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1、函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析函数的奇偶性定义：1偶函数：一般地，对于函数()f x的定义域内的任意一个x，都有()()fxf x，那么()f x就叫做偶函数2 奇函数：一般地，对于函数()f x的定义域的任意一个x，都有()()fxf x，那么()f x就叫做奇函数二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；3、可逆性：)()(xfxf)(xf是偶函数；)()(xfxf)(xf奇函数；4、等价性：)()(xfxf0)()(xfxf(|)()fxf x；)()(xfxf0)()(xfxf
2、；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。8、如果一个奇函数 f(x)在 x=0 处有意义，则这个函数在 x=0 处的函数值一定为 0。并且关于原点对称。三、关于奇偶函数的图像特征一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；即：f(x)为奇函数f(x)的图像关于原点对称点（x,y）（-x,-y）偶函数的图像关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。即：
3、f(x)为偶函数f(x)的图像关于 Y Y 轴对称点（x,y）（-x,y）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。2函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系(1)若奇函数 f(x)在a，b上是增函数，且有最大值 M，则 f(x)在b，a上是增函数，且有最小值M.(2)若偶函数 f(x)在(，0)上是减函数，则 f(x)在(0，)上是增函数五、关于函数奇偶性的简单应用1、函数的对称性如果函数f(x)满足f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)，则函数f
4、(x)的图象关于直线_对称一般的，若f(ax)f(bx)，则函数f(x)的对称轴方程是_.两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线2bax对称.2、函数的周期性函数的周期性的定义：设函数yf(x)，xD，若存在非零常数T，使得对任意的xD都有_，则函数f(x)为周期函数，T为yf(x)的一个周期(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期(3)周期函数
5、不一定有最小正周期，若T0 是f(x)的周期，则kT(kN)也一定是f(x)的周期若函数f(x)对定义域中任意x满足f(xa)f(x)或f(xa)1fx(a0)，则函数f(x)是周期函数，它的一个周期是_.若)()(axfxf,则函数)(xfy 的图象关于点)0,2(a对称;六、函数的奇偶性的判断函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。判断函数奇偶性的方法：（1）、利用奇、偶函数的定义，主要考查()fx是否与()f x、)(xf相等，判断步骤如下：1、若定义域不对称，则为非奇非偶函数；若定义域
6、对称，则有成为奇（偶）函数的可能，到底怎样，取决于数量关系)()(xfxf怎样成立？若)()(xfxf成立，则为偶函数；若)()(xfxf成立，则为奇函数；若)()(xfxf成立，则为既是奇函数也是偶函数；若)()(xfxf都不成立，则为非奇非偶函数。2讨论函数奇偶性时，注意定义域优先原则3由奇偶函数的图象的对称性，只要知道函数在原点的一侧区间上的有关性质，就可得出函数在其对称区间上的性质4若T是f(x)的一个周期，则kT(k0，kZ Z)也是f(x)的周期5(1)若函数f(x)存在两条平行于y轴的对称轴，则函数f(x)是周期函数；若函数f(x)具有奇偶性，又有一条平行于y轴的对称轴，则函数f
7、(x)是周期函数6注意函数性质的逆向应用（2）、图像法：f(x)为奇函数f(x)的图像关于原点对称点（x,y）（-x,-y）f(x)为偶函数f(x)的图像关于 Y Y 轴对称点（x,y）（-x,y）（3）、特值法：根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断函数奇偶性。（4 4）、性质法（5）、函数奇、偶性的运算：利用已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：1)1)若f f(x x)与g g(x x)都是奇函数，则在f f(x x)与g g(x x)的定义域的公共区间上，f f(x x)g g(x x)，f f(x x)g g(x x)
