《吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第三次摸底考试数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第三次摸底考试数学试题含答案.pdf（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年上学期东北师大附中学年上学期东北师大附中 数学学科试卷高三年级数学学科试卷高三年级 第三次摸底考试第三次摸底考试第第 I 卷（选择题）一、单选题：本题共卷（选择题）一、单选题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2Z230Axxx，则集合A的子集个数为（）A.3B.4C.8D.162.设1 i2 1 iz，则z（）A.22B.1C.2D.23.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定
2、了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0,1均分为三段，去掉中间的区间段1 2,3 3，记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,133 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n的最小值为（参考数据：lg20.3010,lg30.4771）（）A.6B.8C.10D.124.命题“2R,230
3、 xxx”的否定是（）A.2R,230 xxx B.2R,230 xxx C.2R,230 xxx D.2R,230 xxx 5.底面边长为 4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2，高为 3 的正四棱锥，所得棱台的体积为（）A.26B.28C.30D.32第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司6.已知1sin63x，则2cos23x（）A.79B.29C.29D.797.已知函数 f x及其导数 fx定义域均为R，fx在R上单调递增，1fx为奇函数，若23a，45b，34c，则（）A.f af bf cB.f bf af cC f bf cf aD.f cf
4、bf a8.若对任意实数0,0 xy，不等式()xxya xy恒成立，则实数 a 的最小值为（）A.212B.21C.21D.212二、多选题：本题共二、多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知kZ，则函数 22kxxf xx的图象可能是（）A.B.C.D.10.已知函数2()cos(0)3f xx在,2上单调，且()f x的图象关于点,03对称，则（）A.()
5、f x的最小正周期为4B.21099ffC.将()f x的图象向右平移43个单位长度后对应的函数为偶函数的.第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司D.函数5()4yf x在0,上有且仅有一个零点11.如图，在正方体1111ABCDABC D中，点,M N分别为棱11,BC CD上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A.当M为棱11BC的中点时，则在棱CD上存在点N使得MNACB.当,M N分别为棱11,BC CD的中点时，则在正方体中存在棱与平面1AMN平行C.当,M N分别为棱11,BC CD的中点时，过1,A M N三点作正方体的截面，则截面为五边形D.三棱锥11DAMN的
6、体积为定值12.已知曲线 exf x 在点11,P xf x处切线和曲线 lng xx在点22,Q x g x处的切线互相平行，则下列命题正确的有（）A.12xx有最大值1B.12fxg x有最小值是 1C.12x x有最小值是1eD.若10 x，则221212xxx x有最大值为1ee 第第 II 卷（非选择题）卷（非选择题）三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知2,1P 是终边上的一点，则sin2_.14.在ABC中，2,4ABAC，P是ABC的外心，则AP BC 等于_.15.已知两个等差数列 2，6，10，210 及
7、 2，8，14，212，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和等于_.16.正三棱锥PABC的四个顶点都在同一个球面上，且底面边长是 3，侧棱PA与底面ABC所成的角为，二面角PABC-的平面角为.当该球的表面积最小时，tan_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，第小题，第 17 小题小题 10 分，其余小题每题分，其余小题每题 12 分，共分，共 70 分分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.的是第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司17.已知等差数列 na的公差为 2，前n项和为
