《2024届苏州高三上学期学业质量阳光指标调研卷数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024届苏州高三上学期学业质量阳光指标调研卷数学试题含答案.pdf（45页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、试卷第 1 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 苏州市 20232024 学年第一学期学业质量阳光指标调研卷 高三数学模拟试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共8小题，每小题小题，每小题5分，共分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1.已知集合2log1Axx=，2,2xBy yx=，则（）A.ABB=B.ABA=C.ABB=D.()ABR=R 2已知复数z满足i1 3iz=+（其中i是虚数单位），则z的虚部是（）A-1 B1 Ci Di 3已知()()1,3,2abx=，若()aba，则x=（）
2、A4 B23 C23 D-4 4已知,A B是一个随机试验中的两个事件，且()()()111,|234P AP BP A B=，则()|P B A=（）A56 B23 C13 D16 5已知公比不为 1 的等比数列 na的前n项和为*,nSm r tN，记p：,mrtSS S为等差数列；q：对任意自然数,m kr kt kk aaa+为等差数列，则p是q的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 6在平面直角坐标系xOy中，设,都是锐角，若,+的始边都与x轴的非负半轴重合，终边分别与圆221xy+=交于点()()()112233,x yxyxy，且满足213y
3、y x=，则当最大时，tan2的值为（）A2 B4 27 C22 D28 7已知抛物线2:4C yx=的焦点为F，直线1xmy=+与C交于A，B两点，与其准线交于点D，若AFFD=，则|BF=（）A13 B1 C43 D4 8已知函数()2e2xxf x=，过点(,)m n作()f x的切线l，若1nm=+（1n），则直线l的条数为（）A0 B1 C2 D3 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2
4、 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 试卷第 2 页，共 4 页 9已知一组样本数据12,nx xx为不全相等的n个正数，其中4n，若由()321,2,kkyxkn=生成一组新的数据12,ny yy，则这组新数据与原数据中可能相等的量有（）A极差 B平均数 C中位数 D标准差 10已知圆22:4O xy+=，过点()1,2P作两条互相垂直的弦,AB CD，则（）A弦AB长的最小值为 1 B四边形ACBD的面积的最大值为 5 C弦AC长的最大值为53+DABCD+的最大值为2 10 11关于函数()()22cos1(0,0)f xx=+有下列 4 个结论：函数()f x的最小正周期为；函数(
5、)f x的图象经过点50,2；函数()f x的图象关于点5,212对称；函数()f x的图象关于直线6x=对称 若这 4 个结论中恰有 3 个是正确的，则这 3 个结论的序号可以是（）A B C D 12下列物体，能够被半径为2m的球体完全容纳的有（）A所有棱长均为3m的四面体 B底面棱长为1m，高为3.6m的正六棱锥 C底面直径为1.6m，高为3.8cm的圆柱 D上下底面的边长分别为1m,2m，高为3m的正四棱台 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13251(1)(1)xx+的展开式的常数项为 14“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼
6、闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点()()1122,A x yB xy的“曼哈顿距离”为()1212,d A Bxxyy=+，已知动点N在圆229xy+=上，定点()3,4M，则,M N两点的“曼哈顿距离”的最大值为 .15定义在R上的可导函数()f x满足：()20f=；值域为1,1；对任意xR，有()()20f xf x+=及()()4fxfx=，请写出同时满足上述所有条件的一个函数解析式：()f x=.16已知双曲线C的离心率为e，左、右焦点分别为1F，2F，点M在C的左支上运动且不与顶点重合，记I为12MFF的内心，1221tantanIFFIF F=，若2,4e，则的
