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1、第29讲 抽屉原理教学目标l 理解抽屉原理的基本概念、基本用法；l 掌握用抽屉原理解题的基本过程；l 能够构造抽屉进行解题；l 利用最不利原则进行解题；l 利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。知识梳理 一、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决。二、抽屉原理的定义一般情况下，把n1或多于n1个苹
2、果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。三、抽屉原理的解题方案1、利用公式进行解题苹果抽屉商余数余数：（1）余数1， 结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数， 结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里2、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法。典例分析 考点一：直接利用公式解题例1、只鸽子要飞进个笼子，每个笼子里都必须有只，一定有一个笼子里有只鸽子对吗？【解析】只鸽子要飞进个笼子，如果每个笼子装只，
3、这样还剩下只鸽子这只鸽子可以任意飞进其中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有只鸽子所以这句话是正确的利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”， ，（只）把个苹果放到个抽屉中，每个抽屉中都要有个苹果，那么肯定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有只鸽子例2、人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有 人的头发的根数相同。【解析】这是一道抽屉原理的题目，所以要先分清楚什么是抽屉，什么是苹果。此题中的抽屉是人的头发：有20万个，中国的人数是苹果：13亿人，所以至少应有：（人）。例3、“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公
4、园里他们各自遇到了许多熟人试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等【解析】假设共有个小朋友到公园游玩，我们把他们看作个“苹果”，再把每个小朋友遇到的熟人数目看作“抽屉”，那么，个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下种可能：0，1，2，其中0的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见个熟人，所以共有个“抽屉”下面分两种情况来讨论：如果在这个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上个熟人，这样熟人数目只有种可能：0，1，2，这样，“苹果”数(个小朋友)超过“抽屉”数(种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等如果在这个
5、小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有种可能：1，2，3，这时，“苹果”数(个小朋友)仍然超过“抽屉”数(种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等总之，不管这个小朋友各遇到多少熟人(包括没遇到熟人)，必有两个小朋友遇到的熟人数目相等。例4、在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被整除？【解析】因为任何整数除以，其余数只可能是，三种情形我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”一个整数除以的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以的余数相同（需要对学生
6、利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除）这两个数的差必能被整除。例5、求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得是105的倍数【解析】对于任意的8个自然数，必可选出2个数，使它们的差是7的倍数；在剩下的6个数中，又可选出2个数，使它们的差是5的倍数；在剩下的4个数中，又可选出2个数，使它们的差是3的倍数。例6、某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?【解析】经过第一个月，将16个学生分成两组，至少有8个学生分在同一组，下面只考虑这8个学生经过第二个月，将这8个学生分
7、成两组，至少有4个学生是分在同一组，下面只考虑这4个学生经过第三个月，将这4个学生分成两组，至少有2个学生仍分在同一组，这说明只经过3个月是无法满足题目要求的如果经过四个月，将每个月都一直保持同组的学生一分为二，放人两个组，那么第一个月保持同组的人数为162=8人，第二个月保持同组的人数为82=4人，第三个月保持同组人数为42=2人，这说明照此分法，不会有2个人一直保持在同一组内，即满足题目要求，故最少要经过4个月例7、一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣 1分，不答不得分。问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？【解析】由题目条件这次