8、nS，且124,S SS成等比数列.（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列2nan的前n项和nT.18.在ABC中，角,A B C所对的边分别是,a b c.已知2coscoscosBCBCbcabac.（1）求A；（2）D为BC边上一点，DABA，且3BDDC，求cosC.19.如图，在四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD和侧面11BCC B都是矩形，115D DDC，22ABBC.（1）求证：1ADDC；（2）若点P的在线段1BD上，且二面角PCDB的大小为4，求1D PPB的值.20.甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或
9、打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为1()2p p，且各局胜负相互独立已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59（1）求p的值；（2）设表示比赛停止时比赛局数，求随机变量的分布列和数学期望E21.已知双曲线2222:10,0 xyEabab的左、右焦点分别为125,0,5,0FF，渐近线方程为12yx.（1）求E的方程；（2）直线l与E的左、右两支分别交于,M N两点（,M N在x轴的同侧），当12/FM F N时，求四边形的第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司12FF NM面积的最小值.22.已知函数 sinsin0f xaxax a.（1）当1,0ax时，证明 2f xx；（2
10、）当2a 时，讨论 f x的单调性；（3）设0 x，证明 e2eaxaxf x.第 1 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年上学期学年上学期东北师大附中东北师大附中 数学学科试卷数学学科试卷高三年级高三年级 第三次摸底考试第三次摸底考试第第 I 卷（选择题）卷（选择题）一、单选题：本题共一、单选题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2Z230Axxx，则集合A的子集个数为（）A.3B.4C.8D.16【答案】C【解
11、析】【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合 A 作答.【详解】解不等式2230 xx，得13x，因此3Z0,1,12Axx，所以集合A 的子集个数为328.故选：C2.设1 i2 1 iz，则z（）A.22B.1C.2D.2【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘法运算以及模长公式求解.【详解】由1 i2 1 iz可得21 i 1 i2 1 iz，所以21 i2iz，故2z，故选：D3.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0,1均分为三段，去掉中间的区间段1 2,3 3，记第 2
12、 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司为第一次操作；再将剩下的两个区间120,133 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n的最小值为（参考数据：lg20.3010,lg30.4771）（）A.6B.8C.10D.12【答案】A【解析】【分析】先由题设得到前几次操作去掉的区间的长度，然后总结出第n次操作去掉的区间的长度和为123nn，把n次操作和去掉的区
13、间的长度之和转化为等比数列的前n项和，求出前n项和nS，再求解不等式910nS 即可【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；，第n次操作去掉12n个长度为13n的区间，长度和为123nn，于是进行了n次操作后，所有去掉的区间长度之和为1121()1222331()2393313nnnnnS，由题意知：291()310n，解得：5.679n，又n为整数，可得n的最小值为 6，故选：A4.命题“2R,230 xxx”的否定是（）A.2R,230 xxx B.2R,230 xxx 第 3 页/共
14、25 页学科网（北京）股份有限公司C.2R,230 xxx D.2R,230 xxx【答案】D【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系得，命题“2R,230 xxx”的否定是“2R,230 xxx”.故选：D.5.底面边长为 4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2，高为 3 的正四棱锥，所得棱台的体积为（）A.26B.28C.30D.32【答案】B【解析】【分析】用棱台的体积公式121213Vh SSS S求解，其中h为高，12,S S分别为上下底面积.【详解】设正四棱锥为SABCD，截取的正四棱锥为11
