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1、【赢在高考黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考II卷专用）黄金卷03（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1已知z1+i=1-1i，则z=（）.A2B22C2D12集合A=-2,-1,0,1,2,3，集合B=x|x=2k-1,kN，则集合AB中元素的个数为（）A2B3C4D53已知等差数列an的前n项和为Sn，对任意的nN*，均有S5Sn成立，则a8a6的值的取值范围是（）A3,+B3,+C-,-33,+D-,-33,+4为进一步在全市掀起全民健身热潮，兴义市于9
2、月10日在万峰林举办半程马拉松比赛.已知本次比赛设有4个服务点，现将6名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，有（）种分配方式A540B660C980D12005设函数fx=3cosx+sinx，且函数gx=fx2-4在x0,5恰好有5个零点，则正实数的取值范围是（）A1315,1615B56,3130C1115,1415D2330,29306如图所示，F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点，C的右支上存在一点B满足BF1BF2,BF1与双曲线C左支的交点A满足sinAF2F1s
3、inAF2B=BF2F1F2，则双曲线C的离心率为（）A3B2C23D137已知函数fx=log2x，设a=f(log23),b=f(7-0.1),c=f(log1425)，则a，b，c的大小关系为（）AbacBcabCcbaDacb8设函数f(x)=x-e-x，直线y=ax+b是曲线y=f(x)的切线，则2a+b的最小值为（）A2-1eB1e2-1C2-1e2D2+1e2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9在1-2x3x-a5的展开式中，各项系数的和为1，则（）Aa=3B展开
4、式中的常数项为-32C展开式中x4的系数为160D展开式中无理项的系数之和为-24210如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，高为3，F为棱AA1的中点，D,E分别在棱BB1,CC1上，且满足A1D+DE+EA取得最小值记四棱锥A1-B1C1ED、三棱锥F-A1DE,A-DEF的体积分别为V1,V2,V3，则（）AV1+V2+V30的准线为l:x=-1，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于Px1,y1，Qx2,y2两点，PP1l于P1，则下列说法正确的是（）A若x1+x2=5，则PQ=7B以PQ为直径的圆与准线l相切C设M0,1，则PM+PP12D过点M0,1与抛物线C有且仅有一个公
5、共点的直线至多有2条12泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式ex=1+x+x22!+x33!+x44!+xnn!+sinx=x-x33!+x55!-x77!+-1n+1x2n-12n-1!+由此可以判断下列各式正确的是（）Aeix=cosx+isinx（i是虚数单位）Beix=-i（i是虚数单位）C2x1+xln2+xln222x0Dcosx1-x22+x424x0,1第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设向量AB=x,2x在向量AC=3,-4上的投影向量为-15AC，则x= 14四个面都为直角三角
6、形的四面体称之为鳌臑在鳌臑P-ABC中，PA平面ABC，PA=4，AB=BC=2，鳌臑P-ABC的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是 15已知圆O:x2+y2=4，过点M-3,-3的直线l交圆O于A,B两点，且MA=AB，请写出一条满足上述条件的直线l的方程 .16已知函数fx及其导函数fx的定义域均为R，记gx=fx，若f1-2x+4x为偶函数，gx+2=gx-4，且g-12=0，则g52+g4= 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17在（1）3csinA+C2=bsinC；（2）3BACB=2SABC；（3）tanC=ccosA33b
7、+csinA这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足(1)求角B；(2)若b2+c2=a2+3bc,ABC的外接圆周长为23，求BC边上的中线长.18若数列an的前n项和Sn满足Sn=2an+n(1)证明：数列an-1是等比数列；(2)设bn=log21-an+1，记数列1bnbn+1的前n项和为Tn，证明：对任意的正整数n，都有Tn0，所以Tn=12-1n+212即Tn12成立所以对任意的正整数n，都有Tn12得证.19（12分）【答案】(1)全省火炬手性别与年龄满或未满50周岁相互独立（没有关联）(2)3643【详解】（
