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1、模块综合检测一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在等差数列an中，a11，a8a1010，则a5()A2 B3 C4 D52函数f(x)exx(e2.718 28)的最小值是()A1 B0 C1 D23(2022年江西期末)在等比数列an中，a5a6a73，a6a7a824，则a7a8a9的值为()A48 B72 C144 D1924曲线y2cos xsin x在(，2)处的切线方程为()Axy20 Bxy20 Cxy20 Dxy205贯彻二十大精神，谱写高质量发展新篇章，随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能
2、化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2022年底，我国已累计开通5G基站超230万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2023年1月新建设5万个5G基站，计划以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通650万个5G基站时要到()A2024年12月 B2025年1月C2025年2月 D2025年4月6(2022年宁波开学考试)设定义在(0，)的函数f(x)的导函数为f(x)，且满足，则关于x的不等式f(x3)f(3)0的解集为()A(3，6) B(0，3)C(0，
3、6) D(6，)7已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn1Sn2an1，数列的前n项和为Tn，nN*，则下列结论错误的是()Aan1是等比数列 BTn1Can12n+11 DTn18(2022年合肥三模)若关于x的不等式(a2)xx2a ln x在区间(e为自然对数的底数)上有实数解，则实数a的最大值是()A1 BC D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9(2022年平和月考)设等比数列an的前n项和为Sn，若8a2a50，则下列式子中数值为常数的是()ABCD10(2021年北京模拟)函
4、数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图，以下命题错误的是()Ax3是函数yf(x)的极值点Bx1是函数yf(x)的最小值点Cyf(x)在区间(3，1)上单调递增Dyf(x)在x0处切线的斜率小于零11(2022年山东模拟)设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题正确的是()A若d0，则数列Sn有最大项B若数列Sn有最大项，则d0，则数列Sn是递增数列D若数列Sn是递增数列，则对任意nN*，均有Sn0【12(2023年衡水期末)下列不等式成立的是()A2ln ln 2 Bln ln C5ln 4eln 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13设等差数列an的前
5、n项和为Sn，若a3a9m2a4，S936，则m_14(2022年山东月考)函数f(x)ex(sin xcos x)在区间上的值域为_15已知函数f(x)x3ax2ax1(a1)在不同的两点P1(t1，f(t1)，P2(t2，f(t2)处的切线的斜率相等，若不等式f(t1t2)m0(mR)恒成立，则实数m的取值范围是_16已知an是等差数列，anbn是公比为c的等比数列，a11，b10，a35，则数列an的前10项和为_，数列bn的前10项和为_(用c表示).四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)在a1，a21，a3是公差为3的等差数列；满足a5
6、a62a7，且a6这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答已知各项均为正数的数列an是等比数列，并且_(1)求数列an的通项公式；(2)设bna2n，记Sn为数列bn的前n项和，求证：Sn0，若当x(0，e时，g(x)的最小值是3，求实数a的值(e是自然对数的底数).21(12分)已知数列an满足：a11，an1.(1)求证：为等差数列(2)若数列bn中的前n项和Sn2，求数列bn的通项公式(3)在(2)的条件下，数列满足cn(1)n(nN*)，是否存在正整数m，使对任意nN*都有cncm？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由22(12分)(2023年广西模拟)已知函数f(x)(ax2
7、)ex.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a1，当x0时，f(x)k(x22x1)恒成立，求实数k的取值范围答案1【答案】B【解析】由等差数列的性质可得a95，则a53.【答案】C【解析】因为f(x)exx，所以f(x)ex1.f(x)0，得x0.当x0时，f(x)0时，f(x)0，f(x)单调递增所以当x0时，f(x)有最小值f(0)e001.2【答案】D【解析】由a5a6a73，得a633，由a6a7a824，得a7324，所以q38，所以a7a8a9a6a7a8q3248192.故选D.3【答案】B【解析】y2sin xcos x，当x时，y2sin cos 1，所以在点(，2)处
8、的切线方程为y21(x)，即xy20.4【答案】B【解析】每个月开通5G基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通650万个5G基站需要n个月，则2305n1650，化简得n29n8400，解得n24.83或n33.83(舍去)，所以预计我国累计开通650万个5G基站需要25个月，也就是到2025年1月5【答案】A【解析】f(x3)f(3)0，(x3)3f(x3)27f(3)0，(x3)3f(x3)27f(3).定义在(0，)的函数f(x)，3x，令g(x)x3f(x)，不等式(x3)3f(x3)27f(3)可化为g(x3)，xf(x)3f(x)，xf(x)3f(x)0，x