8、数学竞赛的得分可以从10-10=0分到10+310=40分，但注意到39、38、35这3个分数是不可能得到的，要保证至少有4人得分相同，至少需要3（41-3）+1=115人.考点二：构造抽屉利用公式进行解题例1、在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以从口袋中随意取出个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样你能说明这是为什么吗？【解析】从三种颜色的球中挑选两个球，可能情况只有下面种：红、红；黄、黄；蓝、蓝；红、黄；红、蓝；黄、蓝，我们把种搭配方式当作个“抽屉”，把个小朋友当作个“苹果”，根据抽屉原理，至少有两个“苹果”要放进一个
9、“抽屉”中，也就是说，至少有两个人挑选的颜色完全一样。例2、从1，2，3，2010，2011这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？【解析】1，2，3，4，9，10，11，12，17，18，19，20，25，在这些数种中任何两个数的差都不等于4，可以看出这些数是从每8个连续的数中选出前面的4个连续的数那么有 20118=2513，所以最多可以选2514+3=1007个数。（对于这类问题，一种方法是先尽可能的多选，然后再找出这些数的规律，再计算出最多可以选出多少个。例3、时钟的表盘上按标准的方式标着1，2，3，11，12这12个数，在其上任意做n个120的扇形，每一个都
10、恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同如果从这任做的n个扇形中总能恰好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数，求n的最小值 【解析】（1）当时，有可能不能覆盖12个数，比如每块扇形错开1个数摆放，盖住的数分别是：（12，1，2，3）；（1，2，3，4）；（2，3，4，5）；（3，4，5，6）；（4，5，6，7）；（5，6，7，8）；（6，7，8，9）；（7，8，9，10），都没盖住11，其中的3个扇形当然也不可能盖住全部12个数 （2）每个扇形覆盖4个数的情况可能是： （1，2，3，4）（5，6，7，8）（9，10，11，12）覆盖全部12个数 （2，3，4，5）（6，7，8，9）（10，11，1
11、2，1）覆盖全部12个数 （3，4，5，6）（7，8，9，10）（11，12，1，2）覆盖全部12个数 （4，5，6，7）（8，9，10，11）（12，1，2，3）覆盖全部12个数 当时，至少有3个扇形在上面4个组中的一组里，恰好覆盖整个钟面的全部12个数 所以n的最小值是9 例4、有苹果和桔子若干个，任意分成堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？【解析】需先跟学生介绍奇偶性：奇数奇数偶数；奇数偶数奇数；偶数偶数偶数。先用列表法进行搭配。由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可
12、能，所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有种情形：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性将这种情形看成个抽屉，现有堆水果，根据抽屉原理可知，这堆水果里至少有堆属于上述种情形的同一种情形由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数都是偶数考点三：最不利原则例1、“走美”主试委员会为三八年级准备决赛试题每个年级道题，并且至少有道题与其他各年级都不同如果每道题出现在不同年级，最多只能出现次本届活动至少要准备 道决赛试题【解析】每个年级都有自己道题目，然后可以三至五年级共用道
13、题目，六到八年级共用道题目，总共有（道）题目例2、在张卡片上不重复地编写上，请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出卡片上的数相乘后之乘积可被整除？【解析】当抽出个奇数的时候，乘积还是奇数，最多再抽出张偶数，乘积即可被整除，也就是抽出个数可以保证乘积能被整除例3、从1，2，3，4，5，99，100这100个数中任意选出51个数，证明：（1）在这51个数中，一定有两个数互质；（2）在这51个数中，一定有两个数的差等于50；（3）在这51个数中，一定存在9个数，他们的最大公约数大于1.【解析】（1）我们将1100分成（1，2）（3，4）（5，6）（7，8）（97，98）（99，100）这50组，每
14、组内的数相邻，而相邻的两个自然数互质。将这50组数作为50个抽屉，同一个抽屉内的两个数互质。而现在51个数，放进50个抽屉里，则必定有两个数在同一个抽屉，于是这两个数互质。问题得证。（2）我们将1100分成（1，51）（2，52）（3，53）（40，90）（50，100）这50组，每组内的数相差50.将这50组数视为抽屉，则现在有51个数放进50个抽屉内，则必定有2个数在同一抽屉，那么这两个数的差为50.问题得证（3）我们将1100按2的倍数、3的倍数、既不是2又不是3的倍数的情况分组，有（2，4，6，8，98，100），（3，9，15，21，27，93，99），（5，7，11，13，17，1