8、1）解：零假设为：H0：全省火炬手性别与年龄满或未满50周岁相互独立（没有关联），根据22列联表中的数据，计算得2=100(1535-545)2208040602.340，即t21，故舍去t=555可得直线AB的方程为x=12y+2 综上：直线AB方程为y=2x-4或y=-2x+4或x=222. （12分）22（12分）【答案】(1)a2-14(2)(-,0)12,+)【详解】（1）因为f(x)=cosxx，所以f(x)=-xsinx-cosxx2，则f(x)在点A2,0处的切线斜率为f(2)=-2，所以切线方程为y=-2(x-2)，即y=-2x+1.由y=-2x+1y=1x-ax得-2x+1
9、=1x-ax，即(a-2)x2+x-1=0.因为函数定义域为x|x0，所以方程(a-2)x2+x-1=0有非零实数根，当a=2时，x=1，符合题意，当a2时，则=1+4(a-2)0，即a2-14，且a2，所以实数a的取值范围是a2-14.（2）因为函数f(x)和函数g(x)的图象没有公共点，所以f(x)=g(x)，即cosxx=1x-ax无实根，所以当x0时，h(x)=cosx+ax2-1=0无实根，因为h(-x)=h(x)，即h(x)是偶函数，所以h(x)=cosx+ax2-1=0在(0,+)上无实根.h(x)=2ax-sinx，记m(x)=h(x)=2ax-sinx则mx=2a-cosx，
10、x(0,+).当a0时，ax20，又-1cosx1，则cosx-10，所以h(x)=cosx+ax2-1h(0)=0，所以h(x)=cosx+ax2-1=0在(0,+)上单调递增，所以h(x)h(0)=0，满足h(x)=0在(0,+)上无实根.当0a12时，因为m(x)=2a-cosx在(0,2)单调递增，且m(0)=2a-10，则存在唯一的x0(0,2)，使m(x0)=2a-cosx0=0，列表得x(0,x0)x0(x0,2)m(x)-0+mx=h(x)极小值所以当x(0,x0)时，h(x)h(0)=0，则h(x)在(0,x0)单调递减，则h(x)0，且h(x)在(0,+)上连续，所以h(x
11、)=cosx+ax2-1=0在(0,2)上有实根，不合题意.综上可知，实数a的取值范围是(-,0)12,+).【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.【赢在
12、高考黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考II卷专用）黄金卷03（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1已知z1+i=1-1i，则z=（）.A2B22C2D1【答案】C【分析】先根据复数的乘法运算求出复数z，再根据共轭复数的定义和复数的模的公司及即可得解.【详解】由z1+i=1-1i=1+i，得z=1+i2=2i，则z=-2i，所以z=2.故选：C.2集合A=-2,-1,0,1,2,3，集合B=x|x=2k-1,kN，则集合AB中元素的个数为（）A2B3C4D5【答
13、案】B【分析】根据给定条件，利用交集的意义求出AB即得.【详解】集合A=-2,-1,0,1,2,3，B=x|x=2k-1,kN，则AB=-1,1,3，所以集合AB中元素的个数为3.故选：B3已知等差数列an的前n项和为Sn，对任意的nN*，均有S5Sn成立，则a8a6的值的取值范围是（）A3,+B3,+C-,-33,+D-,-33,+【答案】B【分析】根据已知得出a10，然后返a5=0和a50(即a50)分类计算.【详解】由题意知S5是等差数列an的前n项和中的最小值，必有a10，若a5=0，此时S4=S5，S4，S5是等差数列an的前n项和中的最小值，此时a5=a1+4d=0，即a1=-4d
14、，则a8a6=a1+7da1+5d=3dd=3；若a50，此时S5是等差数列an的前n项和中的最小值，此时a5=a1+4d0，即-5a1d-4，则a8a6=a1+7da1+5d=a1d+7a1d+5=1+2a1d+53,+，综上可得：a8a6的取值范围是3,+，故选:B4为进一步在全市掀起全民健身热潮，兴义市于9月10日在万峰林举办半程马拉松比赛.已知本次比赛设有4个服务点，现将6名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，有（）种分配方式A540B660C980D1200【答案】B【分析】按照最后一个服务区有2名
15、志愿者和3名志愿者进行分配，即1+1+2+2和1+1+1+3，分别求出其方法种数，即可得出答案.【详解】由题知可按照最后一个服务区有2名志愿者和3名志愿者进行分配，6=1+1+2+2，有C62C42C21C11A22A33=540；6=1+1+1+3，有C63C31C21C11=120，共有540+120=660（种）.故选：B.5设函数fx=3cosx+sinx，且函数gx=fx2-4在x0,5恰好有5个零点，则正实数的取值范围是（）A1315,1615B56,3130C1115,1415D2330,2930【答案】B【分析】先化简为fx=3cosx+sinx=2sinx+3，当0x5时，得
