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1、vm en aNZ厌匣C底、丿r，。x（0000B。EH 1-1/),叫一：符号表一切，任一个存在，某一个几乎处处全体正整数全体整数全体实数n维Euclid空间全体复数数域实数或复数正无穷大或复平面上的无穷远点空集向量空间的零元素以x。为中心，以r为半径的开球集合E的内点全体对应到一对一嵌入右端是左端的定义存在唯一当且仅当蕴含证毕、述毕目录第一章度量空间.1 1 压缩映射原理.1 2完备化.113列紧集 154赋范线性空间 23 4.1 线性空间.2 34.2 线性空间上的距离 254.3 范数与Banach空间 304.4 赋范线性空间上的范数等价 354.5 应用：最佳逼近问题 394.6
2、 有穷维B*空间的刻画 424.7商空间 445 凸集与不动点 505.1 定义与基本性质.505.2 Brouwer与Schauder不动点定理 565.3 应用 596 内积空间 61 6.1 定义与基本性质.626.2 正交与正交基 686.3 正交化与Hilbert空间的同构 746.4 再论最佳逼近问题 76 6.5 应用：最小二乘法.80第二章线性算子与线性泛函.861 线性算子的概念 86 1.1 线性算子和线性泛函的定义.861.2 线性算子的连续性和有界性 88 11 泛函分析讲义（第二版）（上）2 Riesz表示定理及其应用 923纲与开映射定理.1023.1 纲与纲推理
3、102 3.2 开映射定理.1063.3 闭图像定理 112 3.4 共鸣定理.114 3.5 应用.116 4 Hahn-Banach定理.1224.1 线性泛函的延拓定理 122 4.2 几何形式凸集分离定理 130 4.3 应用.1375共扼空间、弱收敛、自反空间.1455.1 共辄空间的表示及应用.14 5 5.2 共辄算子.15 6 5.3 弱收敛及弱收敛 162 5.4 弱列紧性与弱列紧性.16 7 5了弱收敛的例子.173 6线性算子的谱.179 6.1 定义与例.179 6.2 Gelfand定理.183 6.3 例子.188 第三章123紧算子与Fredholm算子.193紧
4、算子的定义和基本性质.193 Riesz-Fredholm理论 202 紧算子的谱理论 212 3.1 紧算子的谱.212 3.2 不变子空间.214 3扩紧算子的结构.2164 Hilbert-Schmi dt定理 2215对椭圆型方程的应用.2316 Fredholm算子.235 目录.1.l.l 第四章广义函数与Sobolev空间.249 1 广义函数的概念.2521.1基本空间份(n).2521.2 广义函数的定义和基本性质 2551.3 广义函数的收敛性.2592 B。空间.2623广义函数的运算.2723.1 广义微商.2733.2 广义函数的乘法.2753.3 平移算子与反射算子
5、.2764 9上的Fourier变换 2785 Sobolev空间与嵌入定理 284习题补充提示.296索弓I.307第一章度量空间1 压缩映射原理度量空间(metric space)又称距离空间，是一种拓扑空间，其上的拓扑由指定的一个距离决定定义1.1.1设勿是一个非空集无叫作度量空间，是指在宽上定义了一个双变量的实值函数p(x,y),满足下列三个条件：(1)p(x,y)江，而且p(x,y)=0,当且仅当X=y;(2)p(x,y)=p(y,x);(3)p(x,z)p(x,y)+p(y,z)(/x,y,z E龙）这里p叫作劣上的一个距离，以p为度量的度量空间究记作（劣，p).注距离概念是欧氏空
6、间中两点间距离的抽象事实上，如果对妇=(x1,X2,Xn),Y=(Yi,Y2,.,如）E贮，令p(x,y)=也-y乎+(环-y平令(1.1.1)容易看到条件(1),(2),(3)都满足以后当说到欧氏空间时，我们始终用这个p规定其上的距离例1.1.2(空间Ca,b)区间a,b上的连续函数全体记为Ca,b,按距离p(x,y)兰合=max lx(t)-y(t)I(1.1.2)atb 形成度量空间(Ca,b,p),简记作Ca,b.以后当说到连续函数空间Ca,b时，我们始终用(1.1.2)式规定的p作为其上的距离，除非另外说明引进距离的目的是刻画收敛 2.泛函分析讲义（第二版）（上）定义1.1.3度量空
