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1、高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.3三角函数的诱导公式教案中学数学第一章三角函数1.2随意角的三角函数1.2.3三角函数的诱导公式教案 本文关键词：函数，诱导，公式，教案，中学数学中学数学第一章三角函数1.2随意角的三角函数1.2.3三角函数的诱导公式教案 本文简介：12.3三角函数的诱导公式教学分析本节主要是推导诱导公式一、二、三、四、五、六，并利用它们解决一些求解、化简、证明的问题本小节介绍的六组诱导公式是后继学习内容的基础，它们主要用于解决求随意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题在诱导公式的学习中，化归思想贯穿始末，这一典型的数学中学数学第一章三角函
2、数1.2随意角的三角函数1.2.3三角函数的诱导公式教案 本文内容：12.3三角函数的诱导公式教学分析本节主要是推导诱导公式一、二、三、四、五、六，并利用它们解决一些求解、化简、证明的问题本小节介绍的六组诱导公式是后继学习内容的基础，它们主要用于解决求随意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题在诱导公式的学习中，化归思想贯穿始末，这一典型的数学思想，无论在本节中的分析导入还是利用诱导公式将求随意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，均清楚地得到体现，在教学中留意数学思想渗透于学问的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识本部分内容的重点是六个诱导公式的推导，在公式的推
3、导中，首先确定180角、角的终边与角的终边有何位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，由正弦函数、余弦函数的定义得出结论，另外，运用公式进行一般的化简，事实上也是熟识公式、巩固公式的一种方法，因此它同样属于本课时的重点之一公式二、公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大于90的非负角，但是在推导中却把拓广为随意角，这一思维上的转折使学生难以理解，甚至会导致对其必要性的怀疑，因此它成为本课时的难点所在课本例题事实上是诱导公式的综合运用，难点在于须要把所求的角看成是一个整体的随意角学生第一次接触到此题型，思维上有困难，要多加引导分析，另外，诱导公式中角度制亦可转化为弧度制，但必需留意同一个公
4、式中只能实行一种制度，因此要加强角度制与弧度制转化的练习三维目标1通过学生的探究，明白三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培育学生的逻辑推理实力及运算实力，渗透转化及分类探讨的思想2通过诱导公式的详细运用，娴熟正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用3进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想，通过一题多解，一题多变，多题归一，提高分析问题和解决问题的实力重点难点教学重点：六个诱导公式的推导及敏捷运用，三角函数式的求值、化简和证明等教学难点：六组诱导公式的敏捷运用课时支配2课时第1课时导入新课投影显示以下问题：sin_，cos_，si
5、n_，cos_，sin()_，cos()_，sin_，cos_，sin_，cos_.学生能立刻说出sin、cos的值，对于其他的值可能会有点困难，请细致视察一下，其他的角与之间有什么关系吗？你能否将其他角用表示出来？推动新课12k，2的三角函数等于的同名函数值，前面加上一个把看成是锐角时原函数值的符号，口诀是：函数名不变，符号看象限2.，的三角函数值等于的余名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，口诀是：函数名变更，符号看象限这九组诱导公式总的口诀是：奇变偶不变，符号看象限其中，变与不变是指函数名是否变更，奇偶是指前面是的奇数倍还是偶数倍，当成锐角来看，符号是指等号右边的正负号活动：
