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1、凉山州2023年初中毕业暨高中阶段学校招生考试数学试卷试卷满分150分 考试时间120分钟A卷（共100分）第卷 选择题（共48分）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置1. 下列各数中，为有理数的是（ ）A. B. C. D. 2. 如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若一组数据的方差为2，则数据的方差是（ ）A. 2B. 5C. 6D. 114. 下列计算正确的是（ ）A. B. C.
2、D. 5. 2022年12月26日，成昆铁路复线全线贯通运营据统计12月26日至1月25日，累计发送旅客万人次将数据万用科学记数法表示的是（ ）A B. C. D. 6. 点关于原点对称的点的坐标是（ ）A. B. C. D. 7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的如图，则（ ） A. B. C. D. 8. 分式的值为0，则的值是（ ）A. 0B. C. 1D. 0或19. 如图，在和中，点E、F在上，添加下列条件仍无法证明的是（ ）A. B. C. D. 10. 如图，在等腰中，分别以点点为圆心
3、，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，则（ ） A. 1B. 2C. D. 412. 已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. （为实数）第卷 非选择题（共52分）二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13. 计算_14. 已知是完全平方式，则的值是_15. 如图，的顶点的坐标分别是则顶点的坐标是_ 16. 不等式组的所有整数解的和是_17. 如图，在纸片中，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则_ 三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字
4、说明、证明过程或演算步骤18. 先化简，再求值：，其中，19. 解方程：20. 2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海沪山风景区（以下分别用表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图 请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的游客有多少人？（2）将两幅不完整的统计图补充完整；（3）若某游客随机选择四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰好选择的概率21. 超速容易造成交通事故高速公路管理部门在某隧道内的两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有
5、点都在同一平面内，且在同一直线上点、点到的距离分别为，且，在处测得点的俯角为，在处测得点的俯角为，小型汽车从点行驶到点所用时间为 （1）求两点之间的距离（结果精确到）；（2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点行驶到点是否超速？并通过计算说明理由（参考数据：）22. 如图，中，对角线与相交于点，过点作交于点 （1）求证：；（2）若，求的长B卷（共50分）四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23. 已知，则的值等于_24. 如图，边长为2的等边的两个顶点分别在两条射线上滑动，若，则的最大值是_ 五、解答题（共4小题，共40分）25. 凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区经过
6、近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币（1）求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？（2）一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？26. 阅读理解题：阅读材料：如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则 证明：设，易证，若时，当，则同理：若时，当，则
7、根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线与反比例函数图象交于点，与轴交于点将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知 （1）求反比例函数的解析式；（2）直接写出的值；（3）求直线的解析式27. 如图，是的直径，弦，垂足为点，点是延长线上一点，垂足为点， （1）求证：是的切线；（2）若，求的半径和的长28. 如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点直线过抛物线顶点（1）求抛物线函数解析式；（2）若直线与抛物线交于点，与直线交于点当取得最大值时，求的值和的最大值；当是等腰三角形时，求点的坐标凉山州2023年初中毕业暨高中阶段学校招生考试数学试卷试卷满分150分 考试
8、时间120分钟A卷（共100分）第卷 选择题（共48分）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置1. 下列各数中，为有理数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得【详解】解：A、，是有理数，则此项符合题意；B、是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意；C、是无理数，则此项不符合题意；D、是无理数，则此项不符合题意；故选：A【点睛】本题考查了立方根、无理数与有理数，熟记无理数与有理数的概念是解题关键2. 如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯
9、视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据俯视图可确定主视图的列数和小正方形的个数，即可解答【详解】解：由俯视图可得主视图有2列组成，左边一列由2个小正方形组成，右边一列由1个小正方形组成故选：B【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，由几何体的俯视图可确定该几何体的主视图和左视图，要熟练掌握3. 若一组数据的方差为2，则数据的方差是（ ）A. 2B. 5C. 6D. 11【答案】A【解析】【分析】根据方差的定义进行求解，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加3，所以波动不会变，方差不变【详解
10、】解：当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，设原平均数为，现在的平均数为，原来的方差，现在的方差，故选：A【点睛】本题考查了方差的定义当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍4. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则，积的乘方法则和完全平方公式分别计算，即可得出正确答案【详解】解：A，故该选项错误，不合题意；B，故该选项错误，不合题意；C，故该选项正
11、确，符合题意；D，故该选项错误，不合题意；故选：C【点睛】本题考查同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方，积的乘方和完全平方公式等知识点，熟练掌握各项运算法则是解题的关键5. 2022年12月26日，成昆铁路复线全线贯通运营据统计12月26日至1月25日，累计发送旅客万人次将数据万用科学记数法表示的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案【详解】解：万，故