15、11SABC D，1,O O分别为正四棱台1111ABC DABCD上下底面的中心，如图.第 4 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司因为114,2,ABAB，所以222211442 222OAABCD，112O A，由于截面平行于底面得1112122 2SOO ASOOA，又13SO，所以16,3SOOO，所以正四棱台上下底面边长分别为2,4，高为3，所以14 164 163283V ，故选：B6.已知1sin63x，则2cos23x（）A.79B.29C.29D.79【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式、余弦的倍角公式可得答案.【详解】因为1sin63x，所以222cos2cos
16、2cos21 2sin3336 xxxx21791 23 .故选：A.7.已知函数 f x及其导数 fx的定义域均为R，fx在R上单调递增，1fx为奇函数，若23a，45b，34c，则（）A.f af bf cB.f bf af cC.f bf cf aD.f cf bf a【答案】C【解析】【分析】先由1fx为奇函数得到 10f，再由 fx的单调性可推得 f x的单调性，再比较,1a b c的大小即可得解.【详解】因为1fx为奇函数，所以11fxfx，令0 x，则 11ff，故 10f，第 5 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司又 fx在R上单调递增，所以当1x 时，0fx，则 f
17、x单调递减；当1x 时，()0fx，则 f x单调递增；因为23a，45b，34c，所以22log 3log 21a，44log 541logb，33log 4log 31c，因22224 ln2ln4ln2ln4ln8ln94 ln3，由于ln2ln4，故上式等号不成立，则2ln2ln4ln3，又ln30,ln20，所以ln4ln3ln3ln2，即32log 4log 3，即ca，同理可得bc，所以1bca，所以 f bf cf a.故选：C.8.若对任意实数0,0 xy，不等式()xxya xy恒成立，则实数 a 的最小值为（）A.212B.21C.21D.212【答案】D【解析】【分析】
18、分离变量将问题转化为xxyaxy对于任意实数0,0 xy恒成立，进而求出xxyxy的最大值，设(0)yt tx及1(1)tm m，然后通过基本不等式求得答案.【详解】由题意可得，xxyaxy对于任意实数0,0 xy恒成立，则只需求xxyxy的最大值即可，11yxxyxyxyx，设(0)yt tx，则21111ytxytx，再设1(1)tm m，则为第 6 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司221111(1)1ytmxytmx212222mmmmm1121222 2222mm，当且仅当221ymmx时取得“=”.所以2 12a，即实数 a 的最小值为212.故选：D.二、多选题：本题共二
19、、多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知kZ，则函数 22kxxf xx的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】令 22xxg x，先分析函数()g x的奇偶性，再分情况讨论 kh xx的奇偶性，然后逐项分析四个选项即可求解.【详解】令 22xxg x，则 22xxgxg x，故 22xxg x为偶函数.当0k 时，函数 22xxf x为
20、偶函数，且其图象过点0,2，显然四个选项都不满足.当k为偶数且0k 时，易知函数 kh xx为偶函数，所以函数 22kxxf xx为偶函数，其图象关于y轴对称，则选项C，D符合；若k为正偶数，因为 22kxxf xx，第 7 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司则1()(22)(2 ln22ln2)kxxkxxfxkxx，当0 x 时，()0fx，所以函数()f x在(0,)上单调递增，又因为函数 22kxxf xx为偶函数，所以函数()f x在(,0)上单调递减，选项C符合；若k为负偶数，易知函数 12222kxxxxkf xxx的定义域为0 x x，排除选项D.当k为奇数时，易知函数
21、 kh xx为奇函数，所以函数 22kxxf xx为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则选项A,B符合，若k为正奇数，因为 22kxxf xx，则1()(22)(2 ln22ln2)kxxkxxfxkxx，当0 x 时，()0fx，所以函数()f x在(0,)上单调递增，又因为函数 22kxxf xx为奇函数，所以函数()f x在(,0)上单调递增，选项B符合；若k为负奇数，函数 12222kxxxxkf xxx的定义域为0 x x，不妨取1k ，则 22xxf xx，当0 x时，()f x ；当12x 时，2212()3 2122f；当1x 时，1(1)22f；当2x 时，1(2)28f；当3
22、x 时，17(3)2(2)24ff；当x趋向于正无穷时，因为指数函数的增长速率比幂函数的快，所以()f x趋向于正无穷；所以0,内 f x先减后增，故选项A符合.故选：ABC.10.已知函数2()cos(0)3f xx在,2上单调，且()f x的图象关于点,03对称，则（）A.()f x的最小正周期为4B.21099ffC.将()f x的图象向右平移43个单位长度后对应的函数为偶函数第 8 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司D.函数5()4yf x0,上有且仅有一个零点【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的单调性和对称性列式求出，再根据最小正周期公式可判断 A；根据解析式计算可判断