15、9，23，95，97）这三组，第一、二、三组分别有50、17、33个元素。最不利的情况下，51个数中有33个元素在第三组，那么剩下的18个数分到第一、二两组内，那么至少有9个数在同一组，所以这9个数的最大公约数为2或3或他们的倍数，显然大于1.问题得证。实战演练 课堂狙击1、年级一班学雷锋小组有人教数学的张老师说：“你们这个小组至少有个人在同一月过生日”你知道张老师为什么这样说吗？【解析】从题目可以看出，这道题显然与月份有关我们知道，一年有个月，把这个月看成个抽屉，这道题就相当于把个苹果放入个抽屉中根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹果因此至少有两个同学在同一个月过生日2、五年级数学小组共有
16、20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多【解析】数学小组共有20名同学，因此每个同学最多有19个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学至少有1个朋友因此，这20名同学中，每个同学的朋友数只有19种可能：1，2，3，19把这20名同学看作20个“苹果”，又把同学的朋友数目看作19个“抽屉”，根据抽屉原理，至少有2名同学，他们的朋友人数一样多3、四个连续的自然数分别被除后，必有两个余数相同，请说明理由【解析】想一想，不同的自然数被除的余数有几类？在这道题中，把什么当作抽屉呢？把这四个连续的自然数分别除以，其余数不外乎是，把这个不同的余数当作个“抽屉”
17、，把这个连续的自然数按照被除的余数，分别放入对应的个“抽屉”中，根据抽屉原理，至少有两个自然数在同一个抽屉里，也就是说，至少有两个自然数除以的余数相同。4、幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，但不能是同样的，问：至少有多少个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？【解析】从四种玩具中挑选不同的两件，所有的搭配有以下组：牛、马；牛、羊；牛、狗；马、羊；马、狗；羊、狗把每一组搭配看作一个“抽屉”，共个抽屉根据抽屉原理，至少要有个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同5、从1至2013这2013个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差不等于4？【解析】1
18、，3，6，8，11，13，16，18，21，这些数中任何两个数不连续且差不等于4，这些数是每5个连续的数中选择第一、三个数。20125=4023，所以最多可以选4022+2=805个数。（如果选择1，4，6，9，即每5个连续的数中选择第1、4个数。但是此时最多能选出4022+1=804数。）6、在米长的水泥阳台上放盆花，随便怎样摆放，请你说明至少有两盆花它们之间的距离小于米【解析】第盆花放在一个端点上，第盆花放在距第盆花恰为米处（这是两盆花之间最近的距离了，再近就说明题目已经正确了两盆花之间距离小于米）第盆花放在距离第盆花的距离米处，这样每隔米放盆花，直到阳台的另一个尽头，恰好放第盆花至此，阳
19、台上的盆花中任意两盆花之间的距离都按你的设想不小于米放好了现在考虑最后盆花，它只能放在已放好的盆花所留出的个空档内了，这已说明必有两盆花之间的距离小于米题目的结论是正确的。7、一个口袋中装有500粒珠子，共有5种颜色，每种颜色各100粒。如果你闭上眼睛，至少取出多少粒珠子才能保证其中有5粒颜色相同？【解析】至少要取（粒）。8、一个口袋里分别有红、黄、黑球4，7，8个，为保证取出的球中有6个同色，则至少要取小球_个。【解析】如果要保证取到6个同色的球，至少要取4+5+5+1=15个。 课后反击1、向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？【解析】一年最多有366天，可看做366个
20、抽屉，730个学生看做730个苹果因为，所以，至少有112（个）学生的生日是同一天。2、求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数【解析】，下面证明可以找到1个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数 取500个数：1，11，111，1111（500个1）用499去除这500个数，得到500个余数，由于余数只能取0，1，2，498这499个值，所以根据抽屉原则，必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，差的前若干位是1，后若干位是0：111000又499和10是互质的，所以它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数，将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数，这是
21、1996的倍数。3、100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个.【解析】从不利的方向考虑：当分苹果的学生多余某一个数时，有可能使每个学生分得的学生少于12个，求这个数. 100个按每个学生分苹果不多于11个（即少于12个）苹果，最少也要分10人（9人11个苹果，还有一人一个苹果），否则911100，所以只要分苹果的学生不多余9人就能使保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个（即多于11个）.4、从、这个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有个数的和是？ 【解析】构造抽屉：，共种搭配，即个抽屉，所以任意取出个数，无论怎样取，有两个数必同在一个抽屉里，这两数
