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1、函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析函数的奇偶性定义：1偶函数：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数2奇函数：一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；3、可逆性：是偶函数；奇函数；4、等价性：；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。 8、如果一个奇函数f
2、(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。 三、关于奇偶函数的图像特征一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；即：f(x)为奇函数f(x)的图像关于原点对称 点（x,y）（-x,-y） 偶函数的图像关于轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于轴对称，那么这个函数是偶函数。即： f(x)为偶函数f(x)的图像关于Y轴对称 点（x,y）（-x,y） 奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则
3、在它的对称区间上单调递减）。2函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系(1)若奇函数f(x)在a，b上是增函数，且有最大值M，则f(x)在b，a上是增函数，且有最小值M.(2)若偶函数f(x)在(，0)上是减函数，则f(x)在(0，)上是增函数五、关于函数奇偶性的简单应用1、函数的对称性如果函数f(x)满足f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)，则函数f(x)的图象关于直线_对称一般的，若f(ax)f(bx)，则函数f(x)的对称轴方程是_.两个函数与 的图象关于直线对称.2、函数的周期性函数的周期性的定义：设函数yf(x)，xD，若存在非零常数T，使得对任意的xD都有_，则函数f(x)为周期
4、函数，T为yf(x)的一个周期(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期(3)周期函数不一定有最小正周期，若T0是f(x)的周期，则kT(kN)也一定是f(x)的周期若函数f(x)对定义域中任意x满足f(xa)f(x)或f(xa)(a0)，则函数f(x)是周期函数，它的一个周期是_.若,则函数的图象关于点对称;六、函数的奇偶性的判断函数奇偶性的因素有两个：定
5、义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。判断函数奇偶性的方法：（1）、利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、相等，判断步骤如下： 1、若定义域不对称，则为非奇非偶函数； 若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能，到底怎样，取决于数量关系怎样成立？ 若成立，则为偶函数；若成立，则为奇函数； 若成立，则为既是奇函数也是偶函数；若都不成立，则为非奇非偶函数。2讨论函数奇偶性时，注意定义域优先原则3由奇偶函数的图象的对称性，只要知道函数在原点的一侧区间上的有关性质，就可得出函数在其 对称区间上的性质4若T是f(x)的一个周期，
6、则kT(k0，kZ)也是f(x)的周期5(1)若函数f(x)存在两条平行于y轴的对称轴，则函数f(x)是周期函数；若函数f(x)具有奇偶性，又 有一条平行于y轴的对称轴，则函数f(x)是周期函数6注意函数性质的逆向应用（2）、图像法： f(x)为奇函数f(x)的图像关于原点对称 点（x,y）（-x,-y） f(x)为偶函数f(x)的图像关于Y轴对称 点（x,y）（-x,y） （3） 、特值法：根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断 函数奇偶性。 （4） 、性质法 （5） 、函数奇、偶性的运算：利用已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空
7、集）： 1)若f(x)与g(x)都是奇函数，则在f(x)与g(x)的定义域的公共区间上， f(x)g(x)，f(x)g(x)都是奇函数，f(x)g(x)与为偶函数2) 若f(x)与g(x)都是偶函数，则在f(x)与g(x)的定义域的公共区间上， f(x)g(x)，f(x)g(x)，f(x)g(x)，都是偶函数3）奇函数与偶函数的和（差）既非奇函数也非偶函数； 4)若f(x)与g(x)中一个为奇函数，另一个为偶函数，则在f(x)与g(x)的定义域的公共区间上， f(x)g(x)，都为奇函数3若yf(x)为奇函数，且yf(x)在x0处有意义，则f(0)0.性质 1、偶函数没有反函数（偶函数在定义域