23、B；利用图象变换和余弦函数的奇偶性可判断 C，利用余弦函数的图象可判断 D.【详解】因为函数2()cos(0)3f xx在,2上单调，所以()f x的最小正周期T满足3()222T，即32，所以203.因为()f x的图象关于点,03对称，所以2332k，Zk，得132k，Zk，由120323k，得11186k，因为Zk，所以0k，12.所以12()cos()23f xx.对于 A，()f x的最小正周期为2412T，故 A 正确；对于 B，2()9f122cos()29372coscos99，101102()cos()9293f112coscos99，所以21099ff，故 B 不正确；对于
24、 C，将()f x的图象向右平移43个单位长度后对应的函数为142()cos()233g xx1cos2x为偶函数，故 C 正确；对于 D，5()4yf x125cos()423x，令0y，得124cos()235x，令1223tx，由0 x，得2736t，作出函数cosyt2736t 与直线45y 的图象如图：在第 9 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司 由图可知，函数cosyt2736t 与直线45y 的图象有且只有一个交点，所以函数5()4yf x在0,上有且仅有一个零点，故 D 正确.故选：ACD11.如图，在正方体1111ABCDABC D中，点,M N分别为棱11,BC C
25、D上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A.当M为棱11BC的中点时，则在棱CD上存在点N使得MNACB.当,M N分别为棱11,BC CD的中点时，则在正方体中存在棱与平面1AMN平行C.当,M N分别为棱11,BC CD的中点时，过1,A M N三点作正方体的截面，则截面为五边形D.三棱锥11DAMN的体积为定值【答案】ACD【解析】【分析】当N为CD的中点时，过M作MMBC 于M，证ACMM N 平面判断 A；根据正方体棱的特征和线面平行的判定方法判断 B；通过线线平行和线面平行的性质，作出平面1AMN与正方体各个面的交线判断 C；利用等体积法计算判断 D.【详解】在正方体1111
26、ABCDABC D中，点,M N分别在棱11,BC CD上，对于 A，如图，第 10 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司当N为CD的中点时，过M作1/MMBB交BC于M，显然M为BC的中点，MM 平面ABCD，而AC平面ABCD，则有MMAC，又M NAC，M N 与MM相交于M，因此AC 平面MMN，又MN平面MMN，所以MNAC，A 正确；对于 B，在正方体1111ABCDABC D中，棱可分为三类，分别是与11111,A A AB AD平行的棱，而11111,A A AB AD与平面1AMN都相交于1A，因此在正方体中不存在棱与平面1AMN平行，B 错误；对于 C，如图，取BC中
27、点M，连接AM，有1/AMAM，过N作AM的平行线交AD于点E，此时14DEDA，有1/ENAM，即EN为过1,A M N三点的平面与平面ABCD的交线；连接1AE，在BC上取点F，使得14CFCB，有11/AEB F，再过点M作1BF的平行线交1CC于点G，此时113CGCC，且1/AE MG，即MG为过1,A M N三点的平面与平面11BCC B的交线；连接NG，则五边形1AMGNE即为正方体中过1,A M N三点的截面，C 正确；对于 D，M，N 在棱11,BC CD上运动时，M到11AD距离始终为 2，N到平面11A D M的距离始终为 2，因此1111114222323DA MNNA
28、 MDVV 恒为定值，D 正确.第 11 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司故选：ACD12.已知曲线 exf x 在点11,P xf x处的切线和曲线 lng xx在点22,Q x g x处的切线互相平行，则下列命题正确的有（）A.12xx有最大值是 1B.12fxg x有最小值是 1C.12x x有最小值是1eD.若10 x，则221212xxx x有最大值为1ee【答案】BD【解析】【分析】根据导数值相等可得121exx，进而分别构造函数 1exm xx=exn xx e,xq xx(),exxp x 即可利用导数求解函数的最值求解.【详解】1e,()xfxg xx，所以1122
29、1e()xfxg xx，故121exx，进而121exx 对于 A，11211exxxx，令 11e1,ee1exxxxm xxm x，故当 0,0,()xm xm x单调递增，当 0,0,()xm xm x单调递减，故 01m xm，因此12xx有最小值为 1，A 错误，对于 B，11111221elnelneexxxxf xg xxx，令 =e,e1xxn xxn x，故当0,()0,()xn xn x单调递增，当0,()0,()xn xn x单调递减，所以()(0)1n xn，故12fxg x的最小值为 1，B 正确，对于 C，1112exxx x，令1(),()eexxxxp xp x
