《广西普通高中跨市联合考2023-2024学年高三上学期适应性训练检测数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广西普通高中跨市联合考2023-2024学年高三上学期适应性训练检测数学试题含答案.pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司普通高中普通高中 2024 届高三跨市联合适应性训练检测卷数学届高三跨市联合适应性训练检测卷数学2023.11注意事项：注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时
2、，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数2i 3i的共轭复数为（）A.26iB.26iC.26i D.26i 2.已知集合221,3,320AaaBx xx，若AB，则a（）A.1B.2C.32D.13.已知 f x是定义在R上
3、的奇函数，且当0 x 时，2xf xxm，则3f（）A.10B.4C.4D.104.已知1122,A x yB xy是抛物线2:8C xy上的两点，且直线AB经过C的焦点，若1212yy，则AB（）A.12B.14C.16D.185.已知 fx是函数 f x的导函数，若函数 efxy的图象大致如图所示，则 f x的极大值点为（）A.aB.bC.cD.d广西普通高中跨市联合考2023-2024学年高三上学期适应性训练检测数学试题第 2 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司6.在四面体ABCD中，,1,2 2,15ABBC ABADCDBC，则四面体ABCD外接球体积为（）A.16B.163C
4、.32D.3237.某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过该设备过滤后排放，以减少对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：h）的关系为 0ektP tP（0P，k是正常数）.若经过10h过滤后减少了20%的污染物，在此之后为了使得污染物减少到原来的10%还需要的时长大约为（参考数据：2log 52.322）（）A.103hB.93hC.83hD.63h8 已知0,1ab，且22e2ln12abba，则必有（）A.eab B.lnbaC.ln1abD.ln1ab二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分
5、，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.若点1,0P在圆22:240C xyxym的外部，则m的取值可能为（）A.3B.1C.4D.710.某地发起“寻找绿色合伙人低碳生活知识竞赛”活动，选取了n人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在90,100的人数为 10，则（）A.0.01m B.100n C.若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则问卷调
6、查成绩的平均数低于 70D.问卷调查成绩80%分位数的估计值为 85的.的第 3 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司11.若数列 nc满足21nncc，则称 nc为“平方递推数列”.已知数列 na是“平方递推数列”，且110,1aa，则（）A.lgna是等差数列B.lgna是等比数列C.1nna a是“平方递推数列”D.1nnaa是“平方递推数列”12.某数学学习小组甲、乙、丙三人分别构建了如图所示的正四棱台，从左往右.若上底面边长、下底面边长、高均依次递增cmd，记正四棱台，的侧棱与底面所成的角分别为1，2，3，正四棱台，的侧面与底面所成的角分别为1，2，3，则（）A.132sinsi
7、n2sinB.132tantan2tanC.132coscos2cosD.132tantan2tan三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知向量,2ax，3,4b，若abbrrr，则x _.14.一排 6 个座位坐了 2 个三口之家，若同一家人座位相邻，则不同坐法种数为_.（用数字作答）15.已知函数 2sin10f xx在0,上有且仅有 2 个零点，则取值范围为_.16.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为F，直线:340lxy与C相交于,A B两点，若2ABOF（O为坐标原点），则C的离心率为_.四、解
8、答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，且coscos0cAaBc.（1）求222sinsinsinBCA的值；（2）若5a，求ABC面积的最大值.18.如图，在三棱锥PABC中，PB 平面ABC，ABAC，E，F分别为PC，PA的中点，且2 3BP，3 3AB，6BC.的的第 4 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司（1）证明：平面BEF 平面PAB，（2）求平面BEF与平面PEB夹角的余弦值.19.已知数列 na的前n项和为
9、nS，且42nnSa.（1）求 na的通项公式；（2）求数列121nnn na的前n项和nT.20.为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值 80 元，90 元，100 元的A，B，C三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每 10 积分可兑换 1 元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有 1000 积分，且甲兑换A，B，C三种商品的概率分别为12，13，16，乙兑换A，B，C三种商品的概率分别为12，16，13，且他们兑换何种商品相互独立.（1）求甲、乙两人兑换同一种商品的概率；（2）记X为两人兑换商品后的积分总余额，求X的分布列与期望21.已知椭圆C：2222
10、10 xyabab的焦距为2 3，且2222174baab.（1）求C的方程；（2）A 是C的下顶点，过点4,0P的直线l与C相交于M，N两点，直线l的斜率小于 0，AMN的重心为G，O为坐标原点，求直线OG斜率的最大值.22.已知函数 2exf xax.（1）若曲线 yf x在 1,1f处的切线经过坐标原点，求 a 的值（2）若方程 1f xx恰有 2 个不同的实数根，求 a 的取值范围.第 1 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司普通高中普通高中 2024 届高三跨市联合适应性训练检测卷届高三跨市联合适应性训练检测卷数学数学2023.11注意事项：注意事项：1.答题前，考生务必将自己
11、的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容本试卷主要考试内容：高考全部内容.
