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1、河南省信阳市百师联盟河南省信阳市百师联盟 2022-2023 学年高一下学期期中考试学年高一下学期期中考试数学试题含答案数学试题含答案 20222023 学年度第二学期高一期中考试学年度第二学期高一期中考试数学试题数学试题注意事项：注意事项：1答卷前答卷前，考生务必将自己的姓名考生务必将自己的姓名、考场号考场号、座位号座位号、准考证号填写在答题卡准考证号填写在答题卡上上2回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净
2、后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试时间为 120 分钟，满分 150 分一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项中，只有一项是待合题目要求的中，只有一项是待合题目要求的1集合2230Ax xx，2,1,0,2,4B ，则RAB（）A2,1,4B1,2C2,4D2已知命题p：x R，20 x，则p是（）Ax R，20 x B0 xR，200 x Cx R
3、，200 x D0 xR，200 x 3已知i为虚数单位，倍数112iz ，22iz，则（）A1z的共却夏数为12i B1z的虚部是2iC12zz为实数D1 243iz z 4设点A，B，C不共线，则“ABACBC ”是“AB 与AC的夹角为钝角”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5下列说法正确的是（）A过空间中的任意三点有且只有一个平面B三棱柱各面所在平面将空间分成 21 部分C空间中的三条直线a，b，c，如果a与b异面，b与c异面，那么a与c异面D若直线a在平面外，则平面内存在直线与a平行6函数 sin 2f xx（xR，0，02）的部分图像如图
4、，则（）A8，54B8，4C4，4D6，67设112yxx，1,2x，则y的最小值为（）A1B2C3D48我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用 3 个全等的小三角形拼成了如图所示的等边ABC，若2EF，13cos14ACF，则ABCS（）A494B49 34C492D49 32二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得
5、分，有选错的得 0分分9下列说法中不正确的是（）A正四棱柱一定是正方体B圆柱的母线和它的轴不一定平行C正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥10下列选项中，与2023cos3的值相等的是（）A2cos15 cos75Bsin86 cos56cos86 sin56C11tan31tan42D168coscos5511下列说法正确的有（）A若ab，bc，则acB已知向量1,2a，23,2ab，则1,2b C若a ba c 且0a，则b和c在a上的投影向量相等D若复数11 iz ，2cosisinz（R），其中i是虚数单位，则
6、12zz的最大值为2112已知函数 lg2lg5 1 2xf x，实数a，b（ab）是函数 yf xm的两个零点，则下列结论正确的有（）A1mB01mC222abD0ab三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13已知函数 241,0,11,0,xxfxxx则15ff_14一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为 45，腰和上底长均为2的等腰梯形，则原平面图形的面积为_15已知向量a，b满足1a，3b，a，b的夹角为 150，则2ab与a的夹角为_16某同学为了测量天文台CD的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台A，A到地面的距离AB为1
7、55 3 m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得阳台A，天文台顶C的仰角分别是 15和 60，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为 30，假设AB，CD和点M在同一平面内，则该同学可测得学校天文台CD的高度为_m四四、解答题解答题：本题共本题共 6 小题小题，共共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算证明过程或演算步骤步骤17（10 分）已知复数izxy（0 x，0y），其中i为虚数单位，且满足2z，且1z 为纯虚数（1）求32iz；（2）若复数z是关于x的方程20 xmxn（m，nR）的一个根，求实数m，n的值18（12 分）如图，在ABC中，A为钝角
8、，2AC，CD是ACB的平分线，CD交AB于点D，且3CD，4ADC（1）求A的大小；（2）求BCD的面积19（12 分）已知函数 sincossincos22f xxx（0，0）的最小正周期为x，且 f x图象的一个对称中心为5,012（1）求 f x的解析式；（2）设函数 22sing xf xx，求 g x的单调增区间20（12 分）如图所示，在正六棱锥SABCDEF中，O为底面中心，8SO，4OB（1）求该正六棱锥的体积和侧面积；（2）若该正六棱锥的顶点都在球M的表面上，求球M的表面积和体积21（12 分）已知在ABC中，点M是BC边上靠近点B的四等分点，点N在AB边上，且ANNB，设
