《广东省揭阳市普通高中2023届高三上学期期末数学试题（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省揭阳市普通高中2023届高三上学期期末数学试题（解析版）.pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、揭阳市2023年普通高中高三级教学质量测试数学本试题共4 页，考试时间120分钟，总分150分一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1,已知全集。=集合A=X 2X2 3,=3 XW 1,则A B=()A.x|-1 W 1 B.x|x-3C.x|x4-3 D.小-3或xl【答案】B【解析】分析】化简A,由补集求得B,即可进行交集运算.【详解】由。避=卜|一3%1,得5=上 l.又 A=X|1-2XN3=MX-1,所以 A cB =xx 2 ，则下列结论一定成立的是()c.(g)1 D.a3 b3【答案】D【解析】【分析】由2
2、2 ，得 如 取。=3,。=2可判断A,C；根据函数)=在R上单调递减，可判断B；根据基函数y=Y在R上单调递增可判断D.【详解】由2 2 ，得。8，取。=3/=2,则l n(a-0)=0,选项A不正确；因为 1 V由于函数y=在R上单调递减,选 项B不正确;因为,取a =3,6 =2,选项C不正确;由于幕函数y=V在R上单调递增，故选项D正确.故选：D.5.一个圆锥的轴截面是等边三角形，且该圆锥内部最大的球的表面积为4兀.若该圆锥的轴截面的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A.8兀TB.8兀32KD.1 6兀【答 案】D【解 析】【分 析】首先求出内切球的半径小 依题意可得圆锥的
3、内切球和外接球的球心是同一个点，且 球。的半径为该等边三角形外接圆的半径，设 球。的 半 径 为R,则R=2，最后根据球的表面积公式计算可得.【详 解】解：设该圆锥内切球的半径为，则4兀 产=4兀，所以厂=1.因为该圆锥的轴截面是等边三角形，所以其内切球和外接球的球心是同一个点，即该等边三角形的中心，则 球。的半径为该等边三角形外接圆的半径，设 球。的半 径 为R，则R=2 r =2，所 以 球。的表面积为S=4兀&=1 6兀.故 选：D.6.己知弓/71、,c os a +一 0,4因 为a 。，彳J,所 以0 +4.(71)X所以 c os a=c os a +I 4j 4故选：B.7.已
4、知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要 求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则 不 同 的 排 队 方 式 的 种 数 为()A.2 8 8 B.1 4 4 C.7 2 D.3 6【答 案】C【解 析】【分析】方 法1：运用捆绑法及分步乘法计算即可.分步排队方法：2位父亲排队-2位母亲排队-3个小孩“捆绑”内部排队一在父亲母亲产生的3个空中选一个空将3个小孩放进去.方法2：运用捆绑法及分步乘法计算即可.分步排队方法：2位父亲排队-3个小孩“捆绑”与2位母亲排队 3个小孩“捆绑”内部排队.【详解】方 法1：2位父亲的排队方式种数为A
5、 0 2位母亲的排队方式种数为A；,3个小孩的排队方式种数为A；,将3个小孩当成一个整体，放进父母的中间共有A；种排队方式，所以不同的排队方式种数为A；A；A；A；=72.方法2：2位父亲的排队方式种数为A；,将3个小孩当成一个整体与2位母亲的排队方式种数为A；,3个小孩的排队方式种数为A；,所以不同的排队方式种数为A；A；A；=72.故选：C.2兀8.如图，四边形A8CO是边长为6的正方形，尸是圆弧A。上的动点，且乙4尸。=可，。是线段8C上的动点.当点尸固定时，点Q将运动到使|PQ|取到最小值时的位置；当点。固定时，点P将运动到使|PQ|取到最大值时的位置.当某一时刻，点P,Q都不再运动，
6、且满足上述条件时，则|尸。|=()【答案】A【解析】【分析】由题意点P，Q都不再运动，且满足已知条件时，P为AO的中点，且则。为的中点，连接PQ交AO于 ，求出1 P M即可得解.【详解】当点?固定时，点。将运动到使|PQ|取到最小值时的位置，此时，PQBC,则要使当点P,Q都不再运动，且满足题中两个条件时,P Q 工B C,且点尸离A D 最远，则尸为A O 的中点，所以。为 3 C 的中点，连接PQ交 A 于M，因为四边形A B C D是边长为7 3 的正方形，所以Q M L A D，M 为 A D 的中点，2兀又因NAPO=3-,P 为 A O 的中点，所以|PA|=|PO|,|AM|=