8、内非单调函数），奇函数的反函数仍是奇函数。 2、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义内关于原点对称的两个区间上单调性相同。 3、对于F（x）=fg(x)：若g(x)是偶函数且f(x)是偶函数，则Fx是偶函数 若g(x)奇函数且f(x)是奇函数，则F（x）是奇函数 若g(x)奇函数且f(x)是偶函数，则F（x）是偶函数 5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称案例分析：考点一、判断函数的奇偶性例1判断下列函数是否是偶函数（1） （2）（3） f (x) = x + x3 +x5； （4）f (x) = x2 +1；（5）f (x) = x + 1； （6）f (x)
9、 = x2，x1，3；（7）f (x) = 0.变式训练1、判断下列函数的是否具有奇偶性：(1) f (x) = x + x3； (2) f (x) = x2；(3) h (x) = x3 +1； (4) k (x) =，x1，2；(5) f (x) = (x + 1) (x 1)； (6) g (x) = x (x + 1)；(7) h (x) = x +； (8) k (x) =.2、下面四个结论中，正确命题的个数是()偶函数的图像一定与y轴相交；函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)0；偶函数的图像关于y轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)0(xR)A1 B2 C3 D4
10、考点二、分段函数的奇偶性解析：分别讨论每一个区间与其对称区间上的对称性，是否符合奇偶性的定义例1、判断下列函数的奇偶性：分析：先验证函数定义域的对称性，再考察解：（1）0且=，它具有对称性因为，所以是偶函数，不是奇函数（2）当0时，0，于是当0时，0，于是综上可知，在RR+上，是奇函数例2、判断函数f(x)的奇偶性 思路点拨：分x0或x0两种情况计算f(x)，然后再判断f(x)与f(x)的关系 解：函数f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0， 则f(x)(x)33(x)21x33x21(x33x21)f(x)当x0时，x0，则f(x)(x)33(x)21x33x21(x
11、33x21)f(x)由知，当x(，0)(0，)时，都有f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数【名师点拨】分段函数的奇偶性应分段证明f(x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性也可根据图象判定1、如果函数f(x)，其奇偶性怎样？解：当x0时，f(x)x33x21，x0，f(x)(x)33(x)21x33x21f(x) 当x0时，f(x)x33x21.x0，f(x)(x)33(x)21x33x21f(x) 综上可得f(x)f(x) f(x)为偶函数考点二、利用奇偶函数图像的对称性质由偶函数的定义可得：偶函数的图像关于y轴对称，反过来， 若一个函数的图像关于y轴对
12、称，则这个函数是偶函数. 由奇函数的定义可得：奇函数的图像关于原点对称，反过来， 若一个函数的图像关于原点对称，则这个函数是奇函数例1、设奇函数的定义域为，若当时， 的图象如右图,则不等式的解是 例2如图，给出了奇函数y = f (x)的局总图象，求f ( 4).xyO42例3如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3) xyO 32 1的大小.1奇函数yf(x)(xR)的图象必过点()A(a，f(a)B(a，f(a) C(a，f(a) D(a，f()解析：f(x)是奇函数，f(a)f(a)，即自变量取a时，函数值为f(a)，故图象必过点(a，f(a)答案：C
13、2若函数yf(x)是偶函数，其图象与x轴有两个交点，则方程f(x)0的所有实根之和是() A2 B1 C0 D1解析：偶函数图象关于y轴对称，f(x)与x轴的两个交点关于y轴对称，若一根为x1，则另一根必为x1，故f(x)0的所有实根之和为0.答案：C3已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)() A2 B2 C98 D98解析：f(x4)f(x)，f(7)f(34)f(3)f4(1)f(1) 又f(x)f(x)，f(1)f(1)2122，f(7)2，故选A. 答案：A考点三、根据奇偶性求函数解析式例3、已知f(x)是定义在R上的奇函数