7、取值范围为 .四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 试卷第 3 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 17已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2 cosbcbA=(1)求证：2AB=；(2)若ABC的面积为15 7，且23ab=，求b 18已知数列 na满足113a=，3527a=，且数列3nna是等差数列.(1)求数列 na的通项公式；(2)求数列 na的前n项和nS.19如图所示，四边形 ABCD 为圆柱 ST的轴截面，点为圆弧 BC上一点（点 P 异于 B，C）
8、（1）证明：平面 PAB平面 PAC；（2）若26ABBPPC=，AMAC=（01），且二面角PBMC的余弦值为105，求的值 20某公司为激励员工，在年会活动中，该公司的()3n n 位员工通过摸球游戏抽奖，其游戏规则为：每位员工前面都有 1 个暗盒，第 1 个暗盒里有 3 个红球与 1 个白球.其余暗盒里都恰有 2 个红球与 1 个白球，这些球的形状大小都完全相同.第 1 位员工从第 1个暗盒里取出1 个球，并将这个球放入第 2个暗盒里，第2 位员工再从第 2 个暗盒里面取出 1 个球并放入第 3 个暗盒里，依次类推，第n1位员工再从第n1个暗盒里面取出 1 个球并放入第n个暗盒里.第n位
9、员工从第n个暗盒中取出 1 个球，游戏结束.若某员工取出的球为红球，则该员工获得奖金 1000 元，否则该员工获得奖金 500 元.设第()1iin 位员工获得奖金为iX元.(1)求21000X=的概率；(2)求iX的数学期望()iE X，并指出第几位员工获得奖金额的数学期望最大.21已知函数2()(1)exf xxax=+，aR(1)讨论()f x的单调性；(2)当1a 的离心率为3，且顶点到渐近线的距离为2 63.已知直线l过点()0,1，直线l与双曲线C的左，右两支的交点分别为,M N，直线l与双曲线C的渐近线的交点为,P Q，其中点Q在y轴的右侧.设,OMP OPQ OQN的面积分别是
10、123,S SS.(1)求双曲线C的方程；(2)求213SSS+的取值范围.24在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(0,1)和(0,1)，设ABM的面积为S，内切圆半径为r，当3Sr=时，记顶点M的轨迹为曲线C(1)求C的方程；(2)已知点E，F，P，Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A，记EF，PQ的斜率分别为1k，2k(i)设EF的中点为G，PQ的中点为H，证明：存在唯一常数，使得当12k k=时，OGOH；(ii)若1243kk=，当|EFPQ最大时，求四边形EPFQ的面积 答案第 1 页，共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 苏州市 20232024 学年第一学期学业质
11、量阳光指标调研卷 高三数学模拟试卷参考答案 1【答案】A【分析】根据对数函数的性质求出集合A，由指数函数的性质求出集合B，即可得到AB，即可得解.【详解】由2log1x，则22loglog 2x，所以02x，所以 2log102Axxxx=，又2,204xBy yxyy=，12124,4yym y y+=，所以21212()242xxm yym+=+=+，由AFFD=可得：112,3yxm=，所以23,Am，因为23,Am在2:4C yx=上，所以2412m=，解得：213m=，所以2122103423xxxm+=+=+=，所以213x=，由抛物线的定义可得：2413BFx=+=.故选：C.8
12、C【分析】先得到()2e2xxf x=在()0,1处的切线方程为1yx=+，点(,)m n一定不在()f x上，1yx=+一定为过(,)m n的一条切线，再设切点坐标为0200,e2xxx，00 x，得到切线方程，将(,1)m m+代入，化简得到()0020001 e12e1xxxxmx+=，00 x，构造函数，求导，得到其单调性，从而得到除1yx=+外，过点(,)m n作()f x的切线还有一条，得到答案.【详解】()exfxx=，令()exq xx=，则()e1xq x=，当0 x 时，()0qx，()q x单调递增，当0 x 时，()0qx恒成立，故()0020001 e12e1xxxx