12、选B【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义6. 点关于原点对称的点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，故选D【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，解题的关键是记住“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的如图，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质，两直线
13、平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案.【详解】解：如图所示，光线在空气中也平行， ，.，.故选：C.【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.8. 分式的值为0，则的值是（ ）A. 0B. C. 1D. 0或1【答案】A【解析】【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可【详解】解：分式的值为0，解得，故选A【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键9. 如图，在和中，点E、F在上，添加下列条件仍无法证明的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据，可得，再根据全等三角形的判定方法，逐项
14、判断即可求解【详解】解：，A、添加，可利用角边角证明，故本选项不符合题意；B、添加，可利用边角边证明，故本选项不符合题意；C、添加，可利用角角边证明，故本选项不符合题意；D、添加，无法证明，故本选项不符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键10. 如图，在等腰中，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据等边对等角求出，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，则，可得，由此即可得到【详解】解：在等腰中，由作图方法可知，是线段的垂直
15、平分线，故选B【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键11. 如图，在中，则（ ） A. 1B. 2C. D. 4【答案】B【解析】【分析】连接，由圆周角定理得，由得，在中，由，计算即可得到答案【详解】解：连接，如图所示， ，在中，故选：B【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线12. 已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. （为实数）【答案】C【解析】【分析】根据开口方向，与y轴交于负半轴和对称
16、轴为直线可得，由此即可判断A；根据对称性可得当时，当时，由此即可判断B、C；根据抛物线开口向上，对称轴为直线，可得抛物线的最小值为，由此即可判断D【详解】解：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，抛物线对称轴为直线，故A中结论错误，不符合题意；当时，抛物线对称轴为直线，当时，故B中结论错误，不符合题意；当时，抛物线对称轴为直线，当时，又，故C中结论正确，符合题意；抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向上，抛物线的最小值为，故D中结论错误，不符合题意；故选C【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键第卷 非选择题（共52分）二、填空题（
17、共5个小题，每小题4分，共20分）13. 计算_【答案】【解析】【分析】根据零指数幂、二次根式的性质进行计算即可【详解】故答案为：【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质等知识，掌握任何一个不为零的数的零次幂都是1是解题的关键14. 已知是完全平方式，则的值是_【答案】【解析】【分析】根据，计算求解即可【详解】解：是完全平方式，解得，故答案为：【点睛】本题考查了完全平方公式解题的关键在于熟练掌握：15. 如图，的顶点的坐标分别是则顶点的坐标是_ 【答案】【解析】【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且，即可得到结果【详解】解：在中，点的纵坐标与
18、点的纵坐标相等，故答案为：【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的性质，此题充分利用了“平行四边形的对边相等且平行”的性质16. 不等式组的所有整数解的和是_【答案】7【解析】【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再确定整数解，最后求和即可【详解】解：，由得：，解得：；由得：，整理得：，解得：，不等式组的解集为：，不等式组的整数解为：，0，1，2，3，4；，故答案为：7【点睛】本题考查的是求解一元一次不等式组的整数解，熟悉解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键17. 如图，在纸片中，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则_ 【答案】【解析】
19、【分析】由，是边上中线，可知，则，由翻折的性质可知，则，如图，记与的交点为，由，可得，根据，计算求解即可【详解】解：，是边上的中线，由翻折的性质可知，如图，记与的交点为， ，故答案为：【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正切解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18. 先化简，再求值：，其中，【答案】，【解析】【分析】根据，单项式乘以多项式法则进行展开，再加减运算，代值计算即可【详解】解：原式当，时，原式【点睛】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单
20、项式乘以多项式法则，掌握公式及法则是解题的关键19. 解方程：【答案】【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解【详解】解：方程两边同乘，得，整理得，解得：，检验：当时，是增根，当时，原方程的解为【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键20. 2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海沪山风景区（以下分别用表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图 请根据以上信息回答：（1）本次参加抽
21、样调查的游客有多少人？（2）将两幅不完整的统计图补充完整；（3）若某游客随机选择四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他第一个景区恰好选择的概率【答案】（1）600人 （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）用选择B景区的人数除以其人数占比即可求出参与调查的游客人数；（2）先求出选则C景区的人数和选择A景区的人数占比，再求出选择C景区的人数占比，最后补全统计图即可；（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，然后找到他第一个景区恰好选择的结果数，最后依据概率计算公式求解即可【小问1详解】解：人，本次参加抽样调查的游客有600人；【小问2详解】解：由题意得，选择C景区的人数为人，选择A景