14、，当x0时，f(x)2x23x1，求f(x)的解析式分析：由奇函数的定义知f(0)0，再由f(x)f(x)计算当x0时f(x)的表达式，构成定义在R上的奇函数解：f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x) 当x0，f(x)f(x)2x23x1. 又奇函数f(x)在原点的定义，f(0)0. f(x)1、设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)()A3 B1 C1 D3解析本题主要考查函数的奇偶性以及函数值的求法f(1)f(1)2(1)2(1)3， 故选A.2、已知f(x)是R上的奇函数，且当x(0，)时，f(x)x(1)，求当x(，0)时f(x)的解析式解：设x
15、(，0)，则x(0，)由已知得f(x)x(1)x(1)f(x)是R上的奇函数，f(x)f(x)，f(x)f(x)x(1)即f(x)x(1)，当x(，0)时，f(x)的解析式为f(x)x(1)考点三、利用函数的奇偶性和单调性求参数的值或取值范围例1、已知函数的定义域为，且同时满足下列条件： （1）是奇函数；（2）在定义域上单调递减；（3） 求的取值范围. ，则,1、设定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围分析：利用奇函数性质知f(x)在2,2上是减函数，再结合单调性，脱去符号“f”，转化为关于m的不等式(组)解f(x)在2,2上为奇函数，且
16、在0,2上单调递减，故f(x)在2,2上为减函数，又f(1m)f(m)即解得1m0时，f(x)8，则当x0，f(x)8，设x(，0)，则f(x)x5ax3bx3(x)5a(x)3b(x)36f(x)6862.所以f(x)在(，0)上的最小值是2.1、 已知f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数，若F(x)af(x)bg(x)3，且F(2)5，则F(2)1；解：(1)因为f(x)与g(x)都是奇函数，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)，所以F(x)F(x)af(x)bg(x)3af(x)bg(x)36，所以F(x)6F(x)，所以F(2)6F(2)651.2、已知函数f(x)x3sinx的
17、定义域为(1,1)，则满足不等式f(a21)f(12a)0的a的取值范围是(0,1).解：因为f(x)x3sinx，x(1,1)是奇函数，且单调递增，所以f(a21)f(12a)0，即f(a21)f(2a1)1、设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x对称， 则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=2、定义在x|xR，x1上的函数f（x）满足f（1-x）=-f（1+x），当x1时，f(x)，则函数f（x）的图象与函数g(x)cos(x+)(3x5)的图象的所有交点的横坐标之和等于3、 设函数f（x）对xR都满足f（3+x）=-f（3-x），且方程f（x）=0恰
18、有6个不同的实数根， 则这6个实数根的和为 4、 设函数f（x）对xR都满足f（3+x）=f（3-x），且函数y=f（x）恰有6个不同的零点，则这6个零点 的和为 5、 函数f（x）在定义域R上不是常数函数，且f（x）满足条件：对任意xR，都有f（2+x）=f（2-x）， f（1+x）=-f（x），则f（x）是（） A奇函数但非偶函数 B偶函数但非奇函数 C既是奇函数又是偶函数 D是非奇非偶函数考点六、抽象函数奇偶性的判断例1、已知函数f(x)，xR，若对任意实数a，b都有f(ab)f(a)f(b)求证：f(x)为奇函数 证明设a0，则f(b)f(0)f(b)，f(0)0.又设ax，bx，则f
19、(0)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)是奇函数变式迁移3证明令x10，x2x，则得f(x)f(x)2f(0)f(x)又令x1x，x20，得f(x)f(x)2f(x)f(0)由、得f(x)f(x)，f(x)是偶函数例2、已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a、bR都满足：f(ab)af(b)bf(a)，(1)求f(0)、f(1)的值(2)证明f(x)为奇函数解：(1)令ab0，f(0)0f(0)0f(0)0. 令ab1，f(1)1f(1)1f(1)2f(1)， f(1)0.(2)证明：a，bR，可赋a、b为某些特殊值 令ab1，则f(1)0. f(x)f(1x)f(x)x
20、f(1)f(x)0， f(x)为奇函数1、已知函数f(x)对一切x、yR都有f(xy)f(x)f(y)(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(3)a，用a表示f(12)分析：判定函数的奇偶性应凑f(x)的形式，令yx即可解：(1)证明：由题意知，f(x)的定义域是R，它关于原点对称在f(xy)f(x)f(y)中，令yx，得f(0)f(x)f(x)；令xy0，得f(0)f(0)f(0)，f(0)0.把f(0)0代入f(0)f(x)f(x)，得f(x)f(x)f(x)是奇函数(2)解：由f(3)a，f(xy)f(x)f(y)，f(x)是奇函数，得f(12)2f(6)4f(3)4f(3)4a.例3
