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1、上海市徐汇区2022-2023学年高一上学期期末数学试题高一数学考生注意：1本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分120分2每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息3用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分一、填空题（本大题共有12题，满分48分）考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1. 已知全集，集合，则_【答案】【解析】【分析】先求解不等式，再求集合A的补集.【详解】由题可得所以.故答案为：.2. 陈述句：
2、“且”的否定形式是_【答案】或【解析】【分析】利用陈述句的否定可得出结论.【详解】由已知条件可知，陈述句且的否定形式为“或”.故答案为：或.3. 设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】【分析】设，根据充分条件的定义结合包含关系得出实数m的取值范围.【详解】设，因为是的充分条件，所以集合是集合的子集，所以.故答案为：4. 已知方程的两个根为、，则_【答案】【解析】【分析】根据韦达定理就可求解.【详解】由于，故方程有两个不相等的实数根、，由韦达定理可得，所以，故答案：5. 当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为_【答案】【解析】【分析】根据幂函数恒过定点即可求解.【详解
3、】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点,故答案为：6. 不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】由于，故将化为，解一元二次不等式即得答案.【详解】由于，所以不等式即不等式，即，解得或，故不等式的解集为，故答案为：7. 已知（a为常数，且，），则_（用a表示）【答案】【解析】【分析】先利用指数式和对数式互化得到所以，再利用换底公式得到，然后利用对数运算求解.【详解】因为，所以，则，所以，故答案为：8. 若函数是偶函数，则正数a的值为_【答案】【解析】【分析】由函数为偶函数可得，化简整理即可得解.【详解】函数的定义域为，因为函数是偶函数，所以，即，所以，所以，所以.故答案为：.9. 若关
4、于x的不等式在R上有解，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】分析】根据绝对值三角不等关系可得，即可根据有解转化成最值问题即可求解.【详解】由于，当时，即时等号成立，故要使不等式在R上有解，只需要，即，故答案为：10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，其中用直线l：（）截这个正方形，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点D部分的面积记为S，将S表示为t的函数，则其解析式为_【答案】【解析】【分析】讨论当直线在左侧时，利用三角形的面积公式可求解；当直线在的右侧时，利用间接法即可求解.【详解】由题意可知为等腰直角三角形，,当直线在的左侧时，即直线与正方形的交点在上时，即当 时，直线的左侧为
5、等腰直角为三角形，此时，当直线与正方形的交点在上时，即，直线的左侧为五边形，则，所以S表示为t的函数解析式为，故答案为：.11. 已知函数的表达式为，若且，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据分段函数图像结合已知得出、的范围，在根据，得出、的关系，即得出，再根据二次函数在区间上的值域得出答案.【详解】作出函数的图像如下：若且，则当，得，则，且，即，则，令，则且，即，故答案为：.12. 已知函数（，）至多有一个零点，则的最小值为_【答案】3【解析】【分析】由题意可得到满足的不等式关系，将变形并结合，推出，再利用换元，变形为，继而利用基本不等式求得最值.【详解】由题意知,故 ，设，则 ，当
6、且仅当，即时取等号，此时，符合题意，故的最小值为3，故答案：3【点睛】关键点点睛：根据题意可得到满足的不等式关系，要求的最小值，关键是将变形并结合，推出，从而利用换元，变形为，继而利用基本不等式求得最值.二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题卷的相应编号上，将代表正确选项的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分13. 如果，那么下列不等式中成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据不等式性质可判断A，D；举反例，可判断B，C.【详解】对于A，因为，则，A正确；对于B，不妨取，满足，但是，B不成立；对于C，不妨取，满足，但是，C不