12、一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数2i 3i的共轭复数为（）A.26iB.26iC.26i D.26i【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法化简复数2i 3i，再利用共轭复数的定义可得出结果.【详解】因为22i 3i6i2i26i，故复数2i 3i的共轭复数为26i.故选：B.2.已知集合221,3,320AaaBx xx，若AB，则a（）A.1B.2C.32D.1【答案】C【解析】【分析】先由题意得1A或2A，从而分类
13、讨论各元素的值并检验即可得解.【详解】因为23201,2,Bx xxAB，所以1A或2A，若211a，则1a，此时1,1,3A，不满足集合的互异性；第 2 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司若212a，则32a，此时32,32A，符合题意；若2a，则213 a，此时3,2,3A，不满足集合的互异性.综上，32a.故选：C.3.已知 f x是定义在R上的奇函数，且当0 x 时，2xf xxm，则3f（）A.10B.4C.4D.10【答案】A【解析】【分析】由奇函数性质有 0020fm求参数，再利用奇偶性求3f.【详解】因为 f x是定义在R上的奇函数，所以 0020fm，解得1m ，所以
14、 3310ff .故选：A4.已知1122,A x yB xy是抛物线2:8C xy上的两点，且直线AB经过C的焦点，若1212yy，则AB（）A.12B.14C.16D.18【答案】C【解析】【分析】结合抛物线的弦长公式计算即可.【详解】121281216222ppAByyyyp.故选：C.5.已知 fx是函数 f x的导函数，若函数 efxy的图象大致如图所示，则 f x的极大值点为（）第 3 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司A.aB.bC.cD.d【答案】D【解析】【分析】由指数函数的性质判断 fx的符号，进而确定 f x的单调性即可知极大值点.【详解】由 efxy的图象知，当
15、,xa 时，e1fx，则 0fx，当,xa d时，e1fx，则()0fx，当,xd时，e1fx，则 0fx，故 f x的单调递增区间为,a d，单调递减区间为,a和,d，故 f x的极大值点为d.故选：D6.在四面体ABCD中，,1,2 2,15ABBC ABADCDBC，则四面体ABCD外接球的体积为（）A.16B.163C.32D.323【答案】D【解析】【分析】利用勾股定理得到ADCD，即可得到AC的中点为四面体ABCD外接球的球心，然后求外接球半径和体积即可.【详解】第 4 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司因为ABBC，1AB，15BC=，所以224ACABBC.又2 2AD
16、CD，所以222ADCDAC，故ADCD.取AC的中点O，则O到四面体ABCD四个顶点的距离均为 2，即四面体ABCD外接球的半径为 2，则四而体ABCD外接球的体积为3432233.故选：D.7.某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过该设备过滤后排放，以减少对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：h）的关系为 0ektP tP（0P，k是正常数）.若经过10h过滤后减少了20%的污染物，在此之后为了使得污染物减少到原来的10%还需要的时长大约为（参考数据：2log 52.322）（）A.103hB.93hC.83hD.63h【答案
17、】B【解析】【分析】根据题中条件，可求得ln0.810k ，则当 10%P tP时，可求得t值，即可得到答案.【详解】因为经过10h过滤后减少了20%的污染物，所以1000e80%kPP，解得ln0.810k .当 010%P tP时，ln0.8100010%etPP，解得2210 10log 510ln10103ln0.82log 5t.故还需要大约 93h.故选：B.8.已知0,1ab，且22e2ln12abba，则必有（）A.eab B.lnbaC.ln1abD.ln1ab【答案】A【解析】【分析】根据22e2ln12abba 得到2ln22eln1e21baba，然后构造函数的第 5
18、页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司 e1xfxx，根据 f x的单调性得到2ln2ba，整理得eab.【详解】因为22e2ln12abba，所以222ln2e22ln1eln1ababbb，所以2ln22eln1e21baba.令 e1xfxx，则 e1xfx，则 fx在0,上为单调增函数，则 00fxf，故 f x在0,上单调递增.因为0,1ab，所以20a，2ln0b.则2ln2ba，所以lnba，即eab，则 A 正确，B 错误，CD 无法确定其与 1 的大小关系，故选：A.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题