21、、已知函数f(x),当x,yR时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求证：f(x)是奇函数；（2）如果xR+，f（x）0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间-2，6上的最值.（1）证明： 函数定义域为R，其定义域关于原点对称.f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.（2）解：方法一 设x,yR+，f（x+y）=f（x）+f（y），f（x+y）-f（x）=f（y）.xR+，f（x）0,f(x+y)-f(x)0,f(x+
22、y)f(x).x+yx,f(x)在（0，+）上是减函数.又f（x）为奇函数，f（0）=0，f（x）在（-,+）上是减函数.f（-2）为最大值，f(6)为最小值.f(1)=-,f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2f（1）+f（2）=-3.所求f(x)在区间-2，6上的最大值为1，最小值为-3.方法二 设x1x2,且x1,x2R.则f(x2-x1)=fx2+(-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).x2-x10,f(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0.即f(x)在R上单调递减.f（-2）为最大值，f（6）为最小值.f（1）=-， f（-2）=
23、-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2f（1）+f（2）=-3.所求f(x）在区间-2，6上的最大值为1，最小值为-3.考点七、函数的周期性及应用 例1、设f(x)是定义在R上的奇函数，且其图象关于直线x1对称，当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2011)解：(1)因为yf(x)的图象关于x1对称，且f(x)为奇函数，所以f(2x)f(x)因为f(x2)f(x)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数(2)因为x0,2时，f(x)
24、2xx2.设x2,0，则x0,2，又f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)2(x)(x)22xx2.当x2,4时，x42,0，所以f(x)f(x4)2(x4)(x4)22x8x28x16x26x8.即当x2,4时，f(x)x26x8.(3)由x0,2时，f(x)2xx2，可得f(0)0，f(1)1，f(2)0，又x2,4时，f(x)x26x8，可得f(3)1，所以f(0)f(1)f(2)f(3)0，而f(x4)f(x)，所以f(0)f(1)f(2)f(2011)f(0)f(1)f(2)f(3)5030.1、设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足：f(x)f(2x)；当0x1时，f(x)x2
25、.(1)判断函数f(x)是否是周期函数；(2)求f(5.5)的值例2、已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x2)f(x)(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0x1时，f(x)x，求使f(x)在0,2 014上的所有x的个数(1)证明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)， f(x)是以4为周期的周期函数(2)解当0x1时，f(x)x，设1x0，则0x1， f(x)(x)x.f(x)是奇函数，f(x)f(x)， f(x)x，即f(x)x.故f(x)x(1x1) 又设1x3，则1x21，f(x2)(x2) 又f(x)是以4为周期的周期函数 f(x2)
26、f(x2)f(x)，f(x)(x2)，f(x)(x2)(1x0)替换x，y，则f(x)f(x)2f(x)f()又f()0，所以f(xC)f(x)0，即f(xC)f(x)；由的结论知f(x2C)f(xC)f(x)(C0)，所以f(x)是周期函数，2C就是它的一个周期点评：特殊值法是解决抽象函数问题常用的有效方法，通过所给关系式，对其中的变量进行有效赋值，注意借助具体模 型思考，联系解题目标赋值1、设f(x)是定义在1,1上的偶函数，当x1,0时，f(x)g(2x)，且当x2,3时，g(x)2a(x2)4(x2)3.(1)求f(x)的表达式；(2)是否存在正实数a(a6)，使函数f(x)的图象最高
