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1、2023 年上期高一第一次月考数学试卷第 1页（共 4 页）2023 年上期高一第一次月考试卷数 学命题人：一、单选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数21 izaaa为纯虚数，则实数a的值为（）A1B0C0或1D12若向量a与向量b的夹角为60，4b，2372abab，则a（）A12B6C4D23 在ABC中，2AB，3BC，60ABC，AD为BC边上的高，若ADABBC ，则（）A1B13C23D434 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为31log210
2、0Qv，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼以3ln2m/sln3的速度游动时，其耗氧量是静止时耗氧量的倍数为（）A83B8C32D645在ABC中,3AC,向量AB 在AC上的投影向量为2|ACAC,3ABCS,则BC（）A5B2 7C29D4 26在ABC中，若lgsinlgcoslgsinlg2ABC，则该三角形的形状是()A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形7 已知函数 sin02|0fxAxA,的图象如图所示，图象与x轴的交点为5,02M，与y轴的交点为N，最高点1,PA，且满足NMNP若将 fx的图象向湖南省永州市第一中学2022-2023学年高一下学期3月月
3、考数学试题2023 年上期高一第一次月考数学试卷第 2页（共 4 页）左平移 1 个单位得到的图象对应的函数为 g x，则 0g（）A102B0C102D108已知函数 fx的定义域为D，若12,xDxD，满足122xfxa，则称函数 fx具有性质 P a 已知定义在0,上的函数 23f xxmx 具有性质12P，则实数m的取值范围是（）A,2B,4C2,D4,二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分9下列关于向量的命题正确的是（）A非零向量a,b,c,满足ba/，cb/
4、，则ca/B向量,a b 共线的充要条件是存在实数，使得ba成立C在ABC中，18,20,60bcB=，该三角形有唯一解D若3,1AB ，1,ACmm，BAC为锐角，则实数m的范围是34m 10下列说法正确的是（）A半径为 1，圆心角为3的扇形的面积等于3B若正数,a b满足1ab，则14ab C在ABC中，sinsinAB的充要条件是ABD在ABC中，若4 3a，12b，60B，则A 30或 15011 直角ABC中，斜边2AB，P为ABC所在平面内一点，221sincos2APABAC （其中R），则（）AACAB的取值范围是4,0B点P经过ABC的外心2023 年上期高一第一次月考数学试
5、卷第 3页（共 4 页）C点P所在轨迹的长度为 2D()PCPAPB 的取值范围是1,0212已知函数 21,04ln1,0 xxxf xxx，若方程 Rf xk k有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为1234,x x x x，则（）A104kB23eexC121xx D21234e04x x x x三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.已知向量2,1AB ，,3ACt，ABBC ，则t _14.复数43i与25i 在复平面上对应的向量分别为OA 与OB，则向量AB 对应的复数是_.15.设函数()f x是定义在 R 上的偶函数，记2()()g xf xx，且函数
6、()g x在区间0,)上是增函数，则不等式2(2)(2)4f xfxx的解集为_16.在锐角ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是 a，b，c，且2 sin2 sincossin2cBAaABbA，则ca的取值范围是_四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分 10 分）已知1e，2e 为单位向量，且1e，2e 的夹角为 120，向量122aee，21bee（1）求a b；（2）求a与b的夹角18（本小题满分 12 分）在ABC中，2c，30C.再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：（1）a 的值
7、；（2）ABC的面积.条件：2 3b；条件：23ba；条件：45A.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.2023 年上期高一第一次月考数学试卷第 4页（共 4 页）19（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量,sincos1xmx，sin,cosnxx，50,6x（1）若mn，求 x 的值；（2）若函数 cosm nfxax，且函数 fx没有最值，求实数 a 的取值范围20（本小题满分 12 分）已知函数2()2 2sincos2 2cos2222xxxf x（1）求函数()f x在区间0,上的单调递减区间；（2）在ABC中，,A B C所对应的边为,a b