19、给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.若点1,0P在圆22:240C xyxym的外部，则m的取值可能为（）A.3B.1C.4D.7【答案】BC【解析】【分析】由圆22:(1)(2)5Cxym，结合点在圆外列不等式组求参数范围.【详解】由题设22:(1)(2)5Cxym，1,0P在圆外，则221 102550mm，解得35m.故选：BC10.某地发起“寻找绿色合伙人低碳生活知识竞赛”活动，选取了n人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左
20、闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在90,100的人数为 10，则（）第 6 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司A.0.01m B.100n C.若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则问卷调查成绩的平均数低于 70D.问卷调查成绩的 80%分位数的估计值为 85【答案】ABD【解析】【分析】根据所有小矩形面积之和为 1，即可判断 A；根据在90.100的频率为 0.1，由0.110n，即可判断 B；利用小矩形面积乘以组区间的中点值计算即可判断 C；利用百分位数的求法可判断 D.【详解】由图可知.100.0060.0120.020.0320.021m，解得0.0
21、1m，则成绩在90.100的频率为 0.1，由0.110n，得100n，A，B 正确；问卷调查成绩的平均数为45 0.0655 0.1265 0.275 0.3285 0.295 0.172.8，C 不正确.因为0.060.120.20.320.70.8,0.060.120.20.320.20.90.8，所以问卷调查成绩的80%分位数在80,90内，设问卷调查成绩的80%分位数为x，则0.70.02800.8x，解得85x，D 正确.故选：ABD.11.若数列 nc满足21nncc，则称 nc为“平方递推数列”.已知数列 na是“平方递推数列”，且110,1aa，则（）A.lgna是等差数列B
22、.lgna是等比数列C.1nna a是“平方递推数列”D.1nnaa是“平方递推数列”【答案】BC【解析】第 7 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司【分析】对于 AB，由题意得21nnaa，然后根据等差数列和等比数列的定义分析判断即可，对于 CD，由平方递推数列的定义分析判断.【详解】对 A，因为 na是“平方递推数列”，所以21nnaa.又10a，所以0na，则11lglglglgnnnnnaaaaa，所以lgna不是等差数列，A 不正确.对 B，因为21lglg2lglgnnnnaaaa，所以lgna是等比数列，B 正确.对 C，因为2222111nnnnnnaaaaaa，所以以1
23、nna a是“平方递推数列”，C 正确.对 D，因为2222111nnnnnnaaaaaa，所以1nnaa不是“平方递推数列”，D 不正确.故选：BC.12.某数学学习小组甲、乙、丙三人分别构建了如图所示的正四棱台，从左往右.若上底面边长、下底面边长、高均依次递增cmd，记正四棱台，的侧棱与底面所成的角分别为1，2，3，正四棱台，的侧面与底面所成的角分别为1，2，3，则（）A.132sinsin2sinB.132tantan2tanC.132coscos2cosD.132tantan2tan【答案】BD【解析】【分析】先根据正四棱台的特点分别求出侧棱和底面所成角和侧面和底面所成角，然后分别求出
24、对应的角的正弦余弦和正切值，然后根据选项等式验证即可.【详解】作正四棱台1111ABCDABC D，连接BD，作点1B在平面ABCD内的射影O，则O在线段BD上，过1B作1B MBC交BC于M点，MO，如图所示，第 8 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司，由图可知侧棱与底面所成的角为1B BO，因为1BO 底面ABCD，BC平面ABCD，所以1BOBC，又因为1B MBC，且1B M 平面1BOM，1BO 平面1BOM，1BOBMB，所以BC平面1BOM，而OM 平面1BOM，所以BCOM，所以1B MO为平面11BCCB与平面ABCD的夹角，即为四棱台侧面与底面所成的角，令图四棱台高