8、都是奇函数，f f(x x)g g(x x)与f fx xg gx x为偶函数2)2)若f f(x x)与g g(x x)都是偶函数，则在f f(x x)与g g(x x)的定义域的公共区间上，f f(x x)g g(x x)，f f(x x)g g(x x)，f f(x x)g g(x x)，f fx xg gx x都是偶函数3 3）奇函数与偶函数的和（差）既非奇函数也非偶函数；4 4)若f f(x x)与g g(x x)中一个为奇函数，另一个为偶函数，则在f f(x x)与g g(x x)的定义域的公共区间上，f f(x x)g g(x x)，f fx xg gx x都为奇函数3 3若y
9、yf f(x x)为奇函数，且y yf f(x x)在x x0 0 处有意义，则f f(0)(0)0.0.性质1、偶函数没有反函数（偶函数在定义域内非单调函数），奇函数的反函数仍是奇函数。2、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义内关于原点对称的两个区间上单调性相同。3、对于 F（x）=fg(x)：若 g(x)是偶函数且 f(x)是偶函数，则 Fx是偶函数若 g(x)奇函数且 f(x)是奇函数，则 F（x）是奇函数若 g(x)奇函数且 f(x)是偶函数，则 F（x）是偶函数5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称案例分析：考点一、判断函数的奇偶性例 1 1判断下列函
10、数是否是偶函数（1）2()1,2f xxx（2）32()1xxf xx（3）f(x)=x+x3+x5；（4）f(x)=x2+1；（5）f(x)=x+1；（6）f(x)=x2，x1，3；（7）f(x)=0.变式训练1、判断下列函数的是否具有奇偶性：(1)f(x)=x+x3；(2)f(x)=x2；(3)h(x)=x3+1；(4)k(x)=211x，x1，2；(5)f(x)=(x+1)(x 1)；(6)g(x)=x(x+1)；(7)h(x)=x+3x；(8)k(x)=211x.2、下面四个结论中，正确命题的个数是()偶函数的图像一定与y轴相交；函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)0；偶函数的图像
11、关于y轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)0(xR)A1B2C3D4考点二、分段函数的奇偶性解析：分别讨论每一个区间与其对称区间上的对称性，是否符合奇偶性的定义例 1 1、判断下列函数的奇偶性：()(4)(4)f xlgxlgx2211(0)2()11(0)2xxg xxx分析：先验证函数定义域的对称性，再考察()()()fxf xf x是否等于或解：（1）()f xxx的定义域是|4+0 且4x0=|4x x4，它具有对称性因为()(4)(4)()fxlgxlgxf x，所以()f x是偶函数，不是奇函数（2）当x0 时，x0，于是2211()()1(1)()22gxxxg x
12、 当x0 时，x0，于是222111()()11(1)()222gxxxxg x 综上可知，在 RR+上，()g x是奇函数例 2 2、判断函数f f(x x)x x3 33 3x x2 21 1x x0 0 x x3 33 3x x2 21 1x x0 0的奇偶性思路点拨：分 x0 或 x0 两种情况计算 f(x)，然后再判断 f(x)与 f(x)的关系解：函数 f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称当 x0 时，x0，则 f(x)(x)33(x)21x33x21(x33x21)f(x)当 x0 时，x0，则 f(x)(x)33(x)21x33x21(x33x21)f(x)由知，当
13、 x(，0)(0，)时，都有 f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数【名师点拨】分段函数的奇偶性应分段证明 f(x)与 f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性也可根据图象判定1 1、如果函数f f(x x)x x3 33 3x x2 21 1x x0 0 x x3 33 3x x2 21 1x x0 0，其奇偶性怎样？解：当x x0 0 时，f f(x x)x x3 33 3x x2 21 1，x x0 0，f f(x x)(x x)3 33(3(x x)2 21 1x x3 33 3x x2 21 1f f(x x)当x x0 0 时，f f(x x)x x