30、，故当1,()0,()xp xp x单调递减，当1,()0,()xp xp x单调递增，所以1()(1)ep xp，故12x x有最大值是1e，C 错误，对于 D，11221211211eexxxxxx xx，令 e,1exxq xxqxx，当01,()0,()xq xq x 单调递增，当1,()0,()xq xq x 单调递减，所以1()(1)eq xq，故第 12 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司 1,0eq x 由于函数11,0eyttt 单调递减，所以当max111,e,eetytt ，故 D 正确，故选：BD【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤(1)作差或变形；(2
31、)构造新的函数 h x；(3)利用导数研究 h x的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式第第 II 卷（非选择题）卷（非选择题）三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知2,1P 是终边上的一点，则sin2_.【答案】45#0.8【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义以及二倍角的正弦公式求解.【详解】由题可知，5rOP,所以1522 5sin,cos,5555 所以4sin22sincos,5 故答案为:45.14.在ABC中，2,4ABAC，P是ABC的外心，则AP BC 等于_.【答案】6【解析】【分析】根
32、据平面向量数量积的运算律求解.第 13 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【详解】如图，若P是ABC的外心，过P作,PSAB PTAC,垂足分别为,S T，则,S T分别为,AB AC中点，所以1,2ASAT,所以AP BCAP ACABAP ACAP AB 2 4 1 26AT ACAS AB ，故答案为:6.15.已知两个等差数列 2，6，10，210 及 2，8，14，212，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和等于_.【答案】1872【解析】【分析】分别求出两数列的通项公式，求得满足公共项的特征，可知公共项组成的数列是首项为 2，公差为
33、12 的等差数列，且项数为 18 项，即可求出各项之和等于1872.【详解】根据题意可知，令数列 2，6，10，210 为 na，易知数列 na是首项为 2，公差为 4 的等差数列，即*24142,N,153nannnn；令数列 2，8，14，212 为 nb，易知数列 nb是首项为 2，公差为 6 的等差数列，即*26164,N,136nbnnnn；第 14 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司这两个等差数列的公共项需满足12124264nnanbn，可得12426nn，易知当21n 时，11n；当22n 时，*15N2n；当23n 时，14n；当24n 时，*111N2n；当25n
34、时，17n 即可得21,3,5,35n 时为两数列的公共项，设公共项为数列 nc，易知1232,14,ccb所以 nc是以12c 为首项，公差为12的等差数列，且项数为 18 项，即2 1211210,118ncnnn；可得数列 nc的各项之和等于1218182 12 18 1018722ccc.故答案为：187216.正三棱锥PABC的四个顶点都在同一个球面上，且底面边长是 3，侧棱PA与底面ABC所成的角为，二面角PABC-的平面角为.当该球的表面积最小时，tan_.【答案】3【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用球心到 A，B，C，P 的距离等于半径，将半径表示为只含有一个变量的函数，
35、利用导数找到最小值，将三棱锥特殊化，再分别求角即可.【详解】如图建立空间直角坐标系，记ABC中心为Q，则(0,0,0)Q，(0,3,0)A，33(,0)22C，33(,0)22B,(0,0,)Pm设球心为(,)a b c，半径为R，第 15 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司则2222222222222222333223322abcRabcRabcRabcmR，解得0a，0b，23cR，232mRm，该球表面积最小，该球半径最小，构建 2302mf mmm，则223()2mfmm，令()0fm，(0,3)m，令()0fm，(3,)m，故()f m在(0,3)单调递减，在(3,)单调递增
36、，当3m 时，半径最小，此时(0,0,3)P易知面ABC法向量(0,0,1)n，(0,3,3)AP，故2sin2AP nAP n ，且0,2可得4，故tan1，而33 3(,0)22AB，设面ABP法向量(,)mx y z，则33 3022330m ABxym APyz ，令3x，可得(3,1,1)m，且0,2，故5cos5n mn m ，所以2 5sin5，tan2，故tantantan31tantan 的第 16 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司故答案为：3.【点睛】本题解题关键是先利用球的表面积最小得到 P 的坐标，然后再利用向量法求得线面角，面面角，结合和角公式可得答案.四、