13、mx+=，00 x，令()()21 e12e1xxxxw xx+=，0 x，则()()()()()()22ee11 e1e12e1xxxxxxxxxxw xx+=()()22e1e12e1xxxxxx=，令()2e12xxg xx=，则()e10 xgxx=在()(),00,+上恒成立，故()2e12xxg xx=在()(),0,0,+上单调递增，又()00g=，当0 x 时，()0g x，当0 x 时，()0g x 时，e10 x，0 x 时，10 xe 恒成立，()()21 e12e1xxxxw xx+=在()(),0,0,+上单调递增，答案第 5 页，共 24 页 学科网（北京）股份有限
14、公司 故()0020001 e12e1xxxxmx+=，00 x 只有 1 个根，即除1yx=+外，过点(,)m n作()f x的切线还有一条，共 2 条.故选：C【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点()()00,A xf x求斜率k,即求该点处的导数()0kfx=；(2)己知斜率k求切点()()11,A xf x即解方程()1fxk=；(3)已知切线过某点()()11,M xf x(不是切点)求切点,设出切点()()00,A xf x利用()()()10010f xf xkfxxx=求解.9BC【分析】利用极差的定义可判断 A；利用特殊值可判断
15、 BC；利用标准差的定义可判断 D.【详解】对于 A，因为样本数据12,nx xx为不全相等的n个正数，所以极差大于 0，所以由()321,2,kkyxkn=生成一组新的iy的极差是ix极差的 3 倍，故 A 错误；对于 B，设x为12,nx xx的平均数，y为12,ny yy的平均数，可得32yx=，当1x=时，可得1y=，故 B 正确；对于 C，当n为正奇数时，设样本数据12,nx xx的中位数为kx，则数据12,ny yy的中位数32kkyx=，当1kx=时，321kkyx=，故 C 正确；对于 D，1s为12,nx xx的标准差，因为样本数据12,nx xx为不全相等的n个正数，所以1
16、0s，设2s为12,ny yy的标准差，可得32yx=，则()()()222121nxxxxxxsn+=，()()()222122nyyyyyysn+=()()()2221219993nxxxxxxsn+=，故 D 错误.故选：BC.10BCD 答案第 6 页，共 24 页【分析】当ABPO时弦AB长的最小，计算结果判断 A 选项；O到AB的距离为1,d O到CD的距离2d，则22123dd，四边形ACBD的面积2212112 42 422SABCDdd=，利用基本不等式求最大值判断 B选项；()()222222222211212124484444ACPAPCddd ddddd=+=+利用配方
17、法和基本不等式求最大值判断 C 选项；22122 42 4ABCDdd+=+，利用基本不等式求最大值判断 D 选项.【详解】3PO=，当ABPO时，弦AB长的最小，最小值为2 432AB=，A 选项错误；O到AB的距离为1,d O到CD的距离2d，则22123dd，()2222222212121212112 42 42 1642 422SABCDddddd dd d=+=+222122 452dd+=，当且仅当1262dd=时等号成立，四边形ACBD的面积的最大值为 5，B 选项正确；22122 42 4ABCDdd+=+，()()()2222222221212121253248 164208
18、 4208402ABCDddddd dd d+=+=+=，当且仅当1262dd=时等号成立，则ABCD+的最大值为2 10，D 选项正确；222222122ABCDACPAPCdd=+=+222222111244ddABddd CDd=+218dABd CD=+，()222222121212dABd CDdABd dABCDd CD+=+()()222222211212124484444ddd ddddd=+()()()()2222222211121212114 34816441ddd dddd ddd=+答案第 7 页，共 24 页 学科网（北京）股份有限公司()24221112128 63