7、苴，Z A P M =Z D P M =:,2 3所以|p M=g,因为。为 B C 的中点，所以|陷2|=|阴=6,所以|P 0 =6+g.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在正方体ABC)-A B R 中，下列结论正确的是OA.B C、/平面 ACD B.上平面 A CD,C.点。到平面A C Q 的距离为:D.0 A 与平面A C R 所成角的正弦值为日【答案】ABC【解析】【分析】构建空间直角坐标系，用向量法根据线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理判断A、B正确,
8、根据空间向量法求取面的法向量，求 得 点。到平面A C。的距离为L4O,故C正确，求得。A与平面3ACA所成角的正弦值为正，选项D错误.3以。为坐标原点，DA,DC,所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图所示.设正方体的棱长为 1，连接 肛 交 AHO,连接。A，则。(0,0,0),A(l,0,0),C(0,l,0),4(u,i),A(o,o,i),q(0,1,1),所以on=(o,o,i),0 4=(1,1,1),OR=(；,g,i),A C =(-1,1,0),g =(1,0,1),*=(1,0,1).由 =B C|,得 3 C 1.又 A。u 平面 A C ,B Q ,V 3
9、 3D BDDDB,故选项D错误;故答案选A B C.1 0.2 0 2 2 年前三个季度全国居民人均可支配收入2 7 6 5 0 元，比 2 0 2 1 年同期增长了约5.3%,图为2 0 2 1年与2 0 2 2 年前三季度全国及分城乡居民人均可支配收入的对比图；图为2 0 2 2 年前三季度全国居民人均消费支出及构成（其中全国居民人均可支配收入=城镇居民人均可支配收入X城镇人口比重+农村居民人均可支配收入X农村人口比重），则下列说法正确的是（)2021年与2022年前三季度全国及分城乡居民人均可支配收入（单位：元）2021年前三个季度 2022年前三个季度人均可支配收入 人均可支配收入2
10、022年前三季度全国居民人均消费支出及构成A.2 0 2 2 年前三个季度全国居民可支配收人的中位数一定高于2 0 2 1年同期全国居民可支配收入的中位数B.2 0 2 2 年城镇居民人数多于农村居民人数C.2 0 2 2 年前三个季度全国居民在食品烟酒以及居住方面 人均消费超过了总消费的5 0%D.2 0 2 2 年前三个季度全国居民在教育文化娱乐方面的人均消费支出超过了 37 0 0 元【答案】B C【解析】【分析】根据图中所给的信息对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于选项A,图中信息体现的是平均数的差别，没有提供中位数的信息，不能作出判断，故选项A错误;对于选项B,设 2 0 2 2
11、 年城镇居民占全国居民的比重为X,则有37 4 8 2 x x+14 6()()x(l x)=2 7 6 5 0,解得 =0.5 7,故选项 B 正确;2 0 2 2 年前三个季度全国居民在食品烟酒以及居住方面的人均消费支出占总消费的比例分别为30%,2 4%,故选项C 正确；2 0 2 2 年前三个季度全国居民在教育文化娱乐方面的人均消费支出为2 7 65（）x l 0%=2 7 65 （元），且2 7 65 0,得一 a(x+l).令 外 力=三，则 尸(力=宁当x 0,歹(力单调递增;当x l时，F(x)0,尸(x)单调递减.如图，分别作出函数尸(力=吃与y =a(x+l)的图象，其中直
12、线y =a(x+l)恒过定点P(-1,O).存在唯一的整数%,使得一；a(x+l),则需即 廿=2m+三 厂 费与)1 2 1 1 1 2 1 而五 任 密故选：A C.【点睛】参数分离法解不等式恒成立问题：(1)参数完全分离法:将参数完全分离到不等式的一端，只需求另一端函数的最值即可，这种方法的好处是分离后函数不含参数，易求最值.(2)参数半分离法:将原不等式分成两个函数，其中一个函数为含参的简单函数，如一次函数，可以通过图象的变化寻求满足的条件.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.记 等 差 数 列%的 前 项 和 为S“，已 知S4=9,a4+7=y,贝乂对 的 通 项
