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1、2022 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国卷）数学本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然
2、后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若集合4,31MxxNxx，则MN（）A 02xxB123xxC 316xxD1163xx2若i(1)1z，则zz（）A2B1C1D23在ABC中，点 D 在边 AB 上，2BDDA记CACD，mn，则CB （）A32mnB23mnC32mnD23mn4南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148 5
3、m时，相应水面的面积为2140 0km；水位为海拔157 5m时，相应水面的面积为2180 0km，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148 5m上升到157 5m时，增加的水量约为（72.65）（）A931.0 10 mB931.2 10 mC931.4 10 mD931.6 10 m5从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为（）A16B13C12D236记函数()sin(0)4f xxb的最小正周期为 T若23T，且()yf x的图像关于点3,22中心对称，则2f（）A1B32C52D37设0.110.1e,ln0.99a
4、bc，则（）AabcBcbaCcabDacb8已知正四棱锥的侧棱长为 l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，且33 3l，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A8118,4B27 81,44C27 64,43D18,27二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9已知正方体1111ABCDABC D，则（）A直线1BC与1DA所成的角为90B直线1BC与1CA所成的角为90C直线1BC与平面11BB D D所成的角为45D直线1BC与平面 ABCD 所成的角为451
5、0已知函数3()1f xxx，则（）A()f x有两个极值点B()f x有三个零点C点(0,1)是曲线()yf x的对称中心D直线2yx是曲线()yf x的切线11已知 O 为坐标原点，点(1,1)A在抛物线2:2(0)C xpy p上，过点(0,1)B的直线交 C 于 P，Q 两点，则（）AC 的准线为1y B直线 AB 与 C 相切C2|OPOQOAD2|BPBQBA12.已知函数()f x及其导函数()fx的定义域均为R，记()()g xfx.若322fx，(2)gx均为偶函数，则（）A(0)0fB102gC(1)(4)ffD(1)(2)gg三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，
6、共 20 分1381()yxyx的展开式中26x y的系数为_（用数字作答）14写出与圆221xy和22(3)(4)16xy都相切的一条直线的方程_15若曲线()exyxa有两条过坐标原点的切线，则 a 的取值范围是_16已知椭圆2222:1(0)xyCabab，C 的上顶点为 A，两个焦点为1F，2F，离心率为12过1F且垂直于2AF的直线与 C 交于 D，E 两点，|6DE，则ADE的周长是_四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）记nS为数列 na的前 n 项和，已知11,nnSaa是公差为13的等差数列（1）求 na的通项公式；（
7、2）证明：121112naaa18（12 分）记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB（1）若23C，求 B；（2）求222abc的最小值19（12 分）如图，直三棱柱111ABCABC的体积为 4，1ABC的面积为2 2（1）求 A 到平面1ABC的距离；（2）设 D 为1AC的中点，1AAAB，平面1ABC 平面11ABB A，求二面角ABDC的正弦值20（12 分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例（称为病例组），同时在未患该
8、疾病的人群中随机调查了 100 人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”，(|)(|)P B AP B A与(|)(|)P B AP B A的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 R（）证明：(|)(|)(|)(|)P A BP A BRP A BP A B；（）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B的估计值，并利用（）的结果给出 R
9、的估计值附：22()()()()()n adbcKab cd ac bd，2P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821（12 分）已知点(2,1)A在双曲线2222:1(1)1xyCaaa上，直线 l 交 C 于 P，Q 两点，直线,AP AQ的斜率之和为0（1）求 l 的斜率；（2）若tan2 2PAQ，求PAQ的面积22（12 分）已知函数()exf xax和()lng xaxx有相同的最小值（1）求 a；（2）证明：存在直线yb，其与两条曲线()yf x和()yg x共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列绝密启用前试卷类型：A202
10、2 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国卷）数学参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.D3.B4.C5.D6.A7.C8.C二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9.ABD10.AC11.BCD12.BC三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.-2814.3544yx 或7252424yx或1x 15.,40,16.13四、解答题：本题共 6 小题，共
11、70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（1）12nn na（2）12112,11nan nnn12111naaa111111212 1222311nnn18.（1）6；（2）4 2519.（1）2（2）3220.（1）由已知222()200(40 9060 10)=24()()()()50 150 100 100n adbcKab cd ac bd，又2(6.635)=0.01P K，246.635，所以有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）（i）因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B AP B AP ABP AP
12、ABP ARP B AP B AP AP ABP AP AB，所以()()()()()()()()P ABP BP ABP BRP BP ABP BP AB所以(|)(|)(|)(|)P A BP A BRP A BP A B；(ii)6R；21.（1）1；（2）16 2922.（1）1a（2）由（1）可得e()xxf x 和()lng xxx的最小值为11 ln11 ln11.当1b 时，考虑exxb的解的个数、lnxxb的解的个数.设 exS xxb，e1xSx，当0 x 时，0Sx，当0 x 时，0Sx，故 S x在,0上为减函数，在0,上为增函数，所以 min010S xSb，而e0b
13、Sb，e2bS bb，设 e2bu bb，其中1b，则 e20bu b，故 u b在1,上为增函数，故 1e20u bu，故 0S b，故 exS xxb有两个不同的零点，即exxb的解的个数为 2.设 lnT xxxb，1xTxx，当01x时，()0Tx，当1x 时，0Tx，故 T x在()0,1上为减函数，在1,上为增函数，所以 min110T xTb，而ee0bbT，ee20bbTb，lnT xxxb有两个不同的零点即lnxxb的解的个数为 2.当1b，由（1）讨论可得lnxxb、exxb仅有一个零点，当1b时，由（1）讨论可得lnxxb、exxb均无零点，故若存在直线yb与曲线 yf
14、x、()yg x=有三个不同的交点，则1b.设()eln2xh xxx，其中0 x，故1()e2xh xx，设 e1xs xx，0 x，则 e10 xs x，故 s x在0,上为增函数，故 00s xs即e1xx，所以1()12 10h xxx ，所以()h x在0,上为增函数，而(1)e20h，31e333122()e3e30eeeh ，故 h x在0,上有且只有一个零点0 x，0311ex且：当00 xx时，0h x 即elnxxxx即 f xg x，当0 xx时，0h x 即elnxxxx即 f xg x，因此若存在直线yb与曲线 yf x、()yg x=有三个不同的交点，故001bf xg x，此时exxb有两个不同的零点1010,(0)x x xx，此时lnxxb有两个不同的零点0404,(01)x xxx，故11exxb，00exxb，44ln0 xxb，00ln0 xxb所以44lnxbx即44exbx即44e0 xbxbb，故4xb为方程exxb的解，同理0 xb也为方程exxb的解又11exxb可化为11exxb即11ln0 xxb即11ln0 xbxbb，故1xb为方程lnxxb的解，同理0 xb也为方程lnxxb的解，所以 1004,x xxb xb，而1b，故0410 xxbxxb即1402xxx.