9、AM与CN相交于点P记ABm，ACn（1）请用m，n表示向量AM；（2）若2nm，设m，n的夹角为，若1cos4，求证：CNAB 22（12 分）已知函数 2log221xfxax，函数 22xxg xt（1）若 g x是偶函数，求实数t的值，并用单调性的定义判断 g x在0,上的单调性；（2）在（1）的条件下，若对于10,x，2xR，都有 1222log 2f xg xa成立，求实数a的取值范围20222023 学年度第二学期高一期中考试学年度第二学期高一期中考试数学参考答案及评分意见数学参考答案及评分意见1 A【解析】因为223013Ax xxxx，所以R13Ax xx 或，所以R2,1,
10、4AB 故选 A2B【解析】因为全称量词命題的否定为存在量词命题，命题p：x R，20 x 所以p是0 xR，200 x 故选 B3D【解析】对于 A，112iz ，11 2iz ，故 A 错误；对于 B，1z的虚部是 2，故B 错误；对于 C，123izz为虚数，故 C 错误；对于 D，2121 2i2i2i4i2i43izz，故 D 正确故选 D4C【解析】设AB 与AC的夹角为，当ABACBC 时，BCACAB ，ABACACAB ，222222ABACAB ACABACAB AC ，0AB AC ，即cos0ABAC，所以cos0，因为点A，B，C不共线，所以AB 与AC的夹角为钝角；
11、当AB 与AC的夹角为钝角时，cos0AB ACABAC ，所以222222ABACAB ACABACAB AC 所以ABACACAB ，即ABACBC 所以“ABACBC ”是“AB 与AC的夹角为钝角”的充分必要条件故选 C5B【解析】对于 A，当空间中的三点共线时，过这三点有无数个平面，故 A 错误，对于 B，三棱柱的 3 个侧面将空间分成 7 部分，两个平行的底面又在这个基础上把每部分分成3 部分，所以三棱柱各面所在的平面将空间分成7 321 个部分，故 B 正确：对于 C，空间中直线a、b、c，若a与直线b异面，b与c异面，则a与c可能异面，也可能共面，故 C 错误；对于 D由直线a
12、在平面外可知，a或a与相交若a，则内存在直线与直线a平行；若a与相交，则内不存在直线与直线a平行故 D 错误故选 B6B【解析】由题意可知，函数的周期为43 18T ，22T，8；函数的图象经过1,1，所以1sin4，2 42k，2 4k，kZ因为02，所以4故选 B7B【解析】1111 2222222xxyxxxxxx，因为1,2x，所以20 x，则1 21222222222xxxxxxxx，当且仅当22xxxx，即1x 时取等号，所以y的最小值为 2故选 B，8B【解析】在ACF中，18060120AFC，因为13cos14ACF，所以2133 3sin11414ACF，设AFCEt（0t
13、），则2CFt，由正弦定理可知，sinsinAFACACFAFC，即3 33142tAC，则73ACt，在ACF中，2222cosACAFCFAF CFAFC，22249122292ttttt，又0t，则3t，故773ACt，所以149 37 7 sin6024ABCS故选 B9ABD【解析】对于 A，正方体一定是四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故 A 错误，对于 B，根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故 B 错误；对于 C，由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故 C 正确；对于 D，当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故 D 错误故选 ABD10A
14、BC【解析】202320231coscoscos 674cos33332，对于 A，12cos15 cos752sin15 cos15sin302，故 A 符合题意；对于 B，1sin86 cos56cos86 sin56sin 8656sin302，故 B 符合题意；对于 C，111 tan31 tan421 tan3tan42tan3tan421111 tan3tan42tan45 1 tan3tan421 tan452，故 C 符合题意：对于D，16833coscoscos 3cos coscos0555555，故 D 不符合题意故选 ABC11CD【解析】选项 A，若0b，满足ab，b
15、c，但a与c不共线，故 A 错误；选项 B，因为向量1,2a，23,2ab，所以223,22 1,21,2baba，故 B 错误；选项 C，因为a ba c 且0a，b在a上的投影向量为2a baa，c在a上的投影向量2a caa，所以22a ba caaaa 故 C 正确；选项 D，由题意可得，2z对应的点在以原点为圆心，以 1 为半径的圆上，1z对应的点为1,1，如图所示，则12max21zz，故 D 正确故选 CD12BCD【解析】12,0,lg2lg5 122121,0,xxxxxfxx yf xm的零点即函数 yf x与ym图象交点的横坐标，作出图象，由图象可知，当01m时，两个函数
16、图像有 2 个交点，且 f af b，即1 221bb，化简可得222ab，由2222 222 2ababa b，因为ab，所以等号取不到，可得0212a b，所以0ab综上可知，BCD 正确，A 错误故选 BCD1363【解析】因为145f，所以144 16 1635fff 故答案为63142 24【解析】在直观图中，A B C D 是等腰梯形，ABCD ，且2A BA DB C，如下图所示；分别过点A、B作A EC D，BFCD，垂足分别为点E、F，由题意可知45A D EB C F ，所以，2cos45212DEAD，同理可得1CF，因为A BEF，AECD，BFCD，则四边形A B F