13、 公 式 为,【答 案】a”=n+22【解 析】【分 析】运用等差数列通项公式及等差数列前项和公式的基本量代入计算即可.【详 解】设 等差数列%的 公 差 为 匕则 可=4+(-1时,S=nai+nX)d,(3S4=4ay+6d=9 ai=15 n v 2,+%=4+3d+4+6d=26+9d=_ 1l 2 4=2LL-3/八 1 +2所以 4=/+(1)义/=丁故答案为：%=叶2.214.已知函数/(x)满 足/(x)+/(j)=0；在定义域内单调递增.请写出一个符合条件的函数的表达式.【答 案】x)=lnx(答案不唯一)【解 析】分 析 根据对数的运算法则以及对数函数的单调性求解即可.【详
14、 解】取/(x)=lnx,则/(x)+/=lnx+ln=Inx-lnx=0,满足；因 为e l,所 以,f(x)=lnx在 定 义 域(0,+。)内单调递增，满足，故符合条件的函数的表达式可以为/(x)=lnx.故答案为：f(x)=l n x (答案不唯一).15.如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压U(单位：V)和时间，(单位：s)满足 =3小 山(3+0)卜 0,时 8 0).尸是E的左焦点，过E的上顶点A作A F的垂线交E于点区若直线A 8的斜率为-百，的面积为 立，则E的标准方程为132 2x-y 1_ _i-_ 1 答案2 x-4 16【解析】【分析】设。为坐标原点，直线4
15、8交x轴于点C,并作出图，根据43 _ L A产，直线A B的斜率为-6,得到ZAFC=3 0 ,结合椭圆的性质得到10A l =y,OF=瓜,从而设直线A B的方程：y =-氐+-,2 2 2联立直线A B的方程和椭圆方程解得B的坐标，再根据A B尸的 面 积 为 走，即可求解.13【详解】设。为坐标原点，直 线 交x轴于点C,如图所示：由题意知：A B L A F,直 线 的 斜 率 为 一 行，即 =-石，所以NA C F =6 0,ZAFC=30.由椭圆的性质知：|Q4|=，|0q=c,则|A月=a,所以|0川=3，|0日=&,2 21 a 1 _+2_又a 0,所以a =,即=一=一
16、，则E的标准方程为1 12 2 4-4 16二+=1故答案为：1 1 一.4 16四、解答题：本题共6 小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列 aj满足4=2,是 以1为首项，2为公比的等比数列.（1）求 凡 的通项公式;（2）求 数 列 的 前 项 和S“.44+1J【答案】（1）。“=2 I+1（2）S=-212+1【解析】【分析】（1）由等比数列通项公式可得4+1-&=2 7,可构造4 M-2=4-2-，利用常数列求解，也可根据4万-=2 T,利用累加法求解；（2）根据裂项相消法求和即可.【小 问1详解】由题意得怎+a“=l x 2 T=2 T,法一：因
17、为 an+l-an=2-=2 -2，即 为 用 -2 =a,-2 ,所以%2 T是常数列，所以4-2 T=4-2=1,故a“=2 T+l.法二：当 2 2时，=2-2,-an_2=2 y,，a2-at=2,等式两边分别相加，得=2+2、+2-2（）_2-ix2o1-2所以 4 =2 T-l +q =2,-+1.当=1时，也符合上式，故a“=2j+l.【小问2详解】-1因为藤 二 一（2n-+l）（2n+l）一（2叫1）（2 +1）_ J _ _ _ _ _ _ _ 1 2 T+2+1b-1 1 1 1 1 1所以 5“=7-:-1:-;-F H-：-20+1 2+1 2+1 22+1 2/,_
18、|+1 2+1_ _ _1 2 2n+l18.记一的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,已知2a c o s 6 =2c 点。为8 c边的中点.（1）求 A；（2）若.=2百，A =S，求的面积.【答案】（1）4=；2百.【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角及s i n C =s i n（A +B）展开代入计算即可.（2）联立2A D A B+A C两边平方后的式子与a2=b2+c2-2b c c o s A所得的式子解方程组可得be的值,再代入三角形面积公式可得结果.【小 问1详解】由 2 c o sB =2c-。及正弦定理得：2si n Ac o sB =2si n C-si n B.