14、3 33 3x x2 21.1.x x0 0，f f(x x)(x x)3 33(3(x x)2 21 1x x3 33 3x x2 21 1f f(x x)综上可得f f(x x)f f(x x)f f(x x)为偶函数考点二、利用奇偶函数图像的对称性质由偶函数的定义可得：偶函数的图像关于 y y 轴对称，反过来，若一个函数的图像关于 y y 轴对称，则这个函数是偶函数.由奇函数的定义可得：奇函数的图像关于原点对称，反过来，若一个函数的图像关于原点对称，则这个函数是奇函数例 1 1、设奇函数)(xf的定义域为5,5，若当0,5x时，)(xf的图象如右图,则不等式()0f x 的解是例 2 2
15、如图，给出了奇函数y=f(x)的局总图象，求f(4).例 3如图，给出了偶函数y=f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小.1 1奇函数y yf f(x x)()(x xR)R)的图象必过点()A A(a a，f f(a a)B B(a a，f f(a a)C C(a a，f f(a a)D D(a a，f f(1 1a a)解析：f(x)是奇函数，f(a)f(a)，即自变量取a 时，函数值为f(a)，故图象必过点(a，f(a)答案：C2若函数 yf(x)是偶函数，其图象与 x 轴有两个交点，则方程 f(x)0 的所有实根之和是()A2B1C0D1解析：偶函数图象关于 y 轴对称，f
16、(x)与 x 轴的两个交点关于 y 轴对称，若一根为 x1，则另一根必为x1，故 f(x)0 的所有实根之和为 0.答案：C3已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x4)f(x)，当 x(0,2)时，f(x)2x2，则 f(7)xyO 32 1xyO42()A2B2C98D98解析：f(x4)f(x)，f(7)f(34)f(3)f4(1)f(1)又f(x)f(x)，f(1)f(1)2122，f(7)2，故选 A.答案：A考点三、根据奇偶性求函数解析式例 3、已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)2x23x1，求 f(x)的解析式分析：由奇函数的定义知 f(0)0
17、，再由 f(x)f(x)计算当 x0 时 f(x)的表达式，构成定义在 R 上的奇函数解：f f(x x)是定义在 R R 上的奇函数，f f(x x)f f(x x)当x x000，f f(x x)f f(x x)2 2x x2 23 3x x1.1.又奇函数f f(x x)在原点的定义，f f(0)(0)0.0.f f(x x)2 2x x2 23 3x x1 1x x00，0 0 x x0 0，2 2x x2 23 3x x1 1x x00.1、设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0 时，f(x)2x2x，则f(1)()A3B1C1D3解析本题主要考查函数的奇偶性以及函数值的求法f(1)
18、f(1)2(1)2(1)3，故选 A.2 2、已知f f(x x)是 R R 上的奇函数，且当x x(0(0，)时，f f(x x)x x(1(13 3x x)，求当x x(，0)0)时f f(x x)的解析式解：设x x(，0)0)，则x x(0(0，)由已知得f f(x x)x x(1(13 3x x)x x(1(13 3x x)f f(x x)是 R R 上的奇函数，f f(x x)f f(x x)，f f(x x)f f(x x)x x(1(13 3x x)即f f(x x)x x(1(13 3x x)，当x x(，0)0)时，f f(x x)的解析式为f f(x x)x x(1(13
19、 3x x)考点三、利用函数的奇偶性和单调性求参数的值或取值范围例 1、已知函数()f x的定义域为1,1，且同时满足下列条件：（1）()f x是奇函数；（2）()f x在定义域上单调递减；（3）2(1)(1)0,fafa求a的取值范围.22(1)(1)(1)fafaf a，则221 111 1111aaaa ,01a1、设定义在2,2上的奇函数 f(x)在区间0,2上单调递减，若 f(1m)f(m)，求实数 m的取值范围分析：利用奇函数性质知 f(x)在2,2上是减函数，再结合单调性，脱去符号“f”，转化为关于 m 的不等式(组)解f f(x x)在 2,22,2上为奇函数，且在0,20,2
20、上单调递减，故f f(x x)在 2,22,2上为减函数，又f f(1(1m m)m m.即1 1m m3 3，2 2m m2 2，m m 1 12 2.解得1 1m m 0 时，f(x)8，则当x0，f(x)8，设x(，0)，则f(x)x5ax3bx3(x)5a(x)3b(x)36f(x)6862.所以f(x)在(，0)上的最小值是2.1、已知f(x)与g(x)都是定义在 R R 上的奇函数，若F(x)af(x)bg(x)3，且F(2)5，则F(2)1；解：(1)因为f(x)与g(x)都是奇函数，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)，所以F(x)F(x)af(x)bg(x)3af(x)bg