6、在初中学习的锐角三角函数值，可以在直角三角形中求得，特别角的三角函数值学生记住了，对非特别锐角的三角函数值可以通过查数学用表或运用计算器求得老师可组织学生思索探讨如下问题：0到90的角的正弦值、余弦值用何法可以求得；90到360的角能否与锐角相联系？通过分析与的联系，引导学生得出解决设问的一种思路：若能把求90，360)内的角的三角函数值，转化为求有关锐角的三角函数值，则问题将得到解决，适时提出，这一思想就是数学的化归思想，老师可借此向学生介绍化归思想通过分析，归纳得出：如图1.图1老师引导学生分为锐角和随意角作图分析：如图2.图2引导学生充分利用单位圆，并和学生一起探讨探究角与180的关系无
7、论为锐角还是随意角，180的终边都是的终边的反向延长线，所以先选择180为探讨对象利用图形还可以直观地看出角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的，对应点的坐标分别是P(x，y)和P(x，y)由此指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义，导出公式四：sin(180)sin，cos(180)cos.并指导学生写出角为弧度时的关系式：sin()sin，cos()cos，tan()tan.并进一步引导学生视察公式的特点，明白各个公式的作用老师引导学生在单位圆中探讨与的位置关系，这时可通过复习正角和负角的定义，启发学生思索随意角和的终边的位置关系：角的终边与角的终边关于x轴对称，它们与单位
8、圆的交点坐标的关系是横坐标相等，纵坐标互为相反数探究、概括、比照公式四的推导过程，由学生自己完成公式二的推导，即sin()sin，cos()cos，tan()tan.老师适时点拨学生留意：无论是锐角还是随意角，公式均成立，并进一步引导学生视察分析公式二的特点，得出公式二的用途：可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值学生自然会想到与会有什么关系呢？老师与学生一起探讨与的位置关系，这时可通过复习互补的定义，引导学生思索：随意角和的终边的位置关系：角的终边与角的终边关于y轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等，横坐标互为相反数探究、概括、比照公式二、三的推导过程，由学生自己完成公式
9、三的推导，即sin()sin，cos()cos，tan()tan.强调无论是锐角还是随意角，公式均成立并进一步引导学生视察分析公式三的特点，得出公式三的用途：可将求角的三角函数值转化为求角的三角函数值让学生分析总结诱导公式的结构特点，概括说明，加强记忆通过视察思索发觉以上公式可以用下面一段话来概括：k2(kZ)，的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号老师进一步点拨以上公式可简记为：“函数名不变，符号看象限”点拨、引导学生留意公式中的是随意角思路1例1见课本本节例1.变式训练1利用公式求下列三角函数值：(1)cos225；(2)sin；(3)sin()；(4)co
10、s(2040)解：(1)cos225cos(18045)cos45；(2)sinsin(4)sin；(3)sin()sinsin(5)(sin)；(4)cos(2040)cos2040cos(6360120)cos120cos(18060)cos60.点评：由上述例题我们可看出，利用公式一四把随意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法，这是数学中很重要的一种思想方法，老师在学生完成例1后应留出足够的时间让学生思索总结2cos330等于()A.BC.D答案：C3下列各数中，与sin2007的值最接近的是()A.B.CD答案：C
11、例2化简：.活动：引导学生仔细细致的视察题目，重点考查学生对学问的驾驭程度和应用的敏捷程度适时地提示学生留意，利用诱导公式时尽可能将角统一，从而达到化简的目的解：sin(180)sin(180)sin(180)(sin)sin，cos(180)cos(180)cos(180)cos，cos(180)cos，sin(360)sin，所以原式1.点评：运用诱导公式时首先将负角化为正角.变式训练化简：.解：1.思路2例1化简cos315sin(30)sin225cos480.活动：这是要求学生敏捷运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数，再求值、合并、约