19、由 A+8+C =兀，得 si n C =si n（A+8）=si n A c o s B+c o s Asi n B.所以 si n B =2c o s Asi n 3.因为3 e（0,兀），所以si n B/O，贝IJCOSA=L2又 AG（0,71）,所以A=方；【小问2详解】点。为B C边的中点，2 A D =A B +AC4心=A Bi+A C1+2AB-A C -j T i 1又 丁 A D =5/7 AJ?,A C -be c o s be，3 22S=h2+c2+b c，即 廿+。2=28/?c.又.在 ABC 中，a2=b2+c2-2/JCCOS ABAC-a=2 6，NBA
20、C=1,b2+c2=l2 +bc,由得：be=3,：,/ABC 的面积 S=6 csin NBAC=.219.如图，在二A B C 中，B=90,A 3=4，BC=2,D,E分别是边AB,AC的中点，现将VA DE沿着。E折起，使点A 到达点P 的位置，并连接PB,P C,得到四棱锥。一 3cE。，如图，设平面POE平面PBC=/(1)证明：/_!_ 平面PBQ；(2)若点B 到平面P0E的距离为6,求平面PEC与平面PBO夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析也2【解析】【分析】(1)先由线面垂直判定定理证得DE 1 平面PBD,再运用线面平行的判定定理证得DE 平面PBC,再运用线面平行的
21、性质定理证得/DE,进而证得结果.(2)过点B 作 8 尸，尸 ，由面面垂直的性质证得B/_ L 平面PO E,进而求得NPD5=6()。，取 BD的中点 0,连 接 0 P,再由线面垂直的性质证得DE L Q P,进而由线面垂直的判定定理证得。尸，平 面 BCEZ),则以。为坐标原点建系，分别计算平面PEC与 平 面 的 法 向 量，代入面面夹角的计算公式即可.【小 问 1详解】证明：因为3 =9 0 ,所以5C _L5D.因为。，E 分别是边AB,AC的中点，所以 O E 8 C,所以 DE L 3 D，D E P D.又 BD,B D u平面 P8D，B D P D =D,所以平面PBD
22、因为D E B C,平面P8C,B C u平面8C,所以DE 平面PBC又Z）E u平面PD E,平面POE 1平面P8C=/,所以/D E,所以/_/平面PBD小问2详解】如图，过点8作3b_LPZ），垂足为F.由（1）知平面PEJ_平面P8。，又平面POE 平面P B D=P D,B F u平面PBD,所以6b_L平面PDE,所以点B到平面P D E的距离即为BF的长，即B F =5在尸中，sinZ P D B =,所以NP3=60。.B D 2又B D =P D =2,所以 夫&）是边长为2的等边三角形.取8。的中点0,连接0 P,则OP_L3Q,O P =6由（1）知，。1平面也?。，
23、又。P u平面PBO,所以又 B D c D E=D，BD,D E U 平面 BCEQ,所以OP_L平面BCED.以。为坐标原点，DB,OE所在直线分别为x轴、y轴，且以过点。与。尸平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则0（0,0,0）,P（1,O,V3）,（0,1,0）,C（2,2,0）,PE=（-1,1,一百），C=（2,1,0）,=(0,1,0).设平面P E C的法向量为m =（x,y,z）,则P E -m =-x+y-y/3z=0EC-m=2尤 +y=0令 x=l,得 y=-2,z=-73,所 以 根=(1,2,一6)是 平 面P E C的一个法向量.又 =(0,1,0)是