9、3f(x)3x2f(x)0，即g(x)0，g(x)单调递增由g(x3)g(3)，可得x33.3x，3x6.故选A.6【答案】B【解析】由Sn1Sn2an1，可得an1Sn1Sn2an1，可化为an112(an1)，又S1a11，an1是首项为2，公比为2的等比数列，A正确；an12n，即an2n1，即an12n+11，C正确；，Tn1110，即Tn1，D正确；Tn11，B错误7【答案】D【解析】(a2)xx2a ln x可变形为a(xln x)x22x，由x，得xln x0，不等式可化为a.设f(x)，x，则f(x).令g(x)x2(1ln x)，则g(x).令g(x)0，则x2.当x2时，g
10、(x)0，g(x)单调递增g(x)的最小值为g(2)42ln 2ln e4ln 40.当1xe时，f(x)0，f(x)在1，e上单调递增；当x1时，f(x)0，ff，f(x)maxf(e)，则a，即实数a的最大值是.【答案】ABC【解析】因为在等比数列an中，8a2a50，设公比为q，所以8a2a2q30，且a20，故q38，解得q2，所以4，q2，Sn，所以，.故选ABC.8【答案】BD【解析】根据导函数的图象可知，当x(，3)时，f(x)0，当x(3，1)时，f(x)0，所以函数yf(x)在(，3)上单调递减，在(3，1)上单调递增，C正确x3是函数yf(x)的极值点，A正确因为函数yf(
11、x)在(3，1)上单调递增，所以x1不是函数的最小值点，B错误因为函数yf(x)在x0处的导数大于0，所以yf(x)在x0处切线的斜率大于0，D错误9答案】ABC【解析】由等差数列的求和公式可得Snna1dn2n.选项A，若d0，由二次函数的性质可得数列Sn有最大项，故正确；选项B，若数列Sn有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d0，对应抛物线开口向上，d0，可得数列Sn是递增数列，故正确；选项D，若数列Sn是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意nN*，均有Sn0，故错误10【答案】AD【解析】设f(x)(x0)，则f(x)，所以当0x0，函数f(x)单调递增；当xe时，f(x)0，
12、函数f(x)单调递减因为2e，所以ff(2)，即2ln ln 2，故A正确因为e，所以f()ln ，故B不正确因为e4f(5)，即5ln 44ln 5，故C不正确因为ef()，即eln ，故D正确11【答案】16【解析】因为an为等差数列，所以a3a92a6，又因为a3a9m2a4，所以2(a4a6)m，即4a5m.又因为S99a536，所以a54，则m4a516.12【答案】【解析】f(x)ex(sin xcos x)ex(cos xsin x)ex cos x，当x时，f(x)0，故f(x)为增函数，所以f(x)maxfe，f(x)minf(0)，所以f(x)的值域为.13【答案】1，)【
13、解析】由题得f(x)x22axa(a1)，由已知得t1，t2为x22axac(c为常数)的两个不相等实数根，t1t22a.f(t1t2)m0恒成立，mf(2a)(a1)恒成立令g(a)f(2a)a32a21(a1)，则g(a)4a24a4a(a1).当a(，0)时，g(a)0.g(a)在(，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，g(a)ming(0)1，m1，m1.故实数m的取值范围是1，).14【答案】100【解析】因为an是等差数列，设公差为d，a11，a35，所以a3a12d4，解得d2，所以an12(n1)2n1，所以S101012100.因为anbn是公比为c(c0)的等比数列，且
14、a1b11，所以anbncn-1，故bncn-12n1，当c1时，T1090，当c1时，T10(1cc2c9)(13519)100.综上，T1015(1)解：设等比数列的公比为q(q0)，若选择条件，因为a1，a21，a3是公差为3的等差数列，所以即解得所以ana1qn-1824-n.若选择条件，由a5a62a7，可得a1q4a1q52a1q6.因为a10，所以2q2q10，解得q或q1(舍去)，又因为a6，所以ana1qn-1a6qn-624-n.(2)证明：由(1)可知an24-n，所以bna2n24-2n，所以，所以数列是以b1a24为首项，为公比的等比数列，所以Sn0时，x，当f(x)
15、0时，0x，所以f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.(3)因为g(x)f(x)(a2)xaxln x，所以g(x)a.当e，即0a时，g(x)0，所以g(x)在(0，e上单调递减，所以g(x)ming(e)ae13，解得a(舍去)；当0时，若0x，则g(x)0，若x0，所以g(x)ming1ln a3，解得ae2，满足条件综上，实数a的值是e2.19(1)证明：a11，an1，1，是以1为首项，1为公差的等差数列(2)解：由(1)得1(n1)1n，an，Sn2()n，所以当n1时，b1S1，当n2时，bnSnSn1()n()n-1，所以bn(3)解：cn(1)n当n为偶数，且大于2时，c
16、n为负数；当n等于2时，cn为零；当n为奇数，且大于2时，cn为正数，此时cn，cn2cn.因此当n3时，c5c3；当n5，且n为奇数时，cn2cn，cnc5，即存在正整数m5，使对任意nN*，都有cncm.20解：(1)f(x)aex(ax2)ex(axa2)ex，当a0时，f(x)2ex0在(，)内恒成立，所以函数f(x)在(，)内单调递减；当a0时，若x0，若x，则f(x)0时，若x，则f(x)，则f(x)0，所以函数f(x)在内单调递减，在内单调递增综上，当a0时，函数f(x)在(，)内单调递减；当a0时，函数f(x)在内单调递减，在内单调递增(2)设h(x)f(x)k(x22x1)(x2)exk(x22x1)，问题转化为当x0时，h(x)0恒成立，所以h(0)2k0，故k2.h(x)ex(x2)exk(2x2)(x1)(ex2k)，由h(x)0，得x1或xln 2kln 41.当x0，1)时，h(x)0，所以函数h(x)在0，1)内单调递增；当x(1，ln 2k)时，h(x)0，所以函数h(x)在(ln 2k，)内单调递增h(ln 2k)k(ln 2k1)(ln 2k3)，要使当x0时，h(x)0恒成立，只需解得2k.故实数的取值范围为.学科网（北京）股份有限公司