19、84ddd dd d=+()22222221211231584460242ddddd+，当且仅当1262dd=时等号成立，则2282 15(53)AC+=+，53AC+，C 选项正确.故选：BCD.11AB【分析】利用二倍角降幂公式结合余弦函数的图象与性质一一分析即可.【详解】()()()()212cos121 cos 221cos 2222f xxxx=+=+=+正确，则()()2,1,cos 2222f xx=+；正确，则1cos22=，因为0，则()20,2，则23=或53，则6=或56；正确，则5522,2,12262kkk+=+=+Z；正确，则11122,2,63kkk+=+=Z 若
20、正确，则51,6=，不成立，满足条件，A 要选；若正确，则1,6=，不成立，满足条件，B 要选；若正确，则521,1264nn+=Z不可能成立，C 不选.若正确，则()13 2152121,632773nnnnk+=+=Z 或121573nk+=，D 不可能，故选：AB.12ABD【分析】求出正四面体外接球的半径，将此半径与所给球的半径比较大小即可判断 A；可假设正六棱锥的外接球半径为 2m，底面棱长为 1m，求出此时正六棱锥的高，将求出的高与所给高进行比较可判断 B；求出底面直径为1.6m，高为3.8cm的圆柱外接球的半径可判断 C；求出上下底面的边长分别为1m,2m，外接球的半径为2cm正
21、四棱台的高可判断 D.【详解】对于 A，设所有棱长均为3m的四面体ABCD的外接球的球心为O，顶点在底面的射影为E，答案第 8 页，共 24 页 外接球的半径为mr，则2333m32=CE，22936m=AEACCE，因为222=+COCEOE，所以()2236rr=+，解得3 624=h，故 B 正确；对于 C，圆柱的底面半径为0.8m，高的一半为1.9m，设其外接球的半径为mR，所以220.81.94.252=+=R，故 C 错误；对于 D，正四棱台中，上底面的对角线长为2m，上底面外接圆的半径长为2m2，下底面的对角线长为2 2m，下底面外接圆的半径长为2m，易知外接球的球心在正四棱台的
22、上、下底面中心的连线上，且在上底面的下方，答案第 9 页，共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 设球心到上底面的距离为()m3dd，球的半径为mt，当球心在两底面之间时，球心到下底面的距离为()3md，则()()2222222232dtdt+=+=，解得1.75，则()()2222222232dtdt+=+=，解得1.75，过I作直线1MF，2MF，12FF的垂线，垂足分别为A，B，D，如图：因为I为12MFF的内心，由角平分线的性质可知|MAMB=，11|F AFD=，22|F DF B=，所以212211|2|MBF BMMFMFAF AF DFDa+=，因为12|2FFc=，所以1|
23、FDca=，2|F Dac=+，所以12122112|tan|121|tan|11|IDIFFFDF DcaeIDIF FFDcaeeF D+=+，显然关于e单调递减，由2,4e易知实数的取值范围为5,33.答案第 12 页，共 24 页 故答案为：5,33 17(1)证明见解析(2)8b=【分析】（1）方法一：利用余弦定理化角为边，再结合余弦定理及二倍角的余弦公式即可得解；方法二：利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式即可得解；（2）方法一：由（1）结合余弦定理及平方关系求出sinC，再根据三角形的面积公式即可得解.方法二：利用正弦定理结合（1）中结论求出sin B，
24、再根据2AB=求出sin A，根据三角形的面积公式即可得解.【详解】（1）证明：（方法一）由余弦定理，得222cos2bcaAbc+=，又2 cosbcbA=，22222bcacbbcb+=，22abbc=+，2222cos2222acbcbccbaBacacab+=，22222222cos22cos1212222aabbcbcbBBbbbb=，coscos2AB=，又,(0,)A B，2AB=；（方法二）由正弦定理，得sinsincos2sinCBAB，sin2cossinsinCABB=+，A，B，C为ABC的内角，ABC+=，sinsin()sincoscossinCABABAB=+=+