24、平面尸8。的一个法向量，II 。回 2 V 2所以 k o s，w,DE=尸=,1|加|卜 叫 1 x 2拒 2所 以 平 面P E C与 平 面 夹 角 的 余 弦 值 为 也.220.夺冠 这 部 影 片讲述的是中国女排从19 8 1年首夺世界冠军到20 16年里约奥运会生死攸关的中巴大战，诠释了几代女排人历经浮沉却始终不屈不挠、不断拼搏的传奇经历.现代排球赛为5局3胜 制，每 局2 5分,决 胜 局1 5分.前4局比赛中，一 队 只 有 赢 得 至少2 5分，并 领 先 对 方2分时，才 胜1局.在第5局比赛中先获得1 5分 并 领 先 对 方2分的一方获胜.在一个回合中，赢 的 球 队
25、 获 得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方.经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获 胜 的 概 率 为 当 乙 队 拥 有 发 球 权 时，甲队获胜的概率为;.32(1)假 设 在 第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求 甲 队 在 前3个回合中恰好获得2分的概率；(2)当两支球队比拼到第5局 时，两 支 球 队 至 少 要 进 行1 5个回合，设 甲 队 在 第i个回合拥有发球权的概率为 Q .假设在第5局由乙队先开球，求 在 第1 5个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.10-271一614xzX13-
26、5z(x3-5答2),甲队开球的概率大于乙队开球的概率【解 析】【分 析】(1)在 前3个回合中甲队恰好获得2分对应的胜负情况为：胜胜负；胜负胜；负 胜 胜 共3种情况,求三种情况的概率之和即可.(2)由 月 与 匕 的 关 系 式 求 得 的通项公式，进 而 得 片5,比 较 5与g即可【小 问1详 解】在 前3个回合中甲队恰好获得2分对应的胜负情况为：胜胜负；胜负胜；负 胜 胜 共3种情况，对应的概率分别记为：、鸟、乙,c 2 2 1 4P =X X =1 3 3 3 273 3 2 93 3 2 3 9所以甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率尸=3+工+2=山.2 7 9 9 2 7【小
27、问2详解】2 1 1 1由全概率公式可得，/+13 2 0 2易知6=0,所以1 6|1是 以-|为首项,2为公比的等比数列,3 3 1所以复十户,故小3 3 1T7 E 4 r 1 1 3 1 6 H _ 6 匚 匚 、i r 又 因 为 一 厂 历 一 丁 祈=7所 以%了而在每一个回合中，甲、乙两队开球的概率之和为1,从而可得在此回合中甲队开球的概率大于乙队开球的概率.2 1.已知尸是抛物线氏9=2内50）的焦点，过点F的直线/与E交于A,B两点.当/_ L x轴时，一。（O为坐标原点）的面积为2.（1）求E的方程；（2）设过点尸的直线4与E交于C,力两点，且|E 4 1 M Bi=|尸
28、。廿。.当|CQ|=8时，求直线/的方程.【答案】（1）y 2 =4 x（2）x-y-l=0或尤+一1 =0【解析】【分析】（1）由抛物线的通径代入三角形的面积公式计算可得结果.（2）联立直线/的方程与抛物线方程，由韦达定理及抛物线定义得|/弘卜产耳，同理可得归。|皿，进而得 叫=一 相，由抛物线的定义可得|AB|,进而得I C。代入计算可得结果.【小 问1详解】当/J_x轴时，AB为抛物线E的通径，此时|A3|=2p.易知O尸_LA B,所 以。尸是 OAB的高，所以 048 的面积 S=；X|AMX|0F|=2,解得 =2,所以E的方程为y2=4x.【小问2详解】由题意可设直线/的方程为