12、分解：cos315sin(30)sin225cos480cos(36045)sin30sin(18045)cos(360120)cos(45)sin45cos120cos45cos(18060)cos601.点评：利用诱导公式化简是进行角的转化，最终达到统一角或求值的目的.变式训练求证：tan.分析：利用诱导公式化简较繁的一边，使之等于另一边证明：左边tan右边所以原式成立规律总结：证明恒等式，一般是化繁为简，可以化简一边，也可以两边都化简.例2推断下列函数的奇偶性：(1)f(x)1cosx；(2)g(x)xsinx.活动：依据函数奇偶性定义推断函数奇偶性时，可以按以下步骤进行：先依据解析式确
13、定函数的定义域，推断函数定义域是否关于原点对称(1)若定义域关于原点不对称，则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；(2)若定义域关于原点对称，再探讨f(x)和f(x)的关系若f(x)f(x)，则函数是偶函数；若f(x)f(x)，则函数是奇函数解：(1)因为函数f(x)的定义域是R，且f(x)1cos(x)1cosxf(x)，所以f(x)是偶函数(2)因为函数g(x)的定义域是R，且g(x)xsin(x)x(sinx)(xsinx)g(x)，所以g(x)是奇函数课本本节练习1、2、3.本节课我们学习了公式一、公式二、公式三、公式四四组公式，这四组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等
14、式时常常用到，为了记牢公式，我们总结了“函数名不变，符号看象限”的简便记法，同学们要正确理解这句话的含义，不过更重要的还是应用，我们要多加练习，切实驾驭由未知向已知转化的化归思想课本习题1.213、14、15.一、有关角的终边的对称性(1)角的终边与角的终边关于原点对称(2)角的终边与角的终边关于x轴对称(3)角的终边与角的终边关于y轴对称二、三角函数的诱导公式应留意的问题(1)k2(kZ)，的三角函数值等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数的符号；可简洁记忆为：“函数名不变，符号看象限”(2)公式中的是随意角(3)利用诱导公式一、二、三、四，可以把随意角的三角函数值转化为锐角的三角
15、函数值基本步骤是：随意负角的三角函数相应的正角的三角函数0到2角的三角函数锐角的三角函数三角函数即负化正，大化小，化为锐角再查表一、错解剖析我们在对已知条件等式进行变形时，特殊是进行平方变形时，往往不经意间会扩大或缩小角的取值范围，而造成漏解或增解，对于上述状况，肯定要留意题目所给条件对角的限制，要将所求得的解进行验证，或检查变形对角的范围有无影响例已知tan()a2，|cos()|cos，求的值错解：tan()a2，tana20，cos0)图1所以得出sinsin，coscos，tantan.几何方法：设角和角的终边分别与单位圆交于P，P1两点，则有P(cos，sin)，P1(cos，sin
16、)由点的对称关系得：sinsin，coscos，tantan.再探讨角和角的关系(由前面终边相同的角的学问归纳出角和角的关系)学生归纳：2k(kZ)特殊地，当k0时，也满意条件，于是得出sin()sin，cos()cos，tan()tan.(公式二)设计目的：由对称关系分别从数和形两个方面找寻终边关于x轴对称的角的三角函数值之间的关系，充分利用对称性，让学生比较两种方法的优劣，体会几何方法的简洁性把问题呈现给学生，引导学生主动主动探究，调动他们求知的主动性和主动性，将公式二的推导过程展示给学生，目的在于突破这一组公式后，就可以让学生自行推导其余的各组公式师：借助刚才我们探讨的方法，下面请同学们
17、自己选择合适的方法探究角和角的终边关于y轴，原点对称时你能得出什么结论学生活动：留时间给学生推导，老师巡察，对有困难的同学赐予适时的指导，情感上对学生赐予激励，帮助学生树立克服困难的信念稍后请同学回答，并将学生的成果用投影仪展示，加以适当调整修正即可得到公式三和公式四学问拓展：1.公式二、三、四能否由其中的两个推出另外一个？2由公式二你能得出三角函数的什么性质？合作探究：角和角的终边关于直线yx对称：(1)角和角的正弦函数和余弦函数值之间有何关系？(2)角的终边与角的终边是否关于直线yx对称？(3)由(1)和(2)你能得出什么结论？图2师生互动：多媒体展示图形，先让学生视察动画，老师引导学生从
18、图形和函数中点关于直线对称的学问一步步突破难点，对于与的终边是否关于直线yx对称，可以先从特别角视察，再推广到一般状况从而和学生一起合作推导出公式五突破难点：对于问题(1)我是这样引导学生的：从三角函数的几何意义得出角和角的终边与单位圆交点的坐标，接着可以通过两种途径找寻角和角的正弦函数和余弦函数值之间的关系方法一：通过三角形相像得到线段之间的关系，再依据有向线段的方向得出函数值之间的关系方法二：函数中某点(a，b)关于直线yx对称点的坐标为(b，a)，进而得出函数值之间的关系师：利用公式二和公式五你又能发觉什么？学生活动：由学生推导出公式六设计目的：几组诱导公式能一挥而就地推导出来，主要还是