25、，sincoscossinsinABABB=，即sin()sinABB=，又,(0,)A B，2AB=；（2）（方法一）由（1）可知22abbc=+，23ab=，2232bbbc=+，即54cb=，答案第 13 页，共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 22222235924cos321622bbbabcCbabb+=，(0,)C，sin0C ，25 7sin1 cos16CC=，11 35 7sin15 722216ABCbSabCb=，8b=（方法二）由正弦定理，得sinsinabAB=，即2sincossinabBBB=，cos2aBb=，又23ab=，3cos4B=，27sin1
26、cos4BB=，21coscos22cos18ABB=，3 7sin8A=，5 7sinsin()sincoscossin16CABABAB=+=+=，11 35 7sin15 722216ABCbSabCb=，8b=18(1)213nnna=(2)113nnnS+=【分析】（1）由数列3nna是等差数列，结合等差数列性质计算即可得；（2）利用错位相减法求和即可得.【详解】（1）3nna是等差数列，记其公差为d，则有33152713327222aad=，()312121nnann=+=，213nnna=；（2）231135232133333nnnnnS=+，答案第 14 页，共 24 页 则2
27、311113252321333333nnnnnnnS+=+，则1231121193212222112113333333313nnnnnnnS+=+=+122233nn+=，113nnnS+=.19【答案】（1）证明见解析 （2）23=【解析】【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角及线面垂直的性质得出：PCPB，ABPC；再根据线面垂直的判定定理证得：PC平面 PAB；最后根据面面垂直的判定定理即可证明.（2）先建立空间直角坐标系，写出点的坐标，依据向量共线求出点()000,M xy z；再求出平面 PBM 与平面 BMC的法向量；最后根据面面所成角的向量计算方法即可求解.【小问 1 详解】
28、证明：P为圆弧 BC上一点，BC为圆 S 直径，PCPB，在圆柱 ST中，AB平面 BCP，PC 平面 BCP，ABPC，PBABB=，PB 平面 PAB，AB平面 PAB，PC 平面 PAB，PC 平面 PAC，平面PAB 平面 PAC【小问 2 详解】以点B为坐标原点，BC、AB所在直线分别为y轴、z轴，在平面BCP以过点B且垂直于BC的直线为x轴、建立空间直角坐标系，如图所示：因为26ABBPPC=，答案第 15 页，共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 则2222633 5BCBPCP=+=+=，31sin3 55PBC=.所以()0,0,0B，()0,0,6A，()0,3 5,0
29、C，()6,6sincos,0PBCPPBC，即612,055P 设()000,M xy z，由AMAC=得：()()000,60,3 5,6xyz=，即00003 566xyz=，612,055BP=，()0,3 5,66BM=.设平面 PBM的一个法向量()1111,nx y z=，()11116120553 5660 xyyz+=+=，令11y=，得()152,1,2 1n=.x轴平面 BMC，平面 BMC的一个法向量()21,0,0n=，()1221222105554 1n nn n=+，解得：23=【分析】（1）首先要理解21000X=包含两类情况，分别运用独立事件的概率乘法公式计算
30、即得；（2）弄清第1i 位员工取出红球的概率1iP+与第i位员工取出红球的概率iP的关系式，从而构建一个等比数列23iP，求出其通项，列出分布列，计算数学期望即得.【详解】（1）21000X=的情形为第 2 位员工从第 2 个盒子中摸出红球，包括两种情况：第 1 位员工从从第 1 个盒子中摸出红球放入第 2 个盒子后第 2 位员工摸出红球；第 1 位员工从从第 1 个盒子中摸出白球放入第 2 个盒子后第 2 位员工摸出红球.故21000X=的概率为：2331111(1000)444216P X=+=.（2）设第i位员工取出红球的概率为.iP则有()1311114242iiiiPPPP+=+=+
31、,答案第 16 页，共 24 页 即：1212343iiPP+=，且11321,04312PP=故23iP组成首项为112，公比为14的等比数列.121111,312 434iiiP=即211334iiP=+第i位员工取出白球的概率为11 1133 4iiP=.易知X的所有可能取值为1000,500,则X的分布列如下：iX 1000 500 P 211334i+111334i()2111111000()500334334iiiE X=+4211115001500500533433434iii=+=+显然()iE X关于i单调递减，第 1 位员工获得奖金额的数学期望最大.【点睛】关键点点睛：本题