8、c，且()2,2 2f Aa，求ABC面积的最大21（本小题满分 12 分）如图，在菱形ABCD中，1,22BEBC CFFD ，（1）若60,4BADAB求CFAC；（2）若菱形ABCD的边长为6，求AE EF 的取值范围.22（本小题满分 12 分）已知函数()sin()f xAx（其中0A，0，|2）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，A，B 两点的最小距离为2，且该函数的图象上的一个最高点的坐标为,212.（1）求函数 fx的解析式；（2）求证：存在大于3的正实数0 x，使得不等式|()|2 3lnf xx在区间0,xe有解.（其中e 为自然对数的底数）.第 1 页2023 年上期高一
9、第一次月考数学试卷答案题号123456789101112答案BBDDCADDADBCABDACD13.414.68i 15.,04,16.21，3 D【详解】如图，因为2,60ABB，而AD为高，故1BD，又13ADABBDABBC ，故13BBCCAABB ，而,AB BC 不共线，故11,3，所以43，故选：D4D【详解】因为31log2100Qv，所以当鲑鱼静止时，10m/sv，即131log02100Q，化简得11100Q，所以1100Q；当23ln2m/sln3v，即23313ln2ln8loglog 82100ln3ln3Q，化简得2333log2log 8log 64100Q，所
10、以264100Q，所以26400Q.21640064100QQ.故选:D.5C【详解】因为向量AB 在AC上的投影向量为2|ACAC，故BAC为钝角，如图，过B作AC的垂线，垂足为E，则E在CA的延长线上，而向量AB 在AC上的投影向量为cosACACABBACAEACAC ，故=2AE，而3ABCS，故1332BE，故=2BE，故25+4=29BC，故选：C6A【详解】lgsinlgcoslgsinlg2ABC，sin2cossinABC,由正弦定理可得sinsinacAC，sin,cossin2AaaBCcc，222cos22acbaBacc，整理得22,cb cb，ABC的形状是等腰三角
11、形，故选 A.7D【详解】解：由题知，函数 fx的周期T满足531422MPTxx，解得6T，第 2 页所以263，由图象与x轴的交点为5,02M得5(Z)32kk，因为|2，所以6，即 sin36fxAx，所以，fx图象与y轴的交点为0,2AN，因为NMNP，所以255,1,022224AAANM NP ，解得10A（负舍），所以 10sin36fxx，所以若将 fx的图象向左平移 1 个单位得到的图象对应的函数为 g x()10sin10cos323g xxx，所以(0)10g.故选：D8D【详解】由题意得定义在0,上的函数 23f xxmx 具有性质12P，即120,0,xx，满足121
12、22xf x，即120,0,xx，211f xx 恒成立；记函数 23f xxmx，0,x的值域为 M，1(,1)1x ，则由题意得(,1)M,当02m，即0m 时，23f xxmx 在0,x单调递减，则(0)3fxf，即(,3)M ,此时不满足(,1)M，舍去；当02m，即0m 时，23,0,fxxmxx 在2mx 时取得最大值，即 222max()33224mmmf x，即2(34,mM,要满足(,1)M，需2314m，解得4m或4m，而0m，故4m，即 m 的取值范围为4,，故选：D11ABD【详解】由2ACACAB，又斜边2AB，则2,0AC，故4,0 ACAB，A 正确；若O为AB中
13、点，则ABAO21，故22sincosAPAOAC，又22sincos1，所以,O P C共线，故P在线段OC上，轨迹长为 1，又O是ABC的外心，B 正确，C 错误；由上2PAPBPO ，则()22|PCPAPBPC POPCPO ，第 3 页又|1PCPOOC ，则2|1|()24PCPOPCPO ，当且仅当1|2PCPO 等号成立，所以1()2|,02PCPAPBPCPO ，D 正确.故选：ABD12ACD【详解】当0 x 时，214f xxx，易得 fx开口向上，对称轴为12x ，所以 fx在1,2 上单调递减，在1,02上单调递增，且102f，当0 x 时，21144yxx，注意此时
14、 fx在0 x 处取不到函数值；当0ex时，ln1x，则ln10 x ，所以 1e1 lnlog1f xxx，易得 fx的图像是1elogyx的图像向上平移 1 个单位得到的，当ex时，1elog10yx，注意此时 fx在ex处取不到函数值；当ex 时，ln1x，则ln10 x，所以 ln1f xx，易得 fx的图像是lnyx的图像向下平移 1 个单位得到的，且 e0f xf；综上，画出 fx与yk在R上的图像，如图，对于 A，因为 fx与yk的图像的交点个数即为方程 Rfxk k的解的个数，又 Rfxk k有四个不同的实数解，所以104k，故 A 正确；对于 B，结合图像可知3ex，故 B
15、错误；对于 C，结合图像可知1,x k与2,x k关于12x 对称，所以121xx，故 C 正确；对于 D，因为341 lnln1xx，所以34ln2x x，所以234ex x，由选项 C 知121xx，又120,0 xx，则121xx，所以21212121024xxx xxx ，当且仅当12xx 且121xx，即1212xx 时，等号成立，第 4 页易知12xx，所以12104x x，所以21234e04x x x x，故 D 正确.故选：ACD15,0,-4【详解】解：因为 2g xf xx，且()f x是定义在R上的偶函数，则 22gxfxxfxxg x，函数 g x为偶函数，原不等式2