7、间（劣，p)上的点列吓叫作收敛到功是指：p(xn心o)-t O(n-too).这时记作业总环=Xo,或简单地记作环-tXo.注在Ca,b中点列xn收敛到x。是指：环(t)一致收敛到xo(t).与实数集合一样，对于一般的度量空间可引进闭集和完备性等概念定义1.1.4度量空间（龙，p)中的一个子集E称为闭集，是指：V巳 cE,若Xn-t Xo,则xoEE.定义1.1.5度量空间（劣，p)上的点列xn叫作基本列，是指：p(五环）一O(n,m-t oo).这也就是说vc 0,:3N(c),使得m,nN(c)今p(气压）0,:3N(c),使得对Vm,nN(c),有p(xm,环）总总户(t)-Xn(t)I
8、 c.因此对tit E a,b,lxm(t)-Xn(t)I O,Vxo E究，:38=8(xo,c)0,使得p(x,xo)8=r(Tx,Txo)0,使得Vn E N,:3x九，使得p(xn心o)0,:3N=N(8(xo,c),使得当nN时，有p(x九，xo)8.从而r(T环，Txo)c,即得业总r(Txn,Txo)=0.设中是股上定义的实函数，求方程扒x)=0 的根的问题可以看成胶一民的映射f位）工一cp(x)的不动点问题即求m已R满足：f位）=x.下列常微分方程的初值问题t=F(t,x),x(O)=e,(1.1.5)或它的等价形式，即求连续函数x(t)满足下列积分方程的问题：t x(t)=(
9、+f F(r,x(r)dr,(1.1.6)。.4.泛函分析讲义（第二版）（上）也可以看成是一个不动点问题为此，在以t=O为中心的某区间-h,h上考察度量空间C-h,h,并引入映射(Tx)(t)=+s:F(r,x(分）dr,(1.1.7)则(1.1.6)式等价于求C-h,h上的一个点x,使得x=Tx,即求T的不动点在度量空间上有一个很简单而基本的不动点定理一压缩映射原理定义1.1.10称T:(究，p)一（览，p)是一个压缩映射，如果存在0 a 1,使得p(Tx,Ty)ap(x,y)(/x,y E).例1.1.11设劣=0,1,T(x)是O,1上的一个可微函数，满足条件：以及T(x)E O,1(V
10、x E(0,1),(1.1.8)IT(x)Ia 1(Vx E O,1),(1.1.9)则映射T:劣一劣是一个压缩映射证p(Tx,Ty)=IT(x)-T(y)I=IT(Ox+(1-0)y)(x-y)I a杠-YI=ap(x,y)(Vx,y E龙，0 0 0,L 0,使得当It匡h,Ix广I8,lx2-I6时，有IF(t,x1)-F(t,x2)ILlx1-x叶，(1.1.10)这时就有p(Tx,Ty)Lhp(x,y)(fx,y E万亿，8),其中万(,6)会x(t)E C-h,hI max lx(t)-e,6.ltlh 在这里我们不能直接取C-h,h为定理1.1.12中的度量空间览，因为当Lh O
11、足够小，以使maxl(Tx)(t)I=maxjJ。F(T,x(T)dTI,;Mh,;8.由于(C-h,h,p)是一个完备的度量空间，而劣又是它的一个闭子集，因此(tc,p)还是一个完备的度量空间（习题1.1.1).于是我们得到了下面的定理定理1.1.14设函数F(t,x)在h,h X-8,+5上定义、连续并满足条件(1.1.10),则当h min6/M,1/L时，初值问题(1.1.5)在-h,h上存在唯一解例1.1.15(隐函数存在定理）设f(x,y)=(f1(x,y),fm位，y):贮x即飞汇，uXV C贮x汇是(xo,Yo)在.8.泛函分析讲义（第二版）（上）厌飞d沪中的一个邻域设f(x,
12、y)及句(x,y)oy I(x,y),盯1彻m(x,y)没(x,y),忒(x,y)丿在UxV内连续，又设f位o,Yo)=0,let(沁x,y)(xo,Yo)于0,则3(xo,Yo)的一个邻域Uox Vo c U x V以及唯一的连续函数p:Ui。-+Vo,满足 f(x,O(x)=0(当x E Uo),叩o)=YO 证用（盯(xo,Yo)-1By)f(x,yjT代替f(x,y)T,可设为恒等矩阵，其中1 0 盯-(xo,Yo)=8y 0 1 f(x,y汀=c:,:)考虑映射T:cp-+Tep,(Tcp)(x)=cp(x)-f(x,cp(x),第一章度最空间.9.其中 O,C(万(xo,r),股m