37、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，第小题，第 17 小题小题 10 分，其余小题每题分，其余小题每题 12 分，共分，共 70 分分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列 na的公差为 2，前n项和为nS，且124,S SS成等比数列.（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列2nan的前n项和nT.【答案】（1）*21,Nnann （2）211122339nnTn【解析】【分析】（1）根据等差数列定义利用等比中项即可求得11a，求得*21,Nnann；（2）利用错位相减法求和即可求得数列2nan的前n项和2111223
38、39nnTn.【小问 1 详解】设等差数列 na的首项为1a，由124,S SS成等比数列可得21111246 2aaaa，解得11a,所以数列 na是以11a 为首项，公差为 2 的等差数列；即12121nann，所以数列 na的通项公式为*21,Nnann【小问 2 详解】由（1）可得2122nannn，所以前n项和135211232222nnTn，35721214211232222nnnnnT ；第 17 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司两式相减可得21357212121212 1 4222222222321 43nnnnnnnnnTn ；可得211122339nnTn18.在
39、ABC中，角,A B C所对的边分别是,a b c.已知2coscoscosBCBCbcabac.（1）求A；（2）D为BC边上一点，DABA，且3BDDC，求cosC.【答案】（1）23 （2）7 1938【解析】【分析】1.先利用三角形的内角和及诱导公式，把cos BC转化为cos A，然后两边同乘以abc，转化为：2 coscoscosaAcBbC，再由正弦定理把边化成角，得：2sincossincoscossinsinsinAACBCBBCA，进一步得：1cos2A ，可得角A.2.可以采用向量方法，表示AD，根据ABAD，转化为向量的数量积为 0，得到边的关系；在再ABC中，用余弦定
40、理求解.小问 1 详解】BCAcoscosBCA，所以：2coscoscosABCbcabac，两边同乘以abc得：2 coscoscosaAcBbC.由正弦定理得：2sincossincoscossinsinsinAACBCBBCA.sin0A，所以1cos2A .所以23A.【小问 2 详解】取AB、AC为平面向量的基底.因为D在BC边上，且3BDDC，所以1344ADABAC.的【第 18 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司因为DABA，所以0AD AB 13044ABACAB 230ABAC AB ，所以232cbc23cb.不妨设2b，3c.在ABC中，由余弦定理：22222
41、cos496193abcbc，所以19a.由余弦定理：22219497 19cos2382192abcCab.故7 19cos38C.19.如图，在四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD和侧面11BCC B都是矩形，115D DDC，22ABBC.（1）求证：1ADDC；（2）若点P的在线段1BD上，且二面角PCDB的大小为4，求1D PPB的值.【答案】（1）证明见解析 （2）2【解析】【分析】（1）通过证明AD 平面11DCC D，可证1ADDC；（2）建立空间直角坐标系，设1101D PD B ，由二面角PCDB的大小为4，利用平面法向量求出，可求1D PPB.【小问 1 详解
42、】在四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD和侧面11BCC B都是矩形，则侧面11ADD A都是矩形，有ADDC，1ADDD，1DCDDD，1,DC DD 平面11DCC D，AD 平面11DCC D，第 19 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司1DC 平面11DCC D，1ADDC【小问 2 详解】115D DDC，22ABBC.,E F分别为,AB DC的中点，连接1ED，EF/EF AD，AD 平面11DCC D，EF平面11DCC D，11D DDC，以E为原点，1,EF EC ED所在直线分别为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，115D DDC，22AB
43、BC，则12ED.则10,1,0,0,1,0,0,0,2,1,1,0CDDB，设1101D PD B ，即11,1,2D P，可得,22P，0,2,0DC，,1,22CP ，设平面PCD的一个法向量,nx y zr，则有201220n DCyn CPxyz，令z，则22,0 xy，得22,0,nr，又平面BCD的一个法向量0,0,1m，二面角PCDB的大小为4，则有222coscos4222n mn mnm ，解得23，1123D PD B ，则113PBD B ，有1D PPB的值为 2.20.甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时