16、(2)(2)4f xfxx可化为 22224fxxf，即 22g xg，又因为函数()g x在区间0,)上是增函数，则22x，解之得：4x或0 x，故答案为：,0,-4.161,2【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得2sinsin2sinsincossinsin2CBAAABBA2sinsincos2sinsincos2sinsincossincosAABBAAAABBA2sinsinAAB，因为0,2CCAB，所以0ssinsininCACB，可得sinsinBAA，因为0022AB，所以22BA，所以2BA，3CA，由202BA，203CA可得64A，所以23cos22A，213cos2
17、4A，由正弦定理得sin 2sinsin3sin2 coscos2 sinsinsinsinsinAAcCAAAAAaAAAA222coscos24cos11,2AAA.故答案为：1,2.17【详解】（1）解：1e，2e 为单位向量，且1e，2e 的夹角为 120，1211 1 cos1202e e 1221122113222112122a beeeee eee .5 分（2）设a与b的夹角为第 5 页22121244132aaee ，222111 2132bbee ，311cos2233a bab 又0,，23，a与b的夹角为23.10 分18【详解】（1）选条件：2 3b，在ABC中，由余
18、弦定理得，2222coscababC，241222 3cos30aa，即2680aa.解得2a 或4a，满足条件的三角形有两个，不符合题意，舍去；选条件：23ba即32ba，在ABC中，由余弦定理得，2222coscababC，223342cos3042aaaa，解得4a；选条件：45A，在ABC中，由正弦定理得，sinsinacAC，所以22sin22 21sin2cAaC；.6 分（2）选条件：由题可知4a，32 32ba，所以ABC的面积11sin42 3sin302 322ABCSabC ；选条件：45A，则1804530105B ，2 2a，所以ABC的面积11231sin2 22s
19、in1052 23122222ABCSacB.12 分19【详解】（1）,cos1sin xxm，sin,cosnxx，mn，第 6 页sin cossc1inosxxxx又50,6x，0sin x1cos2x，3x.5 分（2）222sincocoscoscoscos2co1ss1f xaxxaxam nxxxx ，50,6x，3,12cosx 令costx，则 2211f xg ttat，3,12t 函数 fx没有最值等价于函数 g t在区间312,上无最值114a或1342a 实数 a 的取值范围为,1 2 33,.12 分20【详解】（1）2()2 2sincos2 2cos22sin
20、2(1cos)22222sin2cos2sin()4xxxf xxxxxx0,x，5,444x()f x在区间0,上单调递减，45,24x,4x xf在区间,0上的单调递减区间为,4.5 分（2）由（1）知：()2sin()24f AA，即：sin()14A又(0,)A4A12sin24ABCSbcAbc方法 1：由余弦定理得：2282cos22bcAbc，2282bcbc又222bcbc，当且仅当 b=c 时去等号.由得：84 2bc，当且仅当 b=c 时去等号.第 7 页ABC 的面积最大值为2(84 2)2 224S；方法 2：由正弦定理得：2 24sinsinsin4bcBC，解得：4
21、sinbB，4sincC，则216sinsin16sin()sin16sin()sin8 2(sinsincos)41 cos21 8 2(sin2)4 2(sin2cos21)8sin(2)4 2224bcBCACCCCCCCCCCCC4A304C，52444C当242C时，即：38C时，sin(2)4C取得最大值为 1，max()84 2bc，max2(84 2)2 224S，ABC 的面积最大值为2 22.12 分21.【详解】(1)在菱形ABCD中，ADABAC，且CDDCAB，4 ADAB又,3232,2ABCDCFFDCF.16214432163260cos323232323222
22、ADABABADABABABADABCFAC.5 分(2)（i）菱形ABCD，,ABDC ADBC ，则ADABCBDCCECFEF2132213212AEABBEABAD 22121211()()232364AE EFABADABADABAB ADAD 21136cos,36364156cos,ABADAB ADAB AD ,(0,)AB AD ，cos,(1,1)AB AD AE EF 的取值范围是：(21,9).12 分第 8 页22【详解】解：（1）由题意可知，2A，122T，故函数 fx的周期为，故2，故()2sin(2)f xx，2sin 221212f，则2,62kkZ，即2,3kkZ，|2，3，2 n 2)3(sif xx；.4 分（2）证明：因为0,3xe，故当0,xxe时，10ln2x，原不等式可化为|()|2 3lnf xx，又因为10ln2x，则12 32 3ln2x，要使得|()|2 3lnf xx在0,xe有解，只需1|()|2 32f x 在区间0,xe有解，代入得：3sin 232x，当3sin 232x解得，即,6xkk，Zk时，此时与区间,6kk与区间0,xe的交集为空集，当3sin 232x，即,23xkk，Zk时，令1k 得2,23x时，满足3sin 232x，又因为2e，所以0,3 2x，原不等式在区间0,xe有解.12 分