7、成立；对于D，因为，则，故不成立，故选：A14. 香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据新定义结合对数运算求解即可【详解】由题意可知，故选：C.15. 已知函数是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若，则满足不等式的x的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将等价于和，根据奇函数以及
8、单调性即可求解.【详解】由是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若可知：且在也严格单调递减，故当和时，当和时，故等价于和，解得，故选：B16. 若集合A同时具有以下三个性质：（1），；（2）若，则；（3）若且，则则称A为“好集”已知命题：集合是好集；对任意一个“好集”A，若，则以下判断正确的是（ ）A. 和均为真命题B. 和均为假命题C. 为真命题，为假命题D. 为假命题，为真命题【答案】D【解析】【分析】根据“好集”的定义逐一判断即可.【详解】对于，因为，而，所以集合不是好集，故错误；对于，因为集合为“好集”，所以，所以，故正确，所以为假命题，为真命题.故选：D.三、解答题（本大题共有5题，满
9、分56分）解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤17. 已知集合，集合（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据分式不等式的解法求出集合，再根据交集的定义即可得解；（2）分和两种情况讨论，考查集合端点间的大小关系，求出实数的取值范围.【小问1详解】由，解得，所以，若，则，所以；【小问2详解】当时，则满足题意，当时，因为，所以，解得，综上实数的取值范围是.18. 已知函数的表达式为（1）若关于x的不等式的解集为，求实数k的值；（2）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）根据关于x的不
10、等式的解集为列出方程，解之即可求解；（2）关于的一次函数大于零恒成立，只需两端点的值大于零即可，解不等式组即可求解.【小问1详解】因为关于x的不等式的解集为，所以，解得：，所以实数的值为.【小问2详解】因为当时，不等式恒成立，则，即，解得：或，所以实数的取值范围为或.19. 高铁体现了中国装备制造业的水平，是一张亮丽的名片已知甲、乙两个城市相距，假设高铁列车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过高铁列车每小时运输成本（元）由可变部分和固定部分组成，可变部分每小时运输成本与速度x（）的平方成正比（其中比例系数为），固定部分每小时运输成本为10125元（1）写出全程运输成本y（元）关于速度x（）的函数表
11、达式，并指出函数的定义域；（2）当高铁列车时速大约为多少（）时，全程运输成本（元）最小【答案】（1）详见解析； （2）225【解析】【分析】（1）由题意得到高铁行驶的时间和每小时的运输成本即可得到结果；（2）根据（1）的结果，利用基本不等式求解.【小问1详解】解：由题意得：高铁行驶的时间为小时，每小时的运输成本为 元，所以全程运输成本y（元）关于速度x（）的函数表达式为：，函数的定义域；【小问2详解】，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以当高铁列车时速大约225（）时，全程运输成本（元）最小.20. 已知函数的表达式为（1）当，时，证明：函数在区间上是严格增函数；（2）当，时，求函数在区间上的最
12、大值【答案】（1）证明见解析. （2）时，函数最大值为；时，函数最大值为0.【解析】【分析】（1）根据函数单调性定义即可证明结论；（2）讨论二次函数图象的对称轴和所给区间中点处值的大小关系，即可确定函数的最大值.【小问1详解】证明：当，时，设，且，则，因为，故，即，所以函数在区间上是严格增函数；【小问2详解】当，时，函数，该函数图象的对称轴为，因为，当时，；当时，；即时，函数在区间上的最大值为；时，函数在区间上的最大值为0.21. 已知函数，若存在常数k（），使得对定义域D内的任意（），都有成立，则称函数在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数”（1）判断函数，是否是“1-利普希兹条件函数”，若
13、是，请给出证明；若不是，请说明理由；（2）若函数（）是“k-利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（3）若是定义在闭区间上的“2-利普希兹条件函数”，且，求证：对任意的都有【答案】（1）是，不是 （2） （3）证明见解析【解析】【分析】（1）证明即可判断，举出反例即可判断；（2）分离参数，将不等式变为关于的不等式,结合定义域即可求得常数的最小值；（3）对任意的都有，只需要即可，根据新定义求出即可得出答案.【小问1详解】对于函数，不妨设，则，符合题意，所以函数是“1-利普希兹条件函数”，对于函数，因为，所以函数不是“1-利普希兹条件函数”；【小问2详解】若函数（）是“利普希兹条件函数”，则对定义域内任意（），均有，即，设，则，即，因为，所以，所以所以的最小值为；【小问3详解】设，当时，因为是定义在闭区间上的“2-利普希兹条件函数”，所以，当时，由，得，故恒成立，综上所述，【点睛】关键点点睛：本题考查了函数新定义问题，解决本题的关键在于理解“k-利普希兹条件函数”.