13、)表示定义在闭球万仰O,r)上取值于胶m上的向噩值连续函数空间，其距离定义为p(0,使得lj一气气厂i,j=1,2,m,x EB(xo,6),y E万(Yo,6),在其中ij表示括号内矩阵的第i行，第j列元素，6ij=0,i-/j,如=1,i=j.记di(x)=pi(x)-叭(x),i=1,2,m,根据微分中值定理p(Tp,T心）=max ldi(x)fi(x,p(x)+fi(x,心(x)IxE万（气），r)1 仁.;m=max:i:百工o,r)lim di(x)区m 8fi(x,fi(x)j=l 8yj dj(x)!max队(x)I=1P(-P劝），(1.1.11)2:t:尹沁o,r)lim
14、 其中cp,心E究，y(x)=(Y:心）加(x),.加(x),这里勿全伈EC(万他O,r),股m加(xo)=Yo,叭x)E万(yo,o),xE B(xo,r),私(x)=0i(x)cp(x)+(1-0i(x)心(x),0 0i(x)0,使得J max lfi(x,Yo)I -.玉万(:z:o,r)2 lim 因此当0 r min虹时，p(Tyo,Yo)-,5 2 1 1 1 1 p(Tcp,Yo)-p(cp沿o)+-5-5+-5=5,cp E龙2 2 2 2 此外，还有(Tcp)(xo)=cp(xo)-f(xo,cp(xo)=yo-!仰o,Yo),cp E免所以T:龙一劣 习题1.1.1 证明
15、：完备空间的闭子集是一个完备的子空间，而任一度量空间中的完备子空间必是闭子集1.1.2(Newton 法）设f是定义在 a,b 上的二次连续可微的实值函数，年E(a,b)使得八动=o,f(x)=1=o.求证：存在岔的邻域U(动，使得VxoEU(动，迭代序列!(环）环+1=Xn-一(n=0,1,2,)!(环）第一章度量空间是收敛的，并且lim Xn=X.n-oo1.1.3设（龙，p)是度量空间，映射T:龙一勿满足p(Tx,Ty)p(x,y)(Vx#y),并已知T有不动点，求证：此不动点是唯一的.11.1.1.4设T是度量空间上的压缩映射，求证：T是连续的1.1.5 设T是压缩映射，求证：T九伍E
16、N)也是压缩映射，并说明逆命题不一定成立1.1.6设M是（即，p)中的有界闭集映射T:M-.M满足：p(Tx,Ty)p(x,y)(Vx,y E M,x#y).求证：T在M中存在唯一的不动点1.1.7对千积分方程动寸e仁8x(s)ds=y(t),。其中y(t)E CO,1)为一给定函数，入为常数，囚1,求证：存在唯一解x(t)E CO,l.2完备化在压缩映射原理（定理1.1.12)中，对空间（览，p)的完备性要求一般来说是不能省略的这很容易从下例中看出大家知道函数T(x)全宁TT在O,1上有定义，并且有唯一的不动点xo=2 J百+1 一，然而若取劣=O,叶杠o,那么T仍然是免一死的8 压缩映射，
17、但它却不再有不动点因此在许多分析问题中，我们经常要求所在的空间览是完备的不过空间是否完备与其上的距离紧密相连以Ca,b为例，当赋以另一距离b P1(x,y)全flx(t)-y(t)ldta(1.2.1)12泛函分析讲义（第二版）（上）时(Ca,b,P1)就不是完备的（请读者自己验证）！以下我们将仿照实数理论中从有理数域出发定义无理数的方法，对空间（览，p)增添“理想元素”，使之扩充为一个完备空间定义1.2.1设（览，P),(!1,P1)是两个度量空间，如果存在映射妇兜-+-%1满足(1)p是满射，(2)p(x,y)=p认 0,:3z E E,使得p(x,z)c:.换句话说;/xE觉，:3环CE
18、,使得x九-+x(n-+oo).例1.2.3a,b上的多项式全体记为Pa,b.根据Weierstr邸s定理可知Pa,b在Ca,b中稠密定义1.2.4包含给定度量空间（变，p)的最小的完备度量空间称为宽的完备化空间，其中最小的含义是：任何一个以（龙，p)为子空间的完备度量空间都以此空间为子空间命题1.2.5如果(%1,P1)是一个以（劣，p)为子空间的完备度量空间，P1I无x兜=p,并且劣在织中稠密，则距是死的第一章度量空间13完备化空间证事实上，灾E坏，3xnE兜，使得p1(Xn,)0(noo).如果存在（疡，P2)以（劣，p)为子空间，因为P2(Xn,Xm)=Pl(xn,Xm)一0(n,m-
19、4 oo),所以或E疫，使得p2(xn,e)-+0.做映射T:.9t1一劣2,T=f我们还要证T是等距的因为rfTJE距，又3y九E览，使得P1(Y九，rJ)-+0,所以毗TJ)=吧如P1(x九，y九）=j监 心(xn,Y九）=p认；对）这表明(.21,P1)是(.22,P2)的一个子空间 定理1.2.6每一个度量空间都有一个完备化空间证设（宽，p)是一个度噩空间，分三步证明它有一个完备化空间(1)将览中的基本列分类，凡是满足lim p(x九，Yn)=0九-tOO的两个基本列吓,y叶称为等价的彼此等价的基本列归于同一类且只归一类，称为等价类 我们把一个等价类看成是一个元素，并用无表示一切这种元
