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1、台州市2022学年第一学期高一年级期末质量评估试题数学2023.02一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简集合，根据元素与集合的关系可得答案.【详解】因为，所以.故选：D.2. 函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】依题意可得，求解即可.【详解】依题意可得，解得，所以函数的定义域是.故选：B.3. 已知扇形弧长为，圆心角为，则该扇形面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据扇形弧长及面积公式计算即可.【
2、详解】设扇形的半径为，则，解得，所以扇形面积为故选：C.4. “”的一个充分不必要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解不等式得或，找“”的一个充分不必要条件，即找集合 或的真子集，从而选出正确选项.【详解】由解得或，找“”的一个充分不必要条件，即找集合或的真子集， 或， “”的一个充分不必要条件是.故选：D.5. 已知指数函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的图象与性质讨论的关系，再利用一次函数的性质得其图象即可.【详解】由指数函数的图象和性质可知：，若均为正数，则，根据一次函数的图象和性
3、质得此时函数图象过一、二、三象限，即C正确；若均为负数，则，此时函数过二、三、四象限，由选项A、D可知异号，不符合题意排除，选项B可知图象过原点则也不符合题意，排除.故选：C6. 某学校举办了第60届运动会，期间有教职工的趣味活动“你追我赶”和“携手共进”数学组教师除5人出差外，其余都参与活动，其中有18人参加了“你追我赶”，20人参加了“携手共进”，同时参加两个项目的人数不少于8人，则数学组教师人数至多为（ ）A. 36B. 35C. 34D. 33【答案】B【解析】【分析】利用韦恩图运算即可.【详解】 如图所示，设两种项目都参加的有人，“你追我赶”为集合A，“携手共进”为集合B，则数学组共
4、有人，显然人.故选：B7. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先证明对于，均有，即可判断.【详解】对于，均有证明如下：因为，所以，所以，所以，又，所以.故选：B8. 已知函数，若关于x的方程在区间上有两个不同的实根，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造新函数，根据根的情况分类讨论可求a的取值范围.【详解】设，因为时，不合题意，故.，即；若，即时，在区间上单调递减，至多有一个零点，不符合题意，舍.若，即时，在区间上单调递增，至多有一个零点，不符合题意，舍.若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，从而只需，即，解得，即.故选：
5、A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知角的终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】根据三角函数的定义求得，结合诱导公式确定正确答案.【详解】角的终边经过点，故AB正确、CD错误，故选：AB10. 已知，都是定义在上的增函数，则（ ）A. 函数一定是增函数B. 函数有可能是减函数C. 函数一定是增函数D. 函数有可能是减函数【答案】ABD【解析】【分析】根据单调性的定义即可判断各选项.【详解】对于A，设，设，则又由都是定义在上的增函数，则且，所
6、以，故函数一定是增函数，A正确；对于B，设，此时为减函数，B正确；对于C，设，此时，在上为减函数，C错误；对于D，当时，函数为减函数，D正确.故选：ABD.11. 已知函数则下列选项正确的是（ ）A. 函数在区间上单调递增B. 函数值域为C. 方程有两个不等的实数根D. 不等式解集为【答案】BC【解析】【分析】画出的图象，结合图象即可判断各选项.【详解】 画出的图象，如上图所示.令，解得或，所以的图象与轴交于.对于A，由图象可知，函数在区间上不单调，A错；对于B，由图象可知，函数的值域为，B对；对于C，由图象可知，方程，即有两个不等的实数根，C对；对于D，由图象可知，当时，所以，由可得.令，解
7、得或；令，解得或，所以，由图象可知，不等式解集为，D错.故选：BC12. 我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数若的图象关于点成中心对称图形，则以下能成立的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】AC【解析】【分析】直接代入计算得，再利用其奇函数的性质得到方程组，对赋值一一分析即可.【详解】令，由得，当时，得，则A正确，B错误；当时，得，则C正确，D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 计算：_【答案】1【解析】【分析】根据对数的运算法则及对数的性质计算可得.【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查对数的运算及对数的性质，属于基