32、主要考查独立事件的概率乘法公式和随机变量的分布列和数学期望.其中在求解()iE X时，关键在于要推理分析出第1i 位员工取出红球的概率1iP+与第i位员工取出红球的概率iP的关系式，再借助于数列递推式推导出iP的通项公式，为后续列出分布列，求数学期望奠定基础.21(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）求得()e2(e2)xxfxxaxxa=+=+，分类讨论0a，12a ，12a=和102a，则,()0 x+时，()0fx，()f x单调递增；(,0)x 时，()0fx，()f x单调递减；答案第 17 页，共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 0a 时，令()0fx=，得0 x=
33、或ln(2)xa=，若12a，()f x单调递增；(0,ln(2)xa时，()0fx，()f x单调递减；若12a=，则()0fx在R上恒成立，()f x在R上单调递增；若102a，()f x单调递增；(ln(2),0)xa时，()0fx，()f x单调递减 综上，当0a 时，()f x在(0,)+上单调递增，在(,0)上单调递减；当12a 时，()f x在(,0)，(ln(2),)a+上单调递增，在(0,ln(2)a上单调递减；当12a=时，()f x在R上单调递增；当102a时，()f x在(,ln(2)a，(0,)+上单调递增，在(ln(2),0)a上单调递减.（2）由(1)知，1a 时
34、，()f x在(,0)，(ln(2),)a+上单调递增；在(0,ln(2)a上单调递减，则()f x的极小值点为0ln(2)xa=，由极大值(0)10f=，(1)0fa=，满足12111()(1)e0 xf xxax=+=，化简得，12112(1)e2xxax=，111ln(22)ln(2)2lnxxax+=+，即111ln(2)ln(22)2lnaxxx=+，10111ln(2)2lnln(22)xxxaxx=，设()2lnln(22)g xxx=，1x，212()11)gxxxxxx=，当(2,)x+时，()0g x，()g x单调递增，(1,2)x时，()0g x，()g x单调递减，从
35、而当2x=时，()g x有最小值(2)ln2g=，综上所述，()f x存在唯一的零点1x，且10ln2xx【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形 答案第 18 页，共 24 页 结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x=分离变量得出()ag x=，将问题等价转化为直线ya=与函数()yg x=的图象的交点问题.22(1)
36、0,e(2)答案见解析 【分析】（1）依题需使()0fx在R上恒成立，接着对k的取值分类讨论，确保条件满足即得k的取值范围；（2）借助于一阶、二阶导数，就k的取值范围分类进行分析、讨论函数()f x的零点情况.【详解】（1）因()f x为R上的单调增函数，故()e10 xfxkx=+对x R恒成立，当0k=时，显然符合；当0k 时，令()()()e1,1 e,xxg xkxgxk x=+=+则当1x 时，()0g x 时，()0g x，故()g x在(),1 上递减，在()1,+上递增，则()min()11ekg xg=+，依题意，需使10ek+，即ek，故得：0ek时，若0 x，则()()0
37、,f xf x时，()()0,fxf x递增，注意到()00,fk=由零点存在定理，()f x在()0,1上有唯一的零点；当0k 时，令()01,fxx=当1x，当1x 时，()0fx时，()fx递减，注意到()11010,e10kffk=+，则()fx在10,k上有唯一的零点0 x，且当0 xx递增；当0 xx时，()0fx，()f x递减，注意到()()()11111 e10,00,1e10kkf kkkfkfkk=+=+，fx在(),0k和10,1k上各有一个零点12,x x 综上：当0k 的一条渐近线方程为0bxay=，离心率为3，则3ca=，顶点到渐近线的距离为2 63，不妨取顶点(