20、素（等价类）组成的集合在织上定义距离：灾，r/E织，任取吓Ee,y叶Er/,令叭,r,)=nl皿p(x九，y社(1.2.2)容易验证(1.2.2)式右端的极限的确存在并且极限值与吓,y叶的选取无关（请读者自己验证）为了验证(1.2.2)式定义的P1的确是个距离，注意到定义1.1.1中的(1),(2)是显然的，而(3)可由p(x九，Yn)p(Xn五）+p(zn,Yn)14泛函分析讲义（第二版）（上）取极限得到，其中x叶，y吐z社是分别属于等价类c罚,(的基本列这样，我们就证明了(!1,P1)是一度量空间(2)Vx E龙，我们用xE织表示包含序列(x,x,x,)的等价类，这样的全体记为劣.显然劣1
21、C.%1且映射T:X t-4 ex作为（劣，p)-t(兜,P1)的映射满足定义1.2.1中的(1),(2).因此，（劣，p)和(!l,P1)等距同构即有（宽，p)C(,P1)进一步容易验证度在织中稠密(3)证明(.%1,P1)是完备的设(T吁是无中的基本列要证玉E织，使得叭(n)忑）-tO(n-too).1。先证特殊情形，假定(n)C龙令环=r-1e伍），则巳是觉中的基本列设x叶E,便有e伍）一e.20再证一般情形，由于龙在t(1中稠密，ven)E!Z1,3tn)E宠，使得P1(产，e(n)O,存在基本列y叶，使得求证：巳收敛p(x九，Yn)0,使得ACB(xo,r),其中B(xo,r)全xE
22、兜lp(x,xo)r.16泛函分析讲义（第二版）（上）在有穷维欧氏空间，有界无穷集必含有一个收敛子列，但这个性质不能推广到任意的度星空间例1.3.1在CO,1上，考察点列环(t)=0,t1/n,(n=1,2,.).1-nt,t 0,NcM.如果对于VxE M,3y EN,使得p(x,y)0,都存在着M的一个有穷e网第一章度量空间17定理1.3.8(Hausdorff)为了（完备）度量空间（龙，p)中的集合M是列紧的必须（且仅须）M是完全有界集证必要性用反证法，若如0,M中没有有穷的c。网任取X1E M,3迈EMB(x1忑o);X寸x1,x2 E M,3x3 E MB(x1,co)UB(x2,c
23、o);对x1,X2,X叶EM,:3x叶1EM lJ B(x伈co);k=l 这样产生的点列环 cM显然满足p(Xn,Xm)co(n=/=m),它没有收敛的子列这与M的列紧性矛盾充分性若吓是M中的无穷点列想找一个收敛子列对1网，3y1 EM妇的子列x切C B(y记）；对1/2网，如EM,x1)的子列x2)C B(y2,1/2);对l/k网，:3ykEM,x 炉1)的子列婓 C B(yk,l/k);最后抽出对角线子列xk),它是一个基本列事实上，Ve 0,当n 2/c时，对Vp EN有p(xJ),X铲.)p(x-t;户，Yn)+p(x扩.),Yn)2-0,并且Vx E B(xo,8(k=1,2,.
24、,n).因此，B(xo,o)nM=0,从而M的余集是开集得证其次证M是列紧集用反证法假若有M中的点列环不含有收敛子列不妨假定Xn是互异的对每个n EN,做集合s九全x1,X2,心-1,X九十l,X九十2,.显然每个Sn是闭集（因为不含收敛子列），从而每个劣品是开集但00 00 LJ(%品）=%n Sn=兜0=仁M,n=l n=l N由M的紧性，3N EN,使得LJ(Z品）:M,即得n=l 兜吓=N+l:)M,但这是不可能的，因为XN+l属于上式右端而不属于上式左端此矛盾说明M是列紧的第一章度釐空间19充分性设M是自列紧的，要在M的任一开覆盖中取出有限覆盖用反证法，如果某个开覆盖LJG入:)M不
25、能取出M的入EA有限覆盖由于M是自列紧的，VnEN,存在有穷的l/n网Nn=xln),xn),.,xt),显然LJB(y,1/n):=)M.因此，Vn E N,:lyn E N.九，使得B(Yn,1/n)yEN九不能被有限个G入所覆盖由假定M是自列紧集，必存在收敛子列y九K收敛到一点YoE伍。又G入。是开集，所以动 0,使得B(yo,6)C G.x0.对此6 0,取K足够大，使得nk 2压，并且p(y九kYo)6/2,则Vx E B(y九k,1/陨），有1 6 p(x,Yo)p(x,y九k)+p(y如Yo)五+2 0,使得jcp(x)I:s;M1(Vx E M,如EF);称F是等度连续的，如果