21、(x)36，所以F(x)6F(x)，所以F(2)6F(2)651.2、已知函数f(x)x3sinx的定义域为(1,1)，则满足不等式f(a21)f(12a)0 的a的取值范围是(0,1).解：因为f(x)x3sinx，x(1,1)是奇函数，且单调递增，所以f(a21)f(12a)0，即f(a21)f(2a1)1、设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 y=f（x）的图象关于直线x21对称，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=2、定义在x|xR，x1上的函数 f（x）满足 f（1-x）=-f（1+x），当 x1 时，f(x)x21，则函数 f（x）的图象与函数g(x)21co
22、s(x+21)(3x5)的图象的所有交点的横坐标之和等于3、设函数 f（x）对 xR 都满足 f（3+x）=-f（3-x），且方程 f（x）=0 恰有 6个不同的实数根，则这 6 个实数根的和为4 4、设函数 f（x）对 xR 都满足 f（3+x）=f（3-x），且函数 y=f（x）恰有 6 个不同的零点，则这 6 个零点的和为5、函数 f（x）在定义域 R 上不是常数函数，且 f（x）满足条件：对任意 xR，都有 f（2+x）=f（2-x），f（1+x）=-f（x），则 f（x）是（）A奇函数但非偶函数B偶函数但非奇函数C既是奇函数又是偶函数D是非奇非偶函数考点六、抽象函数奇偶性的判断例 1
23、、已知函数f(x)，xR R，若对任意实数a，b都有f(ab)f(a)f(b)求证：f(x)为奇函数证明设a0，则f(b)f(0)f(b)，f(0)0.又设ax，bx，则f(0)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)是奇函数变式迁移 3证明令x10，x2x，则得f(x)f(x)2f(0)f(x)又令x1x，x20，得f(x)f(x)2f(x)f(0)由、得f(x)f(x)，f(x)是偶函数例 2、已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对任意的 a、bR 都满足：f(ab)af(b)bf(a)，(1)求 f(0)、f(1)的值(2)证明 f(x)为奇函数解：(1)令 ab0，f(0
24、)0f(0)0f(0)0.令 ab1，f(1)1f(1)1f(1)2f(1)，f(1)0.(2)证明：a，bR，可赋 a、b 为某些特殊值令 ab1，则 f(1)0.f(x)f(1x)f(x)xf(1)f(x)0，f(x)为奇函数1、已知函数 f(x)对一切 x、yR 都有 f(xy)f(x)f(y)(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若 f(3)a，用 a 表示 f(12)分析：判定函数的奇偶性应凑 f(x)的形式，令 yx 即可解：(1)证明：由题意知，f(x)的定义域是 R，它关于原点对称 在 f(xy)f(x)f(y)中，令 yx，得 f(0)f(x)f(x)；令 xy0，得 f(0)
25、f(0)f(0)，f(0)0.把 f(0)0 代入 f(0)f(x)f(x)，得f(x)f(x)f(x)是奇函数(2)解：由 f(3)a，f(xy)f(x)f(y)，f(x)是奇函数，得 f(12)2f(6)4f(3)4f(3)4a.例 3 3、已知函数 f(x),当 x,yR 时，恒有 f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求证：f(x)是奇函数；（2）如果 xR+，f（x）0,并且 f(1)=-21,试求 f(x)在区间-2，6上的最值.（1）证明：函数定义域为 R，其定义域关于原点对称.f（x+y）=f（x）+f（y），令 y=-x,f(0)=f(x)+f(-x).令 x=y=0,f(
26、0)=f(0)+f(0),得 f(0)=0.f（x）+f（-x）=0，得 f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.（2）解：方法一设 x,yR+，f（x+y）=f（x）+f（y），f（x+y）-f（x）=f（y）.xR+，f（x）0,f(x+y)-f(x)0,f(x+y)f(x).x+yx,f(x)在（0，+）上是减函数.又f（x）为奇函数，f（0）=0，f（x）在（-,+）上是减函数.f（-2）为最大值，f(6)为最小值.f(1)=-21,f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2f（1）+f（2）=-3.所求 f(x)在区间-2，6上的最大值为 1，最小值为-3.