8、础题.14. 把函数的图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式为_.【答案】【解析】【详解】解析过程略15. 定义在上的函数满足，则_【答案】【解析】【分析】根据题意，分别令，得到，在令，求得，进而求得，即可求得的值.【详解】因为，当时，可得；当时，可得；当时，可得；当时，可得，所以，又因为，当时，可得；当时，可得；当时，可得；当时，可得，由，可得，又因为，所以，所以.故答案为：16. 函数的最小值为0，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】由，根据题意得到当时，的最小值为，利用三角函数的性质，得到不等式组，进而求得的最小值.【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立，又因为的最小值为，所以当时，
9、的最小值为，因为，所以，所以，所以，又因为，所以当时，能使得有最小值，所以的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知是锐角，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意，由同角的平方关系即可得到结果；（2）根据题意，由二倍角公式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由，可得，所以；【小问2详解】因，且，18. 已知集合，（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据交集的定义，即可求得本题答案；（2）由，得，利用分类讨论，考虑和两种情况，分别求出实数
10、a的取值范围，即可得到本题答案.【小问1详解】若，则，因为，所以；【小问2详解】由题，得，由，得，若，则，得，若，即时，则有，或，得或，综上，19. 已知函数的图象最高点与相邻最低点N的距离为4（1）求函数的解析式；（2）设，若，求函数的单调减区间【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由题意得，从而可得，则，再由求得，从而可求得解析式；（2）由（1）可得，化简得，由可得，从而令，求解即可得减区间.【小问1详解】由题意得，即，所以，则，又，得，所以；【小问2详解】，所以，由，令，则，所以的单调递减区间为20. 已知函数，且（1）若，求方程的解；（2）若存在，使得不等式对于任意的恒成立，求实
11、数a的取值范围【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）设，从而可得，得，求解即可；（2）由题意可得，设，则，解法一讨论、判断单调性，从而求解；解法二，参变分离后，结合二次函数的单调性求解即可.【小问1详解】当时，设，则，即，得，所以方程解为：，；【小问2详解】因为，所以当或时，的最小值为9，故设，则，若，在上单调递增，则，故，不合舍去若，任取，则，所以当时，即；当时，即，所以在单调递减，在单调递增，当时，在上单调递增，不合舍去；当时，即；当时，在上单调递减，可得，综上，另解：可得，即在时恒成立，而在上单调递增，在上单调递减，所以当时，最大值为9，所以21. 某工厂需要制作1200套桌椅（
12、每套桌椅由1张桌子和2张椅子组成）工厂准备安排100个工人来完成，现将这100个工人分成两组，一组只制作桌子，另一组只制作椅子已知每张桌子和每张椅子制作的工程量分别为7人1天和2人1天若两组同时开工，问如何安排两组人数才能使得工期最短？【答案】安排63或64人制作桌子工期最短【解析】【分析】设x人制作桌子，则人制作椅子，分别得到完成桌子和完成椅子的时间，再得到全部桌椅完成时间的函数表达式，求出桌子和椅子完成时间相同时的值，从而得到分段函数表达式，再求出其最小值即可.【详解】设x人制作桌子，则人制作椅子由已知，完成桌子时间为，完成椅子时间为，全部桌椅完成时间为由，得，且，因为，当，单调递减，最小
13、值为，当，因为在上单调递减，且，所以在单调递增，最小值为，则，所以安排63或64人制作桌子工期最短22. 已知函数对于任意的，都有（1）请写出一个满足已知条件的函数；（2）判断函数的单调性，并加以证明；（3）若，求的值域【答案】（1）（答案不唯一） （2）单调递增，证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）只需找到符合题意的函数解析式即可；（2）设任意的且，依题意可得，即可得解；（3）设，则，求出，即可得到的解析式，从而得到的解析式，再根据二次函数的性质计算可得.【小问1详解】不妨设，则，符合题意；【小问2详解】在上单调递增，证明如下：设任意的且，则，所以，即，所以在上单调递增；【小问3详解】由（2）知，在上单调递增，设，则，则，设，则在上单调递增，又，故，满足，值域为