26、Ve 0,总可以找到8(c)0,使得lcp(x1)cp(x2)I(Vx1,x2 E M,p(x1,x2)0,要证玉=8(c),使得如EF有jp也）一cp(x2)I(当p(x1五）8).因为F的c/3网是一个有穷集N(纣3)=p1平2,.p叶，对这有穷个函数，由连续性，38=8(纣3),当p(x1,X刃 fl有|华1i(x1)-华)i(x2)I/3(i=1,2,.,n).因为扣EF三怀EN(c/3),使得d(cp心）纣3,所以lrp(x)rp(x)I 阳(x)-pi(x)I+lcpi(x)-Pi(x)I+lPi(x)-cp(x)I:s;2d(p心）陌(x)-怀(x)I(当p(x,x)0,使得当p
27、(x,x)8时，第一章度掀空间21仰(x)-cp(红c/3(如E F).就此8,选取空间M上的有穷6网N(o)=x1立2,.五做映射T:F一贮，T。全(p(x1),r.p(x2),r.p(xn)(/r.p E F).记F=T(F),则F是配中的有界集事实上，设回M1（如E F),则停亿）2)合,;vntP(x)1,;vn玑（如E F).从而户是列紧集，利用定理1.3.8,F有有穷的纣3网N作/3)=Tc.pi,Tcp2,T如从而红霆.严是F的e网，这是因为如E F,:3c.pi,使得Pn(Tc.p,T纠e/3,于是取定岱EN(8),使得p(x,岱）8有仰(x)-饬(x)IlP位）-c.p(xr
28、)I+jc.p(xr)-Pi(xr)I+lPi(xr)-Pi(X)I 2 -E+Pn(Tc.p,T纠,3 其中Pn表示页上的距离 例1.3.17设nc即是有界开凸集 若M1,M2是两个给定的正数，则集合F兰兰 p E 0C1百）llp(x)I M1,lgradc.p(x)I M:认Vx E il)是C(百）上的一个列紧集，其中0(1)(百）表示百上的连续可微函数全体证因为如E F,Vx1立2E互:30E(O,1),使得c.p(x1)-p(x2)=gradc.p(0 x1+(1-0)x2)(x1-x2),22泛函分析讲义（第二版）（上）所以lcp也）-0,存在A的列紧的e网1.3.2 在度量空间
29、中求证紧集上的连续函数必是有界的，并且达到它的上、下确界1.3.3 在度量空间中求证：完全有界的集合是有界的并通过考虑z2的子集E=e吐贮1,其中ek=O,0,0,1_,0,k来说明一个集合可以是有界但不完全有界的1.3.4设（龙，p)是度量空间，凡，凡是它的两个紧子集，求证：坛E且(i=l,2),使得p(F1,F2)=p(x1,x2),其中p(F1,F2)全infp(x,y)lx E F1,Y E F2.1.3.5 设M是 Ca,b 中的有界集，求证：集合 F(x)=J:J(t)dtjf EM 是列紧集1.3.6 设E=sinnt=l求证：E 在CO,兀中不是列紧的1.3.7 求证：S 空间
30、（定义见习题 1.2.1)的子集 A 列紧的充要条件是：Vn E N,3Cn 0,使得对Vx=(丘包,n,)E A,有阳Cn(n=l,2,).第一章度批空间231.3.8设(,p)是度量空间M是览中的列紧集，映射J:免._.M满足p(f也），f妇）p(气迈）(:/x1立2 E劣，X1f=X2).求证：J在龙中存在唯一的不动点1.3.9设(M,p)是一个紧度量空间，又Ec C(M),E中的函数一致有界并满足下列Holder条件：Ix伈）兀(t2)ICp(t1,t矿(Vx EE,Vt1,t2 EM),其中0 0.求证E在C(M)中是列紧集4 赋范线性空间上一节我们在度量空间上讨论了映射的不动点问题
31、然而度量空间只有拓扑结构，对千许多分析问题只考虑拓扑结构不考虑代数结构是不够用的，因为在分析中通常遇到的函数空间不但要考察收敛而且要考虑元素间的代数运算4.1线性空问在线性代数中，我们学过线性空间的概念定义1.4.1设龙是一个非空集，底是复（或实）数域如果下列条件满足，便称宽为一复（或实）线性空间：(1)劣是一加法交换群，即对Vx,y E:Z-,3u E宽，记作u=x+y,称u为x,y之和，适合(l.l)x+y=y+x;(1.2)(x+y)+z=x+(y+z);(1.3)存在唯一的0E劣，对Vx E龙，x+0=e+x;(1.4)对任意的咚穷，叫x1E兜，使得x+x=0,记此记为-x.24泛函分