27、点在直线y12上，若存在，求出正实数a的值；若不存在， 请说明理由【解析】(1)当x1,0时，2x2,3，f(x)g(2x)2a(x)4(x)34x32ax，因为yf(x)在1,1是偶函数，所以当x0,1时，f(x)f(x)4x32ax.(2)命题等价于f(x)max12，由于f(x)为偶函数，故只需考虑0x1的情况f (x)12x22a (0x1，a6)由f (x)0，得x或x(舍去)因为1，所以当0x1时，f (x)0，即f(x)在0,1上单调递增所以f(x)maxf(1)12，所以a8.综上，存在a8使得f(x)的图象的最高点在直线y12上巩固练习：1、f(x)是定义在R上的奇函数，且满
28、足f(x2)f(x)，又当x(0,1)时，f(x)2x1，则f(log6)等于 ()A5 B6 C D解析f(log6)f(log26)f(log262)log262log2(0,1)，f，f(log6).答案D2定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)，当x3,5时，f(x)2|x4|，则下列不等式一定成立的是 ()A Bf(sin 1)f(cos 1) Cf(sin 2)解析当x1,1时，x43,5，由f(x)f(x2)f(x4)2|x44|2|x|，显然当x1,0时，f(x)为增函数；当x0,1时，f(x)为减函数，cos，sin ，又fff，所以ff.答案A4已知函数f(x)则该
29、函数是 ()A偶函数，且单调递增 B偶函数，且单调递减 C奇函数，且单调递增 D 奇函数，且单调递减解析当x0时，f(x)2x1f(x)；当x0时，f(x)12(x)12xf(x)当x0时，f(0)0，故f(x)为奇函数，且f(x)12x在0，)上为增函数，f(x)2x1在(，0)上为增函数，又x0时12x0，x0时2x10，故f(x)为R上的增函数答案C1函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则 ()Af(x)是偶函数 Bf(x)是奇函数Cf(x)f(x2) Df(x3)是奇函数解析由已知条件，得f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)由f(x1)f(x1)，得f(
30、x2)f(x)；由f(x1)f(x1)，得f(x2)f(x)则f(x2)f(x2)，即f(x2)f(x2)，由此可得f(x4)f(x)，即函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(x3)f(x1)，即函数f(x3)也是奇函数答案D2设函数D(x)则下列结论错误的是 ()AD(x)的值域为0,1 BD(x)是偶函数CD(x)不是周期函数 DD(x)不是单调函数解析显然D(x)不单调，且D(x)的值域为0,1，因此选项A、D正确若x是无理数，x，x1是无理数；若x是有理数，x，x1也是有理数D(x)D(x)，D(x1)D(x)则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误答案C3f(x)
31、2xsin x为定义在(1,1)上的函数，则不等式f(1a)f(12a)0的解集是 _.解析f(x)在(1,1)上是增函数，且f(x)为奇函数于是原不等式为f(1a)f(2a1)等价于解得a1.答案4若定义域为R的奇函数f(x)满足f(1x)f(x)，则下列结论：f(x)的图象关于点对称；f(x)的图象关于直线x对称；f(x)是周期函数，且2是它的一个周期；f(x)在区间(1,1)上是单调函数其中所有正确的序号是_解析由函数为奇函数且满足f(1x)f(x)，得f(x2)f(x)，又ff，ff，所以正确答案5若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.解析由题意知，函数f(x)x2|xa|为
32、偶函数，则f(1)f(1)，1|1a|1|1a|，a0.答案06已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.若g(x)f(x)2，则g(1)_.解析因为yf(x)x2是奇函数，且x1时，y2，所以当x1时，y2，即f(1)(1)22，得f(1)3，所以g(1)f(1)21.答案1三、解答题(共25分)7(12分)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)yf(x)xf(y)(1)求f(1)，f(1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性解(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)yf(x)xf(y)，所以令xy1，得f(1)0，令xy1，得f(1)0.(2)令y1，有f(x)f(x)xf(1)，代入f(1)0得f(x)f(x)，所以f(x)是(，)上的奇函数8(13分)设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间2,0上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解由偶函数性质知f(x)在0,2上单调递增，且f(1m)f(|1m|)，f(m)f(|m|)，因此f(1m)f(m)等价于解得：0，则f(x)在2，)上是增函数，