16、到3x+35+3.若函数gx=fx2-4在x0,5恰好有5个零点，只需函数f(x)=2sinx+3在区间0,5上恰有5条对称轴结合正弦函数的图象可建立925+3112，求解即可.【详解】fx=3cosx+sinx=2sinx+3，令gx=fx2-4=0，得f(x)=2，因为函数gx=fx2-4在x0,5恰好有5个零点，所以函数f(x)=2sinx+3在0,5上恰有5条对称轴当0x5时，3x+35+3，令x+3=t 3t5+3，则y=sint在3,5+3上恰有5条对称轴，如图：所以925+30,b0)的左、右焦点，C的右支上存在一点B满足BF1BF2,BF1与双曲线C左支的交点A满足sinAF2
17、F1sinAF2B=BF2F1F2，则双曲线C的离心率为（）A3B2C23D13【答案】D【分析】利用正弦定理及已知可得|AB|=|AF1|，令|AB|=|AF1|=x，由双曲线定义及BF1BF2，应用勾股定理列方程求得x=3a，进而求离心率.【详解】ABF2中|BF2|sinBAF2=|AB|sinAF2B，AF1F2中|F1F2|sinF1AF2=|AF1|sinAF2F1，所以|AB|=|BF2|sinAF2BsinBAF2，|AF1|=|F1F2|sinAF2F1sinF1AF2，又BAF2+F1AF2=，则sinBAF2=sinF1AF2，又sinAF2F1sinAF2B=BF2F1
18、F2，所以|AB|=|AF1|，令|AB|=|AF1|=x，则|BF1|=2x，|BF2|=2x-2a，|AF2|=x+2a而|F1F2|=2c，由BF1BF2，则|BF1|2+|BF2|2=|F1F2|2，|AB|2+|BF2|2=|AF2|2，可得4x2+4(x-a)2=4c2x2+4(x-a)2=(x+2a)2x=3a2x2-2ax+a2=c2，即13a2=c2 e=ca=13.故选：D7已知函数fx=log2x，设a=f(log23),b=f(7-0.1),c=f(log1425)，则a，b，c的大小关系为（）AbacBcabCcbaDacb【答案】A【分析】首先判断函数的奇偶性和单调
19、性，再判断自变量的大小，即可根据函数的单调性，比较大小.【详解】依题意，得f(x)的定义域为xx0，函数f(x)为偶函数，且f(x)在(0,+)上为增函数，而a=f(log23)，因为234，所以log22log23log24，即1log232，因为y=7x在R上为增函数，且-0.10，所以07-0.116，所以log425log416=2，所以log425log237-0.10，所以f(log425)f(log23)f(7-0.1)，所以cab，故选：A.8设函数f(x)=x-e-x，直线y=ax+b是曲线y=f(x)的切线，则2a+b的最小值为（）A2-1eB1e2-1C2-1e2D2+1
20、e2【答案】C【分析】先设切点写出切线方程，再求2a+b的解析式，最后通过求导判断单调性求出最小值.【详解】令fx的切点为x0,x0-e-x0，因为fx=1+e-x，所以过切点的切线方程为y-x0-e-x0=1+e-x0x-x0，即y=1+e-x0x-e-x0x0+1，所以a=1+e-x0b=-e-x0x0+1，所以2a+b=-e-x0x0+e-x0+2，令gx=-e-xx+e-x+2，则gx=-e-x+xe-x-e-x=e-xx-2，所以当x-,2时gx0恒成立，此时gx单调递增，所以gxmin=g2=2-e-2，所以2a+bmin=2-e-2=2-1e2，故选：C二、多项选择题：本题共4小
21、题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9在1-2x3x-a5的展开式中，各项系数的和为1，则（）Aa=3B展开式中的常数项为-32C展开式中x4的系数为160D展开式中无理项的系数之和为-242【答案】BC【分析】先根据各项系数和结赋值法得a=2判断A，然后结合二项式展开式的通项公式求解常数项、含x4的系数及无理项系数之和判断BCD.【详解】根据题意令x=1，得1-2x3x-a5的展开式中各项系数和为-1-a5=1，则a=2，A错误；则1-2x3x-a5=1-2x3x-25，又x-25的展开式的通项为Tk+
22、1=-2kC5kx5-k2，k=0,1,5，所以展开式中的常数项为1-25C55=-32，B正确；含x4的项为-2x3-23C53x=160x4，其系数为160，C正确；展开式中无理项的系数之和为1-2-20C50+-22C52+-24C54=-1+40+80=-121，D错误.故选：BC.10如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，高为3，F为棱AA1的中点，D,E分别在棱BB1,CC1上，且满足A1D+DE+EA取得最小值记四棱锥A1-B1C1ED、三棱锥F-A1DE,A-DEF的体积分别为V1,V2,V3，则（）AV1+V2+V3334BV2=V3C2V1=3V2DV1=V2+