32、析讲义（第二版）（上）(2)定义了数域K中的数a与XE龙的数乘运算，即V(a,x)E底x劣，:3u E劣，记作u=ax,称u为x对a的数乘，适合(2.1)a(如）（硕）x(Va,(3 EK,Vx E免）；(2.2)1X=x;(2.3)(a+(3)x=ax+知（西，(3E底，VxE究），a(x+y)=ax+ay(Vx,y E究，欢E区）线性空间的元素又称为向量，因而线性空间又称为向量空间下述概念是线性空间的基本概念线性同构设劣，距都是线性空间，T:兜-t!1称为是一个线性同构，如果(1)它既是单射又是满射，即它是一对一的并且是在上的；(2)T(ax+(3y)=aTx+(3Ty(Vx,y E宠，V
33、a,(3 EK).线性子空间设Ee劣，若E依兜上的加法与数乘还构成一个线性空间，则称E是无的一个线性子空间兜以及0都是觉的线性子空间，我们称它们为平凡的子空间，而称其他的子空间为真子空间线性流形设Ee览，若:3xo E劣及线性子空间Eo C劣，使得E=Eo+xo 全 x+xolx EE叶，则称E为线性流形 简单地说线性流形就是子空间对某个向量的平移线性相关一组向扯X1,X2,X产先称为是线性相关的，如果存在入1,泌，入nE氏不全为0,使得入1X1+入2X2十十入九Xn=O;否则称为是线性无关的线性基若A是克中的一个极大线性无关向量组，即A中的向量是线性无关的，而且任意的XE览都是A中的向揽的线
34、性组合，则称A是龙的一组线性基维数线性空间中的线性基的元素个数（势），称为维数第一章度虽空间25线性包设A是一个指标集，x入从EA是究中的向量族，一切由x入队EA的有穷线性组合组成的集合y=a1环+an环伈EA,ai E底，i=l,2,.,n 称为叫狂A的线性包这线性包是一个线性子空间，不难证明它是包含x入从EA的一切线性子空间的交因此称线性包为x.队EA张成的线性子空间，记为span X.从EA.线性和与直和设E1,E2是究的子空间，我们称集合x+ylx E止，yE乌为E1与E2的线性和记为胚+Ez.对于任意有限个子空间，定义以此类推又若(E1,乌）中的任意一对非零向量都是线性无关的，则称线
35、性和E1+E2为直和记作E国E2,这时E1n E2=0,对VxE E1 EB E2,有唯一的分解：X=X1+X2(Xi E Eii=1,2).心线性空间上的距离我们引进过一个空间宽的代数结构线性空间也引进过它的拓扑结构距离P,现在要把这两者结合起来，即是要求(1)距离的平移不变性p(X+zy+z)=p(Xy)(V Xyz E龙）由此推出，p对加法是连续的，即:=?年+Yn,X+y)-.0(n-.oo).26泛函分析讲义（第二版）（上）事实上，p(Xn+Yn,X+y)=p(Xn+Yn-X-y,0)=p(x九-x,y-y九）p(Xn-X,0)+p(y-Yn,0)=p(xn,x)+p(y,y九）-+
36、0(n-+oo).反之，如果距离p对加法连续，则满足平移不变性证明详见关肇直张恭庆、冯德兴著的线性泛函分析入门（上海科学技术出版社，1979).(2)数乘的连续性：(2.1)p(xn,x)-+0=今p(axn,ax)-+0(n-+oo)(Va E氐）；(2.2)an-ta佴）=p(anx,ax)-+0(n-+oo)(/x E劣）若令p:劣一股，p(x)全p(x,0)(/x E!),则由(1)有p(x-y)=p(x-y,0)=p(x,y).这时由距离公理逐条化为函数p的条件：p(x,y)0-=今p(x)0(/x,y E克）；p(x,y)=0,当且仅当X=y 汀心）=0,当且仅当x=0;p(x,y
37、)p(x,z)+p(z,y)p(x+y)p(x)+p(y);p(x,y)=p(y,x)今p(-x)=p(x).此外，(2.1)-0),便得到00 llx+yII=区1巳+y刓2n九=11+巳+Ynl00 1 分之了I叫+IYnl n=l 1+lxnl+IYnl t卢（卢勹nl+1勹nl)=llxll+IIYII-其次验证条件(4).因为还有初等不等式，9,g-a1 I BBa有0+1k E。v以所当a1,(30,当Oao,取 no,使得1/2九。纣2,固定住 no,取N=N(c/2),使得当mN时有I I I I Orn max Xi -,lin。2第一章度蜇空间则no llo:mxll=区1
