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1、4.3.2 等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式 国国际象棋起源于古代印度象棋起源于古代印度.相相传国王要国王要奖赏国国际象棋的象棋的发明者明者，问他想要什么他想要什么.发明者明者说：“请在棋在棋盘的第的第1个个格子里放上格子里放上1颗麦粒，第麦粒，第2个个格子里放上格子里放上2颗麦粒，第麦粒，第3个格子里放上个格子里放上4颗麦粒，依次麦粒，依次类推，推，每个格子每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第倍，直到第64个格子个格子.请给我足我足够的麦粒以的麦粒以实现上述要求上述要求.”国王国王觉得得这个要求不高，就欣然同意了个要求不高
2、，就欣然同意了.已知已知1000颗麦粒的麦粒的质量量约为40 g，据，据查，20162017年度世界小麦年度世界小麦产量量约为7.5亿吨，根据以上数吨，根据以上数据，判断国王是否能据，判断国王是否能实现他的他的诺言言.问题问题 把上述问题中每个格子里放的麦粒数看成一个数列，请分析这个数列是否把上述问题中每个格子里放的麦粒数看成一个数列，请分析这个数列是否是等比数列是等比数列?若是，请求出通项公式，并思考国王能满足象棋若是，请求出通项公式，并思考国王能满足象棋发明者的要求吗？发明者的要求吗？“请在棋盘的第请在棋盘的第1 1个格子里放上个格子里放上1 1颗麦粒，第颗麦粒，第2 2个格子里放上个格子
3、里放上2 2颗麦粒，第颗麦粒，第3 3个格子里个格子里放上放上4 4颗麦粒颗麦粒依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的的2 2倍，直到第倍，直到第6464个格子。个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求请给我足够的粮食来实现上述要求”。各个格子里的麦粒数依次是：各个格子里的麦粒数依次是：发明者要求的麦粒总数：发明者要求的麦粒总数：等比数列等比数列等比数列等比数列前前6464项和项和错位相减法错位相减法已知一千颗麦粒的质量约为已知一千颗麦粒的质量约为40g40g，据查，据查，2016201720162017年度世界小麦产量
4、约年度世界小麦产量约为为7.57.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.故国王不能实现他的诺言。故国王不能实现他的诺言。思考思考:上述方法能否推广到求一个等比数列的前上述方法能否推广到求一个等比数列的前n项和？项和？错位相减法错位相减法 等比数列的前等比数列的前n项和公式：项和公式：按按1000颗麦粒的质量颗麦粒的质量为为40g，那么象棋发明，那么象棋发明者想要的麦粒总质量者想要的麦粒总质量超过超过7000亿吨，约是亿吨，约是2016-2017年度世界小年度世界小麦产量的麦产量的981倍，因此，倍，因此，国王根本不可能实现国王根本不可能
5、实现他的诺言他的诺言.例例7 已知数列已知数列an是等比数列是等比数列.1.已知数列已知数列an是等比数列是等比数列.课本课本P371.已知数列已知数列an是等比数列是等比数列.课本课本P37若若q未知，用等比数列前未知，用等比数列前n项和公式时要考虑项和公式时要考虑q是否为是否为1.若若q未知，用公式未知，用公式时要考虑时要考虑q是否为是否为1法法1：法法2：练习练习4.在等比数列在等比数列an中，已知中，已知a1a2an2n1，则，则a12a22an2等于等于_新知2：等比数列的前n项和的性质qn的的系数系数和和常数常数项互为项互为相反数相反数12想一想，不用分类讨论的方式能否证明该结论？
6、想一想，不用分类讨论的方式能否证明该结论？新知2：等比数列的前n项和的性质新知2：等比数列的前n项和的性质练习练习6.练习练习7.例例10 如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为5cm，取正方形，取正方形ABCD各各边的中点边的中点E,F,G,H，作第，作第2个正方形个正方形EFGH，然后再取正方，然后再取正方形形EFGH各边的中点各边的中点I,J,K,L，作第，作第3个正方形个正方形IJKL，依此，依此方法一直继续下去方法一直继续下去.(1)求从正方形求从正方形ABCD开始，连续开始，连续10个正方形的面积之和个正方形的面积之和;(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些
7、正如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少方形的面积之和将趋近于多少?例例10 如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为5cm，取正方形，取正方形ABCD各各边的中点边的中点E,F,G,H，作第，作第2个正方形个正方形EFGH，然后再取正方，然后再取正方形形EFGH各边的中点各边的中点I,J,K,L，作第，作第3个正方形个正方形IJKL，依此，依此方法一直继续下去方法一直继续下去.(1)求从正方形求从正方形ABCD开始，连续开始，连续10个正方形的面积之和个正方形的面积之和;(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正如果这个作图过程可以一直
8、继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少方形的面积之和将趋近于多少?课本课本P38/39-例例11.去年某地产生的生活垃圾为去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处万吨垃圾以填埋方式处理，理，6万吨垃圾以环保方式处理万吨垃圾以环保方式处理。预计每年生活垃圾的总量递增预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨万吨。为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到
9、精确到0.1万吨万吨).分析：每年生活垃圾的总量构成分析：每年生活垃圾的总量构成等比数列等比数列，公比为，公比为1+5%；每年以环保方式处理的垃圾量构成每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列等差数列，公差为，公差为1.5；从今年起从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为约为63.5万吨。万吨。例例12 某牧场今年初牛的存栏数为某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后，预计以后每年存栏数的增长率为每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为依次为c1，c
10、2，c3，.(1)写出一个递推公式，表示写出一个递推公式，表示cn+1与与cn之间的关系之间的关系;(2)将将(1)中的递推公式表示成中的递推公式表示成cn+1k=r(cnk)的的形式，其中形式，其中k，r为常数为常数;(3)求求S10=c1c2c3c10的值的值(精确到精确到1).例例12 某牧场今年初牛的存栏数为某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后，预计以后每年存栏数的增长率为每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为依次为c1，c2，c3，.(1)写出一个递推公式，表示写出
11、一个递推公式，表示cn+1与与cn之间的关系之间的关系;(2)将将(1)中的递推公式表示成中的递推公式表示成cn+1k=r(cnk)的的形式，其中形式，其中k，r为常数为常数;(3)求求S10=c1c2c3c10的值的值(精确到精确到1).方法归纳：解数列应用题方法归纳：解数列应用题(1)认真审题，明确问题是等差数列问题？还是等比数列问题？还是认真审题，明确问题是等差数列问题？还是等比数列问题？还是含有递推公式的数列问题？是求含有递推公式的数列问题？是求an，还是求，还是求Sn？特别要注意项数是多少特别要注意项数是多少细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题细胞繁殖、利率、增长率等问题一
12、般为等比数列问题(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式题意的数学关系式特征方程法特征方程法1.已知已知a b，且，且ab 0，对于，对于nN*，证明：，证明：课本课本P37环节六:归纳总结，反思提升等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项公式通项公式前前n项和项和公式公式中项中项性质性质依次依次n项和仍成等差数列，项和仍成等差数列，公差为公差为n2d依次依次n项和仍成等比数列，项和仍成等比数列，公比为公比为qn小结：小结：1.等比数列的前等比数列的前n项和公式：项和公式：