23、V3【答案】ABD【分析】根据三棱柱的体积公式即可判断A,根据平面展开图可得线段最短时DB1=1,EC1=2，即可根据锥体体积公式判断BCD.【详解】正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为VABC-A1B1C1=SA1B1C1AA1=1211323=334，由图可知V1+V2+V3VABC-A1B1C1，所以V1+V2+V30的准线为l:x=-1，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于Px1,y1，Qx2,y2两点，PP1l于P1，则下列说法正确的是（）A若x1+x2=5，则PQ=7B以PQ为直径的圆与准线l相切C设M0,1，则PM+PP12D过点M0,1与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
24、【答案】ABC【分析】根据过焦点的直线与抛物线的相交的交点坐标关系、圆的几何性质逐项判断即可.【详解】由题意，抛物线C:y2=2pxp0的准线为l:x=-1，所以p=2，抛物线C的方程为C:y2=4x，焦点为F1,0，过Q作QQ1l于Q1，则由抛物线的定义可得PQ=PF+QF=PP1+QQ1=x1+x2+p=5+2=7，故A正确；PQ=x1+x2+2，则以PQ为直径的圆的半径r=x1+x22+1，线段PQ的中点坐标为x1+x22,y1+y22，则线段PQ的中点到准线的距离为x1+x22+p2=x1+x22+1=r，所以以PQ为直径的圆与准线l相切，故B正确；抛物线C:y2=4x的焦点为F1,0
25、，PM+PP1=PM+PFMF=2，当且仅当M，P，F三点共线时取等号，所以PM+PP12，故C正确；对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为x=0，与抛物线只有一个交点，当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，联立y=kx+1,y2=4x,消去x，并整理得ky2-4y+4=0，当k=0时，方程的解为y=1，此时直线与抛物线只有一个交点，当k0时，则=16-16k=0，解得k=1，综上所述，过点M0,1与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条，故D错误故选：ABC12泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式ex=1+x+x22!+x33
26、!+x44!+xnn!+sinx=x-x33!+x55!-x77!+-1n+1x2n-12n-1!+由此可以判断下列各式正确的是（）Aeix=cosx+isinx（i是虚数单位）Beix=-i（i是虚数单位）C2x1+xln2+xln222x0Dcosx1-x22+x424x0,1【答案】ACD【分析】对于A、B，将关于sinx的泰勒展开式两边求导得cosx的泰勒展开式，再验证结论是否正确；对于C，由2x=exln2 x0，再代入关于ex的泰勒展开式验证是否成立；对于D，由cosx=1-x22!+x44!-x66!+x88!-x1010!+-x2n2n!+x2n+22n+2!+，证明-x66!
27、+x88!-x1010!+-x2n2n!+x2n+22n+2!+1+xln2+xln222!，即2x1+xln2+xln222x0成立，故C正确；故C正确；对于D，cosx=1-x22!+x44!-x66!+x88!-x1010!+-1n+1x2n-22n-2!+,，cosx=1-x22!+x44!-x66!+x88!-x1010!+-x2n2n!+x2n+22n+2!+，当x0,1，-x66!+x88!0；x88!-x1010!0；-x2n2n!+x2n+22n+2!=x2nx2-2n+12n+22n+2!0，x0,1,所以-x66!+x88!-x1010!+-x2n2n!+x2n+22n+
28、2!+0，所以cosx1-x22!+x44!=1-x22+x424x0,1成立，故D正确.故选：ACD.【点睛】利用泰勒公式证明不等式方法点睛：应用泰勒公式时要选好x，有时可能需要结合题目给出信息进行相关变形，再代入验证，利用展开项的特征进行适当的放缩，证明不等式成立.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设向量AB=x,2x在向量AC=3,-4上的投影向量为-15AC，则x= 【答案】1【分析】利用向量在向量上的投影向量计算公式建立方程，解出即可.【详解】向量AB=x,2x在向量AC=3,-4上的投影向量为ABACACACAC=3x-8x25AC，则-15=3x-8x25，解得x=1故答案为：1.14四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑在鳌臑P-ABC中，PA平面ABC，PA=4，AB=BC=2，鳌臑P-ABC的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是 【答案】24【分析】根据题意，把鳌臑P-ABC补成一个长方体，则长方体的外接球即是鳌臑P-ABC的外接球，从而求出鳌臑P-ABC的外接球半径为R，再利用球的体积公式即可求出结果【详解】把鳌臑P-ABC补成一个长方体，如图所示：则长方体的外接球即是鳌臑P-ABC的外接球，又PA=4，AB=BC=2，长方体的外接球半径R=1242+22+22=6，鳌