38、lamxnl.沪1+!amX九I00 区上.la心nl2n 九=no+ll+lam立iI n=l e九01oo 1 cc 己分五产区沪勹勹=c.n=l九九o+l这就证明了S是一个F*空间最后再验证完备性若oo 1 lxm+p)-xm)Illx阮+P)-x0,取no,使得1/产N时有便得到lxm)-x;I c/2(n=1,2,no),oo(m)1 lxn-xIllx(m)-x*II=区九=12n1+lxm)-x:il no oo 分产-lxm)-x;I+1 2九区妒n=l n=no+l N),2 2 其中心（叶巧.,x记.).于是S是一个F空间 注由上面的推演不难看出：点列xm)=(xim),x
39、m),xm),)(m=1,2,)收敛于0=(0,0,0,)(当m-+oo),必须且仅须对每个正整数n都有吐)-+0(当moo).这意味着按S距离收敛与按坐标收敛是等价的30泛函分析讲义（第二版）（上）例1.4.8C(贮）空间表示即上一切连续函数全体，并令oo max lu(x)I 1 回廷曰汇2k1 max-1-k=I 回k其中u(x)E C(即），x=(五X2,环），团=可工召+x;.这时IIII是一个准范数，并且G(即）构成一个F空间4.3范数与Banach空问考察以上诸例还可以发现如下差异，例1.4.5和例1.4.6的准范数具有齐次性：llaxll=!alII叶(:/a E区:/xE免）
40、而例1.4.7和例1.4.8的准范数则不具有此性质具有齐次性的准范数叫作范数，有时又称为模定义1.4.9线性空间究上的范数IIII是一个非负值函数：兜.-+屈满足(1)l lxll0(:/x E免），llxll=0-:X=0(正定性）；(2)llx+YI!llxll+IIYII(:/x,Y E龙）（三角形不等式）；(3)llaxll=回llxll(Va E K,Vx E览）（齐次性）显然，范数必是准范数定义1.4.10当赋准范数的线性空间中的准范数是范数时，这空间叫作赋范线性空间，或称B*空间完备的B*空间叫作B空间或Banach空间除了上面的例1.4.5和例1.4.6外，我们再举一些经常遇到
41、的函数空间是B空间的例子例1.4.11空间L巩n,)(1p oo).设(n,勿，)是一个测度空间，u是n上的可测函数，而且lu(x)IP在0上是可积的这种函数u的全体记作盯(fl,),叫作(fl爰)上的p次可积函第一章度量空间31数空间.L叮fl,)按通常的加法与数乘规定运算，并且把几乎处处（记作a.e.)相等的两个函数看成是同一个向量，经这样处理过的空间L叮fl,)仍是一个线性空间，并且定义 曰=(f nlu(x)IPd)那么IIII是一个范数这是因为定义1.4.9中的条件(1),(3)都是显然的，而条件(2)正是著名的Mi nkowski不等式(J D lu(x)+v(x)IPd)p(J
42、0lu(x)IPd)令+(J nlv(x)心）令又由Riesz-F i sher定理L叮fl,)还是一个B空间注本例有两个重要的特殊情形：(1)l是贮中的一个可测集，而d即是普通的Lebesgue测度，这时，对应的空间记作E位）(2)fl=N,而测度是等分布的：(n)=l(in E N),这时00 空间L叮il,)由满足芷回尸00的序列u=u叶=1组成，对n=l 应的空间记作lP,其范数是llull=(t lunlp)例1.4.12空间00(fl,).设(fl,绍，)是一个测度空间，对于0是Cl-有限的，u位）是9上的可测函数如果u位）与9上的一个有界函数几乎处处相等，则称u(x)是Q上的一个
43、本性有界可测函数.2上的一切本性有界可测函数（把a.e.相等的两个函数视为同一个向量）的全体记作00(fl,),在其上规定：llull=in f(sup lu(x)I),(1.4.1)(Eo)=O xE叭阮Eocn 32泛函分析讲义（第二版）（上）此式右端有时也记作ess sup lu(x)I或1.u.b lu(x)I.显然L00(fl,)xEfl xEfl 是一个线性空间以下验证IIII是一个范数事实上，定义1.4.9中的条件(3)及llull0都是显然的，需验证；(1)II叶=0 江=0.充分性是显然的 为了证必要性，若曰=0,则VnE N,3En c il,使得(En)=0,并且1 su
44、p lu(x)I 0,3Eo,E1 c n,使得(Eo)=(E1)=0,且sup lu(x)Illull+e/2,于仁0厅。sup lv(x)Illvll+c/2.xEf1E1 因此llu+viisup lu(x)+v(x)I X已汃(EoUE1)sup lu(x)I+sup lv(x)I识泣E。“主趴!lull+llvll+c:,而cO是任意的，即得所要证的结论第一章度量空间33最后来证L00(D,)是完备的设llu九十p-unll-+O(当n-+oo,Vp E N).(1.4.2)根据 L00(n,)中范数定义，=lZ九，p C il,(Z九，p)=0,使得I Un+p(X)-Un(X)I