19、依据三角函数的定义和终边的对称关系，可以从形上很直观地得出一些对称点的坐标之间的关系，每组公式的推导都是按下面的程序进行的：终边对称关系终边与单位圆的交点之间的对称关系交点坐标之间的关系三角函数值间的关系学生自己推导公式二、三、四、五，让他们亲身体验探究的过程，理解学问的发生过程，加深了对三角函数定义的理解而学问拓展又给学生一个思索的空间，可以通过多种途径得到结论其中就体现了变量代换，体现一种转化、化归的数学思想学问整合阶段诱导公式的记忆师：通过大家的努力我们得出了六组公式，这些都叫做三角函数的诱导公式诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个三角函数之间的关系换句话说，诱导公式实质是将终边对称
20、的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系面对这么多公式的记忆问题，同学们能否视察它们之间的联系与区分，找寻记忆的方法？学生活动：留时间给学生探讨、视察、分析、对比、沟通，最终总结：(1)公式特征；(2)记忆方法；(3)符号规律；(4)记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”设计目的：公式的繁多给学生的记忆带来很大的困难，让学生视察比较找寻公式之间的区分与联系，总结记忆的方法，培育学生从困难事物中发觉并归纳一般规律的实力闻名数学家华罗庚有一句名言：从薄到厚，再从厚到薄经过整合，公式的量大大削减，便利学生记忆又给出符号推断的图，形象直观思维有发散和敛聚两个方面，学问也有拓展和浓缩两种方式，在教学过程
21、中将公式经过整合，公式的量可大大的削减，最终概括为“奇变偶不变，符号看象限”，既从本质上刻画了学问的内涵，又减轻了学生记忆的负担图3学问应用阶段诱导公式的初步应用例1求值：(1)sin；(2)cos；(3)tan(1560)(学生回答，老师板书)师总结：我们来看大家的解答，留意不同的解答方法的繁简，发觉在求随意角三角函数值时都可以转化成求锐角的三角函数值(1)步骤：(2)留意点：符号的推断例2推断下列函数的奇偶性：(1)f(x)1cosx；(2)g(x)xsinx.(学生回答，老师板书)设计目的：随着角的概念的推广，同时也将三角函数的概念从锐角推广到随意角的范围，但推广的同时又要不断地返璞归真
22、，将随意角的函数回来到锐角的三角函数而诱导公式则是实现这种转化的关键例1是利用诱导公式求随意角的三角函数值，体现了诱导公式的作用以及学习诱导公式的必要性让学生自己尝试不同解法，比较其中的繁简，从而归纳求随意角的三角函数值的一般方法，即只要用公式转化为相应锐角的三角函数值即可，这种转化特别有价值，体现数学学问的返璞归真公式二是反映三角函数的奇偶性，回顾函数奇偶性推断的一般方法，为以后学习三角函数的图象和性质作铺垫学问巩固：学生练习课本本节练习题1、2(板演)、3(口答)学习小结阶段归纳学问方法，布置课后作业本节课的主要流程如下：(1)分析解决问题：教学中先引导学生分析解决问题，包括：引导学生分析
23、终边具有某种对称关系的两个三角函数之间的关系，再由终边相同角的学问得出角之间的关系，进而推导出三角函数的诱导公式，将学问的结合点设定在“对称”这个点上在得出公式后又在公式记忆这里给学生提出思索，总结出公式的规律和记忆方法(2)归纳解题方法：主要引导学生视察、归纳、猜想、合情推理(3)渗透数学思想方法：数形结合、变量代换、分类探讨等思想方法，培育学生思维的缜密性、创建性、深刻性等内容课堂小结：(请学生小结本节课的内容)1公式的推导及记忆方法；2运用公式求随意角的三角函数的解题步骤；3数形结合的思想方法课后作业：课本习题1.23、4、5.本节课设计对一般问题的探讨和论证，紧密而又和谐，学生不会有什
24、么大的障碍和困难本节课的主要任务是诱导公式的推导和简洁应用，同时又联系到图形的各种对称、变量的代换、数形结合、分类探讨的思想方法，使学生多方位、立体化、多层面地受益有机结合教学内容，特殊是中学数学的教学内容，对学生渗透辩证唯物主义世界观和方法论的教化，是中学数学教化极为重要的一项任务就本节课而言，“事物的内部冲突是推动事物发展的动力”“冲突双方在肯定的条件下可以从一方转化为另一方”“透过现象抓住事物的本质”这些完全可以渗透到教学过程中第19页 共19页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页