38、,0)a，则222 63abab=+，即得2 63abc=，故2 2b=，结合222+=abc，解得24a=答案第 20 页，共 24 页 故双曲线C的方程为22148xy=；（2）由题意得213|SPQSSPMQN=+，直线 l的斜率存在，设直线l的方程为1ykx=，设()()1122,M x yN xy，由22128ykxxy=，得()222290kxkx+=，则()22222436 20902kkkk=+，即得22k，则2221,22PQPQxxx xkkk+=,得22222 21()412PQPQPQkxxx xkk=+=+，故213|1|1|SPQPQMNSSPMQNMNPQPQ=+
39、，而22k，由椭圆定义可解；(2)(i)（法一）由直线EF的方程为11yk x=+，与椭圆方程联立，根据根与系数的关系可得122113434 3)4(,Gkkk+，同理可得222223434 3)4(,Hkkk+，又利用向量数量积运算1222129160(34)(34)OGkkOkkH+=，求出169=;（法二）设11(,)E x y，22(,)F xy，00(,)G xy，由点差法得143OGkk=，则143OGkk=，同理243OHkk=，欲使OGOH，则1OGOHkk=，求得 12169k k=；(ii)由弦长公式可得124|434EFk=+，224|434PQk=+，1243kk=，则
40、222234|=|4334EFPQkk+，利用换元法和基本不等式知21k=时取最大值，不妨设此时21k=，143k=，直线EF和PQ的夹角为，则1tan7=，从而2sin10=，再由弦长公式求出|PQ、|EF，即可求解.【详解】（1）由题意得1(|)32ABMAMBrr+=，易知|4|MAMBAB+=，由椭圆定义可知，动点M在以A，B为焦点，且长轴长为4的椭圆上，又M不能在直线AB上，C的方程为：22143yx+=(0)x （2）(2)(i)（法一）设11(,)E x y，22(,)F xy，00(,)G xy，易知直线EF的方程为11yk x=+，联立2211431yxyk x+=+，得22
41、11(34)690kxk x+=，11221634kxxk+=+，1122013342xxxkk+=+，002114143ykk x=+，即122113434 3)4(,Gkkk+，答案第 22 页，共 24 页 同理可得，222223434 3)4(,Hkkk+，122212916(34)(34)OOk kGHkk+=，欲使OGOH，则0OG OH=，即129169160k k+=+=，169=，存在唯一常数169=，使得当12169k k=时，OGOH（法二）设11(,)E x y，22(,)F xy，00(,)G xy，易知EF的斜率1k不为零，否则G与A重合，欲使OGOH，则H将在x轴
42、上，又H为PQ的中点，则PQx轴，这与PQ过A矛盾，故10k，同理有20k，则22112222143143yxyx+=+=，可得1212121243yyyyxxxx+=+，易知120=2xxx+，120=2yyy+，且121212120022OGykyyyyxxxxx=+=+，21121yykxx=，143OGkk=，即143OGkk=，同理可得，243OHkk=，欲使OGOH，则1OGOHkk=，1244()()133kk=，12169k k=，存在唯一常数169=，使得当12169k k=时，OGOH (ii)由(i)易知11221634kxxk+=+，且1221934x xk=+，112
43、112121222221213636(34)4|1143434()4kxxxkkEFkxkk+=+=+，答案第 23 页，共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 即124|434EFk=+，同理可得，224|434PQk=+，1243kk=，212222224434|=|=|34344334EFPQkkkk+，记220kt=，347771|124334(43)(34)1222571225tEFPQtttttt=+，当且仅当1t=，即21k=时取等，由椭圆的对称性，不妨设此时21k=，143k=，且直线EF和PQ的夹角为，则4113tan47113=+，不难求得2sin10=，此时，易知224
44、24|4347PQk=+，且12425|4347EFk=+，四边形EPFQ的面积为112425230 2|sin22771049PQ EF=【点睛】方法点睛：1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122xyxy，；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12x x（或12yy+、12y y）的形式；（5）代入韦达定理求解.2.中点弦问题 常用“点差法”，即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有12xx+，答