44、停止设甲在每局中获胜的概率为1()2p p，且各局胜负相互独立已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59第 20 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司（1）求p的值；（2）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望E【答案】（1）23p （2）246P592081168126681E【解析】【分析】（1）分析题意，甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束列方程求出 p；（2）依题意知，分析出的所有可能值为 2，4，6分别求出对应的概率，写出分布列，求出数学期望.【详解】（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束有225(1)9pp 解得23p
45、 或13p 12p，23p（2）依题意知，依题意知，的所有可能值为 2，4，6 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响从而有5(2)9P，5520(4)(1)()9981P，5516(6)(1)(1)19981P 随机变量的分布列为：246P5920811681则52016266246.9818181E 【点睛】（1）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率第 21 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司分布；二是求每一个随机变量取值的概
46、率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.21.已知双曲线2222:10,0 xyEabab的左、右焦点分别为125,0,5,0FF，渐近线方程为12yx.（1）求E的方程；（2）直线l与E的左、右两支分别交于,M N两点（,M N在x轴的同侧），当12/FM F N时，求四边形12FF NM面积的最小值.【答案】（1）2214xy （2）5【解析】【分析】（1）根据焦点坐标可得
47、5c，再由渐近线方程可知12ba，即可求得E的方程为2214xy；（2）利用双曲线的对称性可知，将12,FM F N延长分别交双曲线与点11,MN，即可得1 211F F NMM N NSSV，设出直线1N N的方程为5xmy并于双曲线联立，求得弦长212414mNNm，再由点到直线距离公式可得11225414M N NSmmV，利用换元法和函数单调性可知当0m 时，四边形12FF NM的面积取最小值为5.【小问 1 详解】根据意义可得5c，即225ab，又渐近线方程为byxa 可得12ba，解得224,1ab，即双曲线E的方程为2214xy；【小问 2 详解】第 22 页/共 25 页学科网
48、（北京）股份有限公司根据题意延长12,FM F N分别交双曲线与点11,MN，连接111,M N M N，如下图所示：由12/FM F N以及双曲线的对称性可知四边形11M N NM为平行四边形，四边形12FF NM的面积即为平行四边形11M N NM的一半，即1 211F F NMM N NSSV，易知直线1N N过右焦点25,0F，可设直线1N N的方程为5xmy，11122,N x yNxy联立直线和双曲线方程22145xyxmy，消去x可得2242 510mymy；显然22220441610mmm，且1212222 51,44myyy ymm，易知12,y y异号，即122104y y
49、m，可得24m；由弦长公式可得2222211212222412 511414444mmNNmyyy ymmmm，由平行可知1M到直线1N N的距离与15,0F 到直线1N N的距离相等，即为22 51dm，所以1 2112122224111142242 55 14F F NMM N NSmmmSNNdmmV，第 23 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司令211,5mt，则2225455554441mtmttt，易知函数5ytt在1,5t上单调递减，所以max5141y，此时0m；因此面积最小值为11min5544M N NSV，即12,FM F N都与x轴垂直时，四边形12FF NM的
50、面积取最小值为5.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用直线平行以及双曲线的对称性，将四边形面积转化为三角形面积，再利用弦长公式以及点到直线距离公式求出面积表达式，根据函数单调性求出面积最小值.22.已知函数 sinsin0f xaxax a.（1）当1,0ax时，证明 2f xx；（2）当2a 时，讨论 f x的单调性；（3）设0 x，证明 e2eaxaxf x.【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数与单调性、最值的关系证明；（2）利用导数与单调性的关系求解；（3）利用导数与单调性、最值的关系，证明不等式恒成立.【小问 1 详解】1,0ax时