29、=冲+1,A（X|,yJ,B（x2,y2）,x=my+,联立2 -，得 y2 4my 4=0,A0,y2=4x则 y+%=4根，yty2=-4.根据抛物线的定义，得|E4|=玉+1,|厂 邳=+1,所以|刑.|冏=（飞 +l）（x2+l）=（7 nyI+2）（阳2+2），整理得=加2,为+2?（y+%）+4=4 7 2 +4.设直线4的方程为x=，4y+i,同理可得|卜。卜|田|=4/靖+4.因为|材.|尸四=忸。|皿,所以4川+4=4喈+4,解 得 根=叫（舍去）或 加+叫=0,即g=一机，所以=|冏+|8=司+/+2=/篦（凶 +%）+4=4加 之 +4,同理可得|C）|=4喈 +4=4（
30、-加 了 +4=4m2 +4.当心 力=8时，即4加2+4=8,解得加=1,所以直线/的方程为-,一1 =0或x+y l=0.22.已知函数/（无）=2a In x+V -2（。+1）x（。0）.（1）讨论/（x）的零点个数；（2）当/（力 有两个零点时，分别设为为，（玉w），试判断王+与2的大小关系，并证明.【答案】（1）答案见解析;(2)玉+2,证明见解析.【解析】【分析】(1)利用导数可求出/(力 的最小值为-1-2弓，后讨论最小值与。的大小结合零点存在性定理可解决问题；(2)由(1)可得0 占1%,/(x)在区间(1,4。)上单调递增，则玉+/与2的大小关系，等价于与2-%的大小关系，
31、即与“2 不)的大小关系，又注意到=/(%)，故利用导数研究函数/(2 -X)-的单调性即可.【小 问1详解】/(力=次 +2*2(a +l)2 x2-2(a+l)x+2 a _ 2(x-a)(x-1)xx因为a 0,所以当xe(O,l)时，/”(x)0,/(x)单调递减;当xe(l,+c o)时，网x)0,单调递增,所以/().=/(1)=一1一2 a.所以当一1一2。0,即。一；时，/(x)的零点个数为0；当一 1一 方=0,即。=,时，X)的零点个数为1；当一 1一幼0,即,。0时，注意到0/J-2 -(-f ea=2 +e -2 (a +1)e =e e o -2。+2 1 -e 02
32、令 g (x)=ex+-2,x因。0,则2,2 ai-i 2 )令=，则/e =ez el+2 -2.a I J I Z 7G(2,+o o),贝ij g(x)=ex2x29 i o因e，e2,4 1 0,即 g（x）在（2,+s）上单调递墙x 2 x则 g （x）g（2）=e?-1 6,则/e 6 ez-2 6 e2-2 0.7故%e ea,1 ,3X2 e 1,e ,使得/（百）=/伍）=0，得 一一。0时，x）的零点个数为 7 I 7 22.综上：a时，”X）的零点个数为0；。=一；时，X）的零点个数为1；得 3a2.证明如下:由 可 知，当a e（一；,0卜寸，函数“X）有两个零点，K 0 A,1 0,所以尸（x）在区间（0,1）上单调递增，所以产=（无JF（l）=0,所以=巧）.因为0 c xi 1 1.又 由（1）知/（x）在区间（1,+c o）上单调递增，则2-玉2.【点睛】关键点点睛：本题涉及讨论函数零点与双变量问题，难度较大.（1）讨论零点常利用导数结合零点存在性定理或数形结合，本题采用第一种方法，难点在于取点;（2）该问为极值点偏移问题，常利用构造差函数或利用消元将双变量变为单变量.