45、案第 24 页，共 24 页 12yy+，1212yyxx三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.同时设点设线联立化解韦达判别也可充分的破解中点问题.答案第 1 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 苏州市 20232024 学年第一学期学业质量阳光指标调研卷 高三数学模拟试卷参考答案 1【答案】A【分析】根据对数函数的性质求出集合A，由指数函数的性质求出集合B，即可得到AB，即可得解.【详解】由2log1x，则22loglog 2x，所以02x，所以 2log102Axxxx=，又2,204xBy yxyy=，12124,4yym y y+=，所以21
46、212()242xxm yym+=+=+，由AFFD=可得：112,3yxm=，所以23,Am，因为23,Am在2:4C yx=上，所以2412m=，解得：213m=，所以2122103423xxxm+=+=+=，所以213x=，由抛物线的定义可得：2413BFx=+=.故选：C.8C【分析】先得到()2e2xxf x=在()0,1处的切线方程为1yx=+，点(,)m n一定不在()f x上，1yx=+一定为过(,)m n的一条切线，再设切点坐标为0200,e2xxx，00 x，得到切线方程，将(,1)m m+代入，化简得到()0020001 e12e1xxxxmx+=，00 x，构造函数，求
47、导，得到其单调性，从而得到除1yx=+外，过点(,)m n作()f x的切线还有一条，得到答案.【详解】()exfxx=，令()exq xx=，则()e1xq x=，当0 x 时，()0qx，()q x单调递增，当0 x 时，()0qx恒成立，故()0020001 e12e1xxxxmx+=，00 x，令()()21 e12e1xxxxw xx+=，0 x，则()()()()()()22ee11 e1e12e1xxxxxxxxxxw xx+=()()22e1e12e1xxxxxx=，令()2e12xxg xx=，则()e10 xgxx=在()(),00,+上恒成立，故()2e12xxg xx=
48、在()(),0,0,+上单调递增，又()00g=，当0 x 时，()0g x，当0 x 时，()0g x 时，e10 x，0 x 时，10 xe 恒成立，()()21 e12e1xxxxw xx+=在()(),0,0,+上单调递增，故()0020001 e12e1xxxxmx+=，00 x 只有1个根，即除1yx=+外，过点(,)m n作()f x的切线还有一条，共2条.()()()10010f xf xkfxxx=求解.9BC【详解】对于 A，因为样本数据12,nx xx为不全相等的n个正数，所以极差大于 0，所以由()321,2,kkyxkn=生成一组新的iy的极差是ix极差的 3 倍，故
49、 A 错误；对于 B，设x为12,nx xx的平均数，y为12,ny yy的平均数，可得32yx=，答案第 4 页，共 17 页 当1x=时，可得1y=，故 B 正确；对于 C，当n为正奇数时，设样本数据12,nx xx的中位数为kx，则数据12,ny yy的中位数32kkyx=，当1kx=时，321kkyx=，故 C 正确；对于 D，1s为12,nx xx的标准差，因为样本数据12,nx xx为不全相等的n个正数，所以10s，设2s为12,ny yy的标准差，可得32yx=，则()()()222121nxxxxxxsn+=，()()()222122nyyyyyysn+=()()()22212
50、19993nxxxxxxsn+=，故 D 错误.故选：BC.10BCD【分析】当ABPO时弦AB长的最小，计算结果判断 A 选项；O到AB的距离为1,d O到CD的距离2d，则22123dd，四边形ACBD的面积2212112 42 422SABCDdd=，利用基本不等式求最大值判断 B 选项；()()222222222211212124484444ACPAPCddd ddddd=+=+利用配方法和基本不等式求最大值判断 C 选项；22122 42 4ABCDdd+=+，利用基本不等式求最大值判断 D 选项.【详解】3PO=，当ABPO时，弦AB长的最小，最小值为2 432AB=，A 选项错误