22、区的人数占比为，选择C景区的人数占比为 补全统计图如下： 【小问3详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中他第一个景区恰好选择的结果数有3种，他第一个景区恰好选择的概率为【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图和画出树状图是解题的关键21. 超速容易造成交通事故高速公路管理部门在某隧道内的两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且在同一直线上点、点到的距离分别为，且，在处测得点的俯角为，在处测得点的俯角为，小型汽车从点行驶到点所用时间为 （1）求两点之间的距离（结果精确到
23、）；（2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点行驶到点是否超速？并通过计算说明理由（参考数据：）【答案】（1） （2）小型汽车从点行驶到点没有超速【解析】【分析】（1）证明四边形为矩形，可得，结合，可得，再利用线段的和差关系可得答案；（2）先计算小型汽车的速度，再统一单位后进行比较即可【小问1详解】解：点、点到的距离分别为，而，四边形为矩形，由题意可得：，【小问2详解】小型汽车从点行驶到点所用时间为汽车速度为，该隧道限速80千米/小时，小型汽车从点行驶到点没有超速【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解俯角的含义，熟练的运用锐角三角函数解题是关键22. 如图，在中，对角线与相交于点
24、，过点作交于点 （1）求证：；（2）若，求的长【答案】（1）见详解 （2）【解析】【分析】（1）可证，从而可证四边形是菱形，即可得证；（2）可求，再证，可得，即可求解【小问1详解】证明：，四边形是平行四边形，四边形是菱形，【小问2详解】解：四边形是平行四边形，解得：【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键B卷（共50分）四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23. 已知，则的值等于_【答案】2023【解析】【分析】把化为：代入降次，再把代入求值即可【详解】解：由得：，故答案为：【点睛】本题考查的是代数式的
25、求值，找到整体进行降次是解题的关键24. 如图，边长为2的等边的两个顶点分别在两条射线上滑动，若，则的最大值是_ 【答案】#【解析】【分析】如图所示，取的中点D，连接，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出，再根据直角三角形的性质得到，再由可得当三点共线时，有最大值，最大值为【详解】解：如图所示，取的中点D，连接，是边长为2的等边三角形，即，当三点共线时，有最大值，最大值为，故答案为： 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线确定当三点共线时，有最大值是解题的关键五、解答题（共4小题，共40分）25. 凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适
26、生态区经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币（1）求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？（2）一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？【答案】（1）雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元 （2）最多能购买雷波脐橙40千克【解析】【分析】（1）设雷波脐橙
27、和资中血橙每千克分别为元，元，购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币，再建立方程组即可；（2）设最多能购买雷波脐橙千克，根据顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，再建立不等式即可【小问1详解】解：设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为元，元，则，+得；，则把代入得：，把代入得：，方程组解为：，答：雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元【小问2详解】设最多能购买雷波脐橙千克，则，解得：，答：最多能购买雷波脐橙40千克【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系是解本题的关键26. 阅
28、读理解题：阅读材料：如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则 证明：设，易证，若时，当，则同理：若时，当，则根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知 （1）求反比例函数的解析式；（2）直接写出的值；（3）求直线的解析式【答案】（1） （2）， （3）【解析】【分析】（1）首先求出点，然后设，在中，利用勾股定理求出，得到，然后代入求解即可；（2）首先根据，得到，求出，然后利用正切值的概念求出，然后证明出四边形是矩形，得到，然后由即可求出；（3）首先根据矩形的性质得到，然后利
29、用求出，进而得到，然后设直线的解析式为，利用待定系数法将和代入求解即可小问1详解】将代入得，直线与反比例函数的图象交于点，设，在中，解得，点A的横坐标要大于点B的横坐标，应舍去，将代入，解得；反比例函数解析式为；【小问2详解】，四边形是矩形，将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，；【小问3详解】四边形是矩形，即，解得，设直线的解析式为，将和代入得，解得，直线的解析式为【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确理解材料的内容27. 如图，是的直径，弦，垂足为点，点是延长线上一点，垂足为点， （1）求证：是的切线；（2）若，求的
30、半径和的长【答案】（1）证明见解析 （2）的半径为3，的长为【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）设的半径为，则，在中，利用勾股定理求解即可得；根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质即可得【小问1详解】证明：如图，连接， 弦，即，又是的半径，是的切线【小问2详解】解：如图，连接， 设的半径为，则，在中，即，解得，即，解得，所以的半径为3，的长为【点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质是解题关键28.
31、如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点直线过抛物线的顶点（1）求抛物线的函数解析式；（2）若直线与抛物线交于点，与直线交于点当取得最大值时，求的值和的最大值；当是等腰三角形时，求点的坐标【答案】（1） （2）当时，有最大值，最大值为；或或【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出，进而求出直线的解析式为，则，进一步求出，由此即可利用二次函数的性质求出答案；设直线与x轴交于H，先证明是等腰直角三角形，得到；再分如图3-1所示，当时， 如图3-2所示，当时， 如图3-3所示，当时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可【小问1详解】解：抛物线与轴交于和两点，抛物线对称轴为直线
32、，在中，当时，抛物线顶点P的坐标为，设抛物线解析式为，抛物线解析式为【小问2详解】解：抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点，设直线的解析式为，直线的解析式为，直线与抛物线交于点，与直线交于点， ，当时，有最大值，最大值为；设直线与x轴交于H，是等腰直角三角形，；如图3-1所示，当时， 过点C作于G，则点G为的中点，由（2）得，解得或（舍去），；如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形，即，点E的纵坐标为5，解得或（舍去）， 如图3-3所示，当时，过点C作于G，同理可证是等腰直角三角形，解得或（舍去），综上所述，点E坐标为或或【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键