25、为h，上下底面边长分别为,a b，则112tan12222BOhhBObaba，同理可得23222tan,tan22hdhdbaba，所以132tantan2tan，B 正确；112tan12BOhhMObaba，同理可得23222tan,tanhdhdbaba，所以132tantan2tan，D 正确；对于 A：122222sin122hhhbahba，同理可得232222222sin,sin222hdhdhdbahdba，第 9 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司所以132sinsin2sin，A 错误；对于 C：1222212cos144bababahbah，同理可得222222
26、cos,cos442bababahdbahd，所以132coscos2cos，C 错误，故选：BD【点睛】关键点睛：本题的关键是找到侧棱与底面所成角的平面角和侧面与底面所成角的平面角，进而得到对应的角的三角函数值即可.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知向量,2ax，3,4b，若abbrrr，则x _.【答案】11【解析】【分析】根据平面向量的线性运算的坐标表示求得ab，进而根据向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】因为,2ax，3,4b，所以3,6abxrr，又因为abbrrr，所以0abbrrr，即334 60 x，解得
27、11x .故答案为：11.14.一排 6 个座位坐了 2 个三口之家，若同一家人座位相邻，则不同的坐法种数为_.（用数字作答）【答案】72【解析】【分析】根据题意可将 6 个座位分成两组，再将同一个家庭的 3 个成员相邻排列即可求得答案.【详解】由题可知，同一家人座位相邻，将 6 个座位分成两组，每组 3 个座位，同一家人相邻的不同坐法种数为33332A A72.故答案为：7215.已知函数 2sin10f xx在0,上有且仅有 2 个零点，则的取值范围为_.第 10 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司【答案】11 19,66【解析】【分析】由题设1sin2x 在0,x上有两个根，结合
28、正弦函数的图象列不等式求参数范围.【详解】由 0f x，得1sin2x，由0 x，得0 x.因为 f x在0,上有且仅有 2 个零点，所以111966，解得111966.故答案为：11 19,6616.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为F，直线:340lxy与C相交于,A B两点，若2ABOF（O为坐标原点），则C的离心率为_.【答案】102#1102【解析】【分析】结合图象分析四边形1AFBF为矩形，则利用直线:340lxy的斜率即可解决1AFF的值，从而 得 到1AFAF的 比 例 关 系，又 因 为12AFAFa，所 以 可 求 出13,AFa AFa和1210FF
29、ca，最终得到离心率.【详解】如图，记C的左焦点为1F，根拈对称性可知四边形1AFBF为平行四边形.因为2ABOF，所以1ABFF，所以四边形1AFBF为矩形.设1AFF，则122tan32,tan21tan4AOF，解得1tan3或tan3（舍去），所以113AFAF.由12AFAFa，得13,AFa AFa，第 11 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司则1210FFca，则C的离心率为：102.故答案为：102四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC的内角,
30、A B C的对边分别为,a b c，且coscos0cAaBc.（1）求222sinsinsinBCA的值；（2）若5a，求ABC面积的最大值.【答案】（1）0 （2）254.【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式可得cos0A，即可得2A，利用诱导公式计算可得222sinsinsin0BCA；（2）利用不等式可得221sin24ABCbcSbcA，再由勾股定理即可求得ABC面积最大值为254.【小问 1 详解】因为coscos0cAaBc，由正弦定理可得sin cossin cossin0CAABC.又sinsinsin coscos sinCABABAB，所以sin cos
31、cos sincossinsin0CAABABC.又因为sinsin0BC，所以cos0A.的第 12 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司又0,A，可得2A，故2222222sinsinsinsinsin1sincos102BCABBBB .【小问 2 详解】因为2A，所以2211sin224ABCbcSbcAbc，当且仅当bc时，等号成立.又可知22225bca，所以ABC面积的最大值为254.18.如图，在三棱锥PABC中，PB 平面ABC，ABAC，E，F分别为PC，PA的中点，且2 3BP，3 3AB，6BC.（1）证明：平面BEF 平面PAB，（2）求平面BEF与平面PEB夹