27、方法二设 x1x2,且 x1,x2R.则 f(x2-x1)=fx2+(-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).x2-x10,f(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0.即 f(x)在 R 上单调递减.f（-2）为最大值，f（6）为最小值.f（1）=-21，f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2f（1）+f（2）=-3.所求 f(x）在区间-2，6上的最大值为 1，最小值为-3.考点七、函数的周期性及应用例 1 1、设f(x)是定义在 R R 上的奇函数，且其图象关于直线x1 对称，当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；
28、(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2011)解：(1)因为yf(x)的图象关于x1 对称，且f(x)为奇函数，所以f(2x)f(x)因为f(x2)f(x)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，所以f(x)是以 4 为周期的周期函数(2)因为x0,2时，f(x)2xx2.设x2,0，则x0,2，又f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)2(x)(x)22xx2.当x2,4时，x42,0，所以f(x)f(x4)2(x4)(x4)22x8x28x16x26x8.即当x2,4时，f(x)x26x8.(3)由x0,2时，f(x)2xx2，可得f(0)0
29、，f(1)1，f(2)0，又x2,4时，f(x)x26x8，可得f(3)1，所以f(0)f(1)f(2)f(3)0，而f(x4)f(x)，所以f(0)f(1)f(2)f(2011)f(0)f(1)f(2)f(3)5030.1、设函数f(x)是定义在 R R 上的偶函数，且满足：f(x)f(2x)；当 0 x1 时，f(x)x2.(1)判断函数f(x)是否是周期函数；(2)求f(5.5)的值例 2 2、已知函数f(x)的定义域为 R R，且满足f(x2)f(x)(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当 0 x1 时，f(x)12x，求使f(x)12在0,2 014上的所有x
30、的个数(1)证明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，f(x)是以 4 为周期的周期函数(2)解当 0 x1 时，f(x)12x，设1x0，则 0 x1，f(x)12(x)12x.f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)12x，即f(x)12x.故f(x)12x(1x1)又设 1x3，则1x21，f(x2)12(x2)又f(x)是以 4 为周期的周期函数f(x2)f(x2)f(x)，f(x)12(x2)，f(x)12(x2)(1x3)f(x)12x，1x1，12x2，1x0)替换x，y，则f(xC2C2)f(xC2C2)2f(xC2)f(C2)又f(C2)0，所以f(x
31、C)f(x)0，即f(xC)f(x)；由的结论知f(x2C)f(xC)f(x)(C0)，所以f(x)是周期函数，2C就是它的一个周期点评：特殊值法是解决抽象函数问题常用的有效方法，通过所给关系式，对其中的变量进行有效赋值，注意借助具体模型思考，联系解题目标赋值1、设f(x)是定义在1,1上的偶函数，当x1,0时，f(x)g(2x)，且当x2,3时，g(x)2a(x2)4(x2)3.(1)求f(x)的表达式；(2)是否存在正实数a(a6)，使函数f(x)的图象最高点在直线y12 上，若存在，求出正实数a的值；若不存在，请说明理由【解析】(1)当x1,0时，2x2,3，f(x)g(2x)2a(x)
32、4(x)34x32ax，因为yf(x)在1,1是偶函数，所以当x0,1时，f(x)f(x)4x32ax.(2)命题等价于f(x)max12，由于f(x)为偶函数，故只需考虑 0 x1 的情况f(x)12x22a(0 x1，a6)由f(x)0，得xa6或xa6(舍去)因为a61，所以当 0 x1 时，f(x)0，即f(x)在0,1上单调递增所以f(x)maxf(1)12，所以a8.综上，存在a8 使得f(x)的图象的最高点在直线y12 上巩固练习：1、f(x)是定义在 R R 上的奇函数，且满足f(x2)f(x)，又当x(0,1)时，f(x)2x1，则f(log126)等于()A5B6C56D1
33、2解析f(log126)f(log26)f(log262)log262log232(0,1)，flog232 12，f(log126)12.答案D2定义在 R R 上的函数f(x)满足f(x)f(x2)，当x3,5时，f(x)2|x4|，则下列不等式一定成立的是()A32cosf32sinfBf(sin 1)f(cos 1)C6sinff(sin 2)解析当x1,1时，x43,5，由f(x)f(x2)f(x4)2|x44|2|x|，显然当x1,0时，f(x)为增函数；当x0,1时，f(x)为减函数，cos2312，sin233212，又f12 f12 f32，所以fcos23fsin23.答案