17、E 为矩形，所以，2EFA B ，故22C DC FEFD E，将直观图还原为原图形如下图所示：由题意可知，梯形ABCD为直角梯形，ABCD，2AB，2 2AD，22CD，ADCD，因此，梯形ABCD的面积为22 22 22 2422ABCDADS故答案为2 2415 60【解析】因为1a，3b，a与b的夹角为 150 所以3cos1502a ba b ，所以2222222244441abababa baba b ，得21ab，又21222aabaa b，设a与2ab的夹角为，所以21cos22aababa，又因为0,180，所以60故答案为 601630【解析】在RtABM中，在sin15A
18、BAM，在ACM中，在301545CAM，1801560105AMC，1801054530ACM，由正弦定理得sinsinAMMCACMCAM，故sinsin452sinsin30sin15sin15CAMABABMCAMACM，在RtCDM中，在sin602sin60sin15ABCDMC，又232162sin15sin 4530sin45 cos30cos45 sin3022224，则155 33sin602302624CDMC故答案为 3017解：（1）11izxy 为纯虚数，1x，222zxy且0y，3y，13iz ，3213i32i33i2i2 33 31i44413i1313iii
19、（2）法一；因为复数z是关于x的方程20 xmxn（m，nR）的一个根，所以把13iz 代入：20 xmxn得213i13i0mn，化简得：232 3 i0mnm，即20,32 30,mnm，解得：2m ，4n 所以实数m，n的值分别为：2m ，4n 法二：因为关于x的方程20 xmxn（m，nR）的一个根为13iz ，所以此方程的另一根为：13iz ，则2,4zzmz zn，解得：2m ，4n 所以实数m，n的做分别为:2,4mn 18解：（1）在ADC中由正弦定理得sinsinACCDADCA所以3sinsin34sin22CDADCAAC 因为A为钝角，所以23A，（2）由（1）得234
20、12BCDACD 由题设，6BACB，即ABC为等腰三角形所以2cos66BCAC321262sinsinsin123422224BCD，所以BCD的面积为3311162sin632244BCDSBC CDBCD19解：（1）sincossincos22f xxxsincoscossinsinxxx因为2T，所以2因为 f x的一个对称中心为5,012所以5212k（kZ）解得56k（kZ）因为0，所以6，所以 sin 26f xx（2）22sinsin 21 cos26g xf xxxx33sin2 coscos2 sincos21sin2cos216622xxxxx 133sin2cos2
21、13sin 21223xxx 因为sinyx在2,2 22kk（kZ）上单调避增由2 22 232kxk（kZ）解得51212kxk（kZ）所以 g x的单调增区间为5,1212kk（kZ）20解：（1）由条件可知正六边形ABCDEF的边长为 4，所以底面积为2164 sin24 323该正六棱锥的体积为124 3 864 33正六棱锥的侧棱长为22484 5，侧面等腰三角形的高为：224 522 19，一个等腰三角形的面积为：14 2 194 192，故该正六棱锥的侧面积为6 4 1924 19（2）球心M一定在直线SO上，设球M的半径为R，则RMSMB又222MBOMOB，所以22284R
22、R，解得5R 所以球M的表面积为：24100R，球M的体积为：3450033R 21解：（1）BCACABnm ，由题意得1144BMBCnm ，所以131444AMABBMmnmmn （2）由题意，1122CNCAANACABmn 2nm，1cos4，21cos2m nmnm 222111102222CN ABmnmmn mmm ，CNAB 22解：（1）g x为偶函数，gxg x恒成立，2222xxxxtt 恒成立，即1220 xxt，1t 22xxg x设1x，20,x 且12xx，则 112122211222222222xxxxxxxxfxfx211212121212121122122
23、22221222222xxxxxxxxxxxxxx因为120 xx，所以12122xx，1210122xx，所以12220 xx，1211022xx，12121221022xxxx，所以 g x在0,是单调增函数（2）22721log 222log 222log 22log 22xxxxg xaaaa当且仅当122xx即0 x 时等号成立，22minlog 22log 2g xaa，由题意可得：0,x，222log 2f xa恒成立即0,x，22log22122log 2xaxa恒成立，由2log 20a 有意义，得0a，由2log221xa存意义，得2210 xa 在0,恒成立即122xa 在0,上恒成立设 122xh x，易知 h x在0,上的值域为2,3，故2a，所以02a又0,x，22log22122log 2xaxa恒成立，即0,x，22log221log22xxaa恒成立即22122xxaa 恒成立，即2133 2xa 恒成立，0max221133 233 21x，1a 综上，实数a的取值范围为1,2