32、角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）1313.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）建立以A 为坐标原点，AC，AB所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系.分别求出平面BEF与平面PEB的法向量，代入平面夹角的公式即可.【小问 1 详解】证明：因为PB 平面ABC，AC平面ABC，所以PBAC又ABAC，PBABB，PB 平面PAB，AB平面PAB所以AC 平面PAB第 13 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司因为E，F分别为PC，PA的中点，所以/EF AC，则EF平面PAB，因为EF 平面BEF，所以平面BEF 平面PAB.【小问 2 详
33、解】以A 为坐标原点，AC，AB所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系.由ABAC，3 3AB，6BC，得223ACBCAB，则0,3 3,0B，0,3 3,2 3P，3 3 3,322E，3 30,32F，33 3,322BE，3,0,02EF ，0,0,2 3BP 设平面BEF的法向量为111,mx y z，则0,0,m BEm EF 即111133 330,2230,2xyzx令12y，得10 x，13z.则0,2,3m.设平面 PBE 的法向量为222,xny z，则0,0,n BEn BP 即222233 330,222 30,xyzz令21y，得23x，20z.则3
34、1 0,n.213cos,132 13m nm nm n ，即平面BEF与平面PEB夹角的余弦值为1313.19.已知数列 na的前n项和为nS，且42nnSa.（1）求 na的通项公式；.第 14 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司（2）求数列121nnn na的前n项和nT.【答案】（1）1*2,Nnnan （2）21141 2nnTn【解析】【分析】（1）由,nnSa的关系式可得 na是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，即可求出1*2,Nnnan；（2）根据裂项相消求和可得121211121 2nnnnn nann，即可得21141 2nnTn.【小问 1 详解】当1n 时，
35、由1142Sa，得14a.当2n 时，因为42nnSa，所以1142nnSa，两式相减得122nnnaaa，即12nnaa.故 na是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，从而114 22nnna.即 na的通项公式为1*2,Nnnan【小问 2 详解】由（1）可知2121221111 221 2nnnnnnn nan nnn，则2334122111111111 22 22 22 221 241 2nnnnTnnn，即21141 2nnTn20.为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值 80 元，90 元，100 元的A，B，C三种商品中选择一种使用积分进
36、行兑换，每 10 积分可兑换 1 元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有 1000 积分，且甲兑换A，B，C三种商品的概率分别为12，13，16，乙兑换A，B，C三种商品的概率分别为12，16，13，且他们兑换何种商品相互独立.第 15 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司（1）求甲、乙两人兑换同一种商品的概率；（2）记X为两人兑换商品后的积分总余额，求X的分布列与期望【答案】（1）1336；（2）分布列见解析，250E X.【解析】【分析】（1）应用独立乘法公式、互斥事件加法求甲、乙两人兑换同一种商品的概率；（2）根据题设确定X的可能取值并确定对应概率，即可写出分布列，进而求期望.【小问
37、 1 详解】由题可知，甲、乙两人兑换同一种商品的概率为1111111322366336；【小问 2 详解】由题意，兑换A，B，C三种商品所需的积分分别为 800，900，1000，则X取值可能为 0，100，200，300，400，11106318P X，11115100663336P X，1111111120036236236P X，1111130026324P X，111400224P X，则X的分布列为X0100200300400P11853611361414151111()010020030040025018363644E X.21.已知椭圆C：222210 xyabab的焦距为2 3