34、A4已知函数f(x)12x，x0，2x1，x0 时，f(x)2x1f(x)；当x0 时，f(x)12(x)12xf(x)当x0 时，f(0)0，故f(x)为奇函数，且f(x)12x在0，)上为增函数，f(x)2x1 在(，0)上为增函数，又x0 时 12x0，x0 时 2x10，故f(x)为 R R 上的增函数答案C1函数f(x)的定义域为 R R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则()Af(x)是偶函数Bf(x)是奇函数Cf(x)f(x2)Df(x3)是奇函数解析由已知条件，得f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)由f(x1)f(x1)，得f(x2)f(x)；由f(x1)f(x1)，
35、得f(x2)f(x)则f(x2)f(x2)，即f(x2)f(x2)，由此可得f(x4)f(x)，即函数f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以f(x3)f(x1)，即函数f(x3)也是奇函数答案D2设函数D(x)1，x为有理数，0，x为无理数，则下列结论错误的是()AD(x)的值域为0,1BD(x)是偶函数 CD(x)不是周期函数DD(x)不是单调函数解析显然D(x)不单调，且D(x)的值域为0,1，因此选项 A、D 正确若x是无理数，x，x1 是无理数；若x是有理数，x，x1 也是有理数D(x)D(x)，D(x1)D(x)则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B 正确，C 错误答案C3f(
36、x)2xsinx为定义在(1,1)上的函数，则不等式f(1a)f(12a)0 的解集是_.解析f(x)在(1,1)上是增函数，且f(x)为奇函数 于是原不等式为f(1a)f(2a1)等价于11a1，12a11，1a2a1.解得23a1.答案23，14若定义域为 R R 的奇函数f(x)满足f(1x)f(x)，则下列结论：f(x)的图象关于点0,21对称；f(x)的图象关于直线x12对称；f(x)是周期函数，且 2 是它的一个周期；f(x)在区间(1,1)上是单调函数其中所有正确的序号是_解析由函数为奇函数且满足f(1x)f(x)，得f(x2)f(x)，又f1x12 fx12，f12xf12x，
37、所以正确答案5若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.解析由题意知，函数f(x)x2|xa|为偶函数，则f(1)f(1)，1|1a|1|1a|，a0.答案06已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.若g(x)f(x)2，则g(1)_.解析因为yf(x)x2是奇函数，且x1 时，y2，所以当x1 时，y2，即f(1)(1)22，得f(1)3，所以g(1)f(1)21.答案1三、解答题(共 25 分)7(12 分)已知f(x)是定义在 R R 上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)yf(x)xf(y)(1)求f(1)，f(1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性解(
38、1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)yf(x)xf(y)，所以令xy1，得f(1)0，令xy1，得f(1)0.(2)令y1，有f(x)f(x)xf(1)，代入f(1)0 得f(x)f(x)，所以f(x)是(，)上的奇函数8(13 分)设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间2,0上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解由偶函数性质知f(x)在0,2上单调递增，且f(1m)f(|1m|)，f(m)f(|m|)，因此f(1m)f(m)等价于21m2，2m2，|1m|m|.解得：120，则f(x)在2，)上是增函数，当a0 时，由f(x)2x3ax20，解得x3a2，由f
39、(x)在2，)上是增函数，可知3a22.解得 00，若方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为()A(，0B0,1)C(，1)D0，)解析：当x0 时，因为f(x)f(x1)，所以当x0 时，f(x)是以 1 为周期的函数，又当 0 x1 时，x10，所以f(x)f(x1)21x12(12)x1.方程f(x)xa的根的个数可看成是两个函数yf(x)与yxa的图象的交点个数，画出函数的图象，如图，由图象可知，实数a的取值范围是(，1)答案：C24已知函数 f（x）是 R 上的单调增函数且为奇函数，则 f（1）的值（）A恒为正数B恒为负数C恒为0D可正可负6已知函数f(x)
40、在(1,1)上有定义，121f，当且仅当 0 x1 时，f(x)0，且对任意x、y(1,1)都有f(x)f(y)xyyxf1，试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1,1)上单调递减证明(1)函数f(x)的定义域为(1,1)，再由f(x)f(y)xyyxf1，令xy0，得f(0)0，令yx，得f(x)f(x)fxx1x2f(0)0，f(x)f(x)，即f(x)为奇函数(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减令 0 x1x21，则f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)fx2x11x1x2.0 x1x20,1x1x20，即x2x11x2x10.又(x2x1)(1x2x1)(x21)(x11)0，x2x11x2x1，0 x2x11x2x11.由题意，知fx2x11x1x20，即f(x2)f(x1)，f(x)在(0,1)上单调递减，又f(x)为奇函数且f(0)0，f(x)在(1,1)上单调递减.