽出对角线子列xk) , 它是一个基本列事实上，Ve 0, 当 n 2/c时，对Vp EN有p(xJ), X铲.)p(x-t;户， Yn ) + p(x扩.), Yn )-2 0, 并且 Vx E B(xo, 8(k = 1, 2, . , n).因此，B(xo,o) nM=0,从而M的余集是开集得证其次证M是列紧集用反证法假若有M中的点列环不含有收敛子列不妨假定 Xn 是互异的对每个n EN, 做集合s九 全 x1X2, 心-1X, 九十l,X九十2, . . 显然每个S