45、II匹+p-unll+声仅xE DZ心(1.4.3)令Z=LJZ九，p,则(Z)=0,且九，p1 I匹+p(x)-Un(x)III匹+p-unll+沪石(x E il Z,n,p EN).(1.4.4)由(1.4.2)式和(1.4.4)式Ve 0,3N EN,使Vn;:N,pEN有1 lun+p(x)-Un(x)I+严(xE il Z).(1.4.5)由此limu九位）=u(x)存在，x E nz,在(l.4.5)式中令p-t 00 n-too 即lu(x)-Un(x)IC(x E n Z),sup lu(x)-un(x)I.mCDIZ 因(Z)=0,所以uE L(X)也),且II匹ullc(
46、nN),即I阳-ull一0(n-too).注当Q是配中的一个可测集时，对应的空间记作L(X)(fl);当 fl=N时，对应的空间记作产，它是由一切有界序列u=厮=1 组成的空间，其范数是!lull=suplu叶nl 34泛函分析讲义（第二版）（上）例1.4.13C只百）设Q是贮中的一个有界连通开区域，k EN,用C只百）表示在n上具有直到k阶连续偏导数的函数u(x)=u(五五.心）的全体，加法与数乘按自然法则定义，再规定范数为llull=max max l8u(x)I,回k xE万(1.4.6)其中a=(a1心2,.,a吐回=a1十迈+十0九，以及alal 铲u(x)=斗rl彻2.彻宁u(x)
47、.(1.4.7)容易验证(1.4.6)式定义的IIII是一个范数，从而C怀百）是一个赋范线性空间再证它是完备的，从而是Banach空间事实上，若un是一个基本列则必存在连续函数Va,使得铲Un(x)匹(x)(n-+oo,回k,对XE百一致）我们只要再证明v矿铲v。就够了先证a(1.4.8)因为以及V(l,O,，0)=玩产(0,0,0)_,_ 彻1叫x)V(1,o,，o)(x)(n-+oo,对XE:百一致），un(x)V(o,o,.,o)(x)(n-+oo,对XE百一致），Un(x)=厂立厮亿，X2,.环）d+匹(x,x2,x九），x 灰所以有vco,o,.,o)(x)厂叨l,O,O)(,x2,
48、环）d(+vco,o,.,o)(x,x2,环），叶第一章度量空间即得(1.4.8)式 同理有8 V(o,0,0,1,Q,.,0)=切o,o,.,o)(j=2,3,n).-OXj 35其余对回用数学归纳法类推 例1.4.14Sobolev空间H叽P(fl).设0是配中的一个有界连通开区域m是一个非负整数，1p oo,对于C叫TI)中的任意u,代替范数(1.4.6)式定义*llullm,p=(。兰fi7u(x)IPdx).(1.4.9)不难验证11llm,p是范数，但C叫百）依IIllm,p不是完备的根据2,我们知道任意不完备的赋范线性空间览，可以把它完备化，即确定一个完备的赋范线性空间安，宽可以
49、连续地嵌入了成为其稠密的子空间将 cm(n)的子集S 兰全 u E Cm(D)l llullm,p 0,使得llxlliCllx伽(VxE龙）.(1.4.10)证充分性是显然的，下证必要性用反证法若(1.4.10)式不成立，则对:In E N,3xn E览，使得llxnl11 nllx九ll2-令Yn全环/llxnl11-一方面IIYnlli=1,另一方面因为1 0IIYn朊 0,使得C计lxll1llxll2C2llxll1(Vx E龙）如果线性空间觉的维数是有穷数n,则记dim宠=n,否则记为dim勿=00.设龙是一个赋范线性空间，并且设dim兜=n,这时穷存在一组基：e1,e2,e九任意
50、一个元素XE.有下列唯一的表示：兀=6e1+四+.十C砫n(1.4.11)利用这种表示，我们知道在代数同构意义下，两个有穷维线性空间等价的充要条件是它们有相同的维数 现在我们关心的是两个有穷维赋范线性空间，如果维数相同，那么它们的拓扑之间有什么关系？根据(1.4.11)式每个XE兜唯一地对应着贮空间中的一点=Tx全（心，心）自然希望建立x在究中的范数llxll第一章度量空间37与Tx在贮中的范数ITxl=lI全(t,比12fn 之间的关系为此，考察函数p亿）全臣江e;II戍E贮）首先p对c是一致连续的事实上，ef=(6,妇，心）和TJ=(T/1门2.如）E贮，由三角形不等式与 Schwarz