22、和为，所以应取出个数或者从小数入手考虑，、，当再取时，与其中的一个去陪，总能找到一个数使这两个数之和为5、请证明：在1，4，7，10，100中任选20个数，其中至少有不同的两组数其和都等于104.【解析】1，4，7，10，100共有34个数，将其分为(4，100)，(7，97)，(49，55)，(1)，(52)，共有18个抽屉从这18个抽屉里面任意抽取20个数，则至少有18个数取自前16个抽屉，所以至少有4个数取自某两个抽屉中，而属于同一“抽屉”的两个数，其和是104。6、从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数【解析】把这20个数分成以下10组，看成10
23、个抽屉：(1，2，4，8，16)，(3，6，12)，(5，10，20)，(7，14)，(9，18)，(11)，(13)，(15)，(17)，(19)，前5个抽屉中，任意两个数都有倍数关系从这10个抽屉中任选11个数，必有一个抽屉中要取2个数，它们只能从前5个抽屉中取出，这两个数就满足题目要求。7、从1，2，3，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？【解析】此题是结合数论余数部分知识与抽屉原理而成，既然题目中说任意两数和不能被7整除，那么便从除以7的余数入手：余0：（7，14，21，28，35，42，49）；余1：（1，8，15，22，29
24、，36，43，50）；余2：（2，9，16，23，30，37，44）；余3：（3，10，17，24，31，38，45）；余4：（4，11，18，25，32，39，46）；余5：（5，12，19，26，33，40，47）；余6：（6，13，20，27，34，41，48）；第一组内的数最多只能取一个；如果取第二组，那么不能取第七组内任何一个数；取第三组，不能取第六组内任何一个数；取第四组，不能取第五组内任意一个数。第二、三、四、五、六、七组分别有8、7、7、7、7、7个数，所以最多可以取1+8+7+7=23个数。8、有红、黄、蓝、白4色的小球各10个，混合放在一个布袋里一次摸出小球8个，其中至少有
25、几个小球的颜色是相同的？【解析】从最不利的情况考虑，摸出的8个小球中有4个小球的颜色各不相同，那么余下的4个小球无论各是什么颜色，都必与之前的4个小球中的某一个颜色相同即这8个小球中至少有2个小球的颜色是相同的9、一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？【解析】点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为113中的一个，于是有2张点数相同直击赛场 1、一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回
26、答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3分，回答完全错误或不回答，得0分至少_人参加这次测验，才能保证至少有3人得得分相同【解析】根据评分标准可知，最高得分为50分，最低得分为0分，在050分之间，1分，2分，4分，7分，47分，49分不可能出现共有（种）不同得分根据抽屉原理，至少有（人）参赛，才能保证至少有3人得分相同2、袋中有外形安全一样的红、黄、蓝三种颜色的小球各10个，每个小朋友只能从中摸出1个小球，至少有_个小朋友摸球，才能保证一定有两个人摸的球颜色一样【解析】本题属于抽屉原理中构造抽屉解决问题，每个小朋友从中摸一个小球，小球的颜色可能为红、黄、蓝三种情况，故为三个抽屉，若想保证一定
27、有两个人摸的球颜色一样，必须有（个）小朋友。3、从、和中至多选出 个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍【解析】把这12个数分成6个组： 第1组：1，2，4，8 第2组：3，6，12 第3组：5，10 第4组：7 第5组：9 第6组：11 每组中相邻两数都是2倍关系，不同组中没有2倍关系 选没有2倍关系的数，第1组最多2个（1，4或2，8或，），第2组最多2个（3，12），第3组只有1个，第4，5，6组都可以取，一共个 如果任意取9个数，因为第3，4，5，6组一共5个数中，最多能取4个数，剩下个数在2个组中，根据抽屉原理，至少有3个数是同一组的，必有2个数是同组相邻的数，是2倍关系
28、 4、如图，在时钟的表盘上任意作个的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数并举一个反例说明，作个扇形将不能保证上述结论成立【解析】在表盘上共可作出12个不同的扇形，且112中的每个数恰好被4个扇形覆盖将这12个扇形分为4组，使得每一组的3个扇形恰好盖住整个表盘那么，根据抽屉原理，从中选择9个扇形，必有个扇形属于同一组，那么这一组的3个扇形可以覆盖整个表盘另一方面，作8个扇形相当于从全部的12个扇形中去掉4个，则可以去掉盖住同一个数的4个扇形，这样这个数就没有被剩下的8个扇形盖住，那么这8个扇形不能盖住整个表盘。重点回顾 抽屉原理的定义：一般情况下，把n1或多于n1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。名师点拨 抽屉原理的解题方案1、利用公式进行解题苹果抽屉商余数余数：（1）余数1， 结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数， 结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里2、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是