38、，且2222174baab.（1）求C的方程；（2）A 是C的下顶点，过点4,0P的直线l与C相交于M，N两点，直线l的斜率小于 0，AMN的重心为G，O为坐标原点，求直线OG斜率的最大值.【答案】（1）2214xy 的第 16 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司（2）38【解析】【分析】（1）根据焦距和222abc和题目条件得到方程组，求出2241ab，得到椭圆方程；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，得到两根之和，再表达出重心坐标，21134328OGkk，求出最大值.【小问 1 详解】由题可知222222217422 3abcbaabc，解得2241ab故C的方程为2214xy；【
39、小问 2 详解】设l的方程为40yk xk，11,M x y，22,N xy.联立方程组224,440,yk xxy整理得222214326440kxk xk，则22222324 1464416 1920kkkk，得2112k，21223214kxxk.设00,G xy，因为0,1A，所以1203xxx，12013yyy，第 17 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司所以12122212122811811184323214OGk xxkyykkkkxxxxkkk 21134328k，当14k，即14k （满足2112k）时，OGk取得最大值，且最大值为38.22.已知函数 2exf xa
40、x.（1）若曲线 yf x在 1,1f处的切线经过坐标原点，求 a 的值（2）若方程 1f xx恰有 2 个不同的实数根，求 a 的取值范围.【答案】（1）0a （2）11,022【解析】【分析】（1）根据函数导数的几何意义即可求解；（2）依题意，构造函数 1g xf xx，运用分类讨论思想，求出函数的单调性，从而求出函数 g x有 2 个零点时 a 的取值范围.【小问 1 详解】因为 2exf xax，所以 e2xfxax,由 1efa，1e2fa，得曲线 yf x在 1,1f处的切线方程为ee21yaax.因为该切线经过坐标原点，所以 0ee20 1aa，解得0a.【小问 2 详解】令 2
41、1e1xg xf xxaxx，则 e21xgxax令 e21xh xax，则 e2xh xa.若0a，则 0h x恒成立，h x在,上单调递增.因为 00h，所以当,0 x 时，0gxh x，g x单调递减，当0,x时，0gxh x，g x单调递增，.第 18 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司则 min0g xg，即方程 1f xx有且仅有 1 个实数根，不符合题意.若a0，则由 0h x，解得ln2xa，当,ln2xa 时，0h x，h x单调递减，当ln2,xa时，0h x，h x单调递增，则 minln222 ln21h xhaaaa.令 22 ln21xxxx，0 x，则 2
42、2ln222ln2xxx ，当1,2x 时，0 x，x单调递增，当1,02x 时，0 x，x单调递减，则 max102x.若12a ，则 0gxh x恒成立，则 g x在,上单调递增，g x不可能有两个零点，即方程 1f xx不可能有 2 个不同的实数根，不符合题意.若12a ，则ln20a，ln20ha，显然当x 时，h x ，故0ln2,xa，00h x.又 00h，所以当,0 x 和0,x 时，0gxh x，g x单调递增，当00,xx时，0gxh x，g x单调递减.因为 00g，当x 时，g x，所以10,xx，10g x则 g x恰有 2 个零点，即方程 1f xx恰有 2 个不同
43、的实数根，符合题意.若102a，则ln20a，ln20ha，显 然 当x 时，h x ，故2,ln2xa，20h x.第 19 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司又 00h，所以当2,xx 和0,时，0gxh x，g x单调递增，当2,0 xx时，0gxh x，g x单调递减.因为 00g，当x 时，g x ，所以32,xx，30g x，则 g x恰有 2 个零点，即方程 1f xx恰有 2 个不同的实数根，符合题意.综上所述，a的取值范围为11,022.【点睛】利用导数解决函数零点（或方程根）问题主要有两种方法：（1）利用导数研究函数的单调性、极值（或最值），转化为函数与 x 轴的交点问题：主要是应用分类讨论思想；（2）分离参变量：通过分离变量转化为研究两个函数图像交点的个数问题.