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1、 第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 东莞市东莞市 2023-2024 学年第一学期七校联考试题学年第一学期七校联考试题 高二数学高二数学 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.如图，直线l的倾斜角为（）A.4 B.3 C.34 D.56 2.已知向量()4,2,3a=，()1,5,bx=，满足ab，则x的值为（）A.2 B.-2 C.14
2、3 D.143 3.已知圆的一条直径的端点分别为()12,5P，()24,3P，则此圆的标准方程是（）A.()()22348xy+=B.()()22348xy+=C.()()22342xy+=D.()()22342xy+=4.抛物线214yx=的准线方程是 A.=1x B.2x=C.1y=D.=2y 5.直线()2120 xmy+=与直线320mxy+=平行，那么该两平行线之间距离是（）A.0 B.5 26 C.26 D.53 6.如图，四边形 ABCD为平行四边形，12AEAB=，12DFFC=，若DEACAF=+，则+的值为（）第2页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 A.12 B.23
3、 C.13 D.1 7.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别1211、1110、109，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为1e、2e、3e，则（）.A.132eee B.231eee C 123eee D.213eee，点()3,4A，若圆 O 上存在两点到 A 的距离为 2，则r的可能取值（）A.3 B.4 C.5 D.6 12.在正三棱柱111ABCABC中，1AB=，12AA=，1BC与1BC交于点F，
4、点E是线段11AB上动点，则下列结论正确的是（）A 1111222AFABACAA=+B.存点E，使得AFBE C.三棱锥BAEF的体积为312 D.直线AF与平面11BCC B所成角的正弦值为217 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案填在答题卡的相应位置上请把答案填在答题卡的相应位置上.的的.在 第4页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 13.若方程221215xymm=表示的曲线为焦点在x轴上双曲线，则m的取值范围为_.14.已知()()0,1,0,3ambn=分别是平面,的法向量，且/，则mn=_.15.设半径
5、为 3 的圆C被直线:40l xy+=截得的弦AB的中点为()3,1P，且弦长2 7AB=，则圆C的标准方程_.16.已知实数x，y满足()()2222778xyxy+=，则代数式3424xy的最大值为_.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，第小题，第 17 题题 10 分，分，18、19、20、21、22 题各题各 12 分，共分，共 70 分分.解解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效内，超出指定区域的答案无效.17.在菱形AB
6、CD中，对角线BD与x轴平行，()3,1D，()1,0A，点E是线段AB的中点.（1）求点B的坐标；（2）求过点A且与直线DE垂直的直线.18.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PAAB，22ABBC=，5PD=，2PA=，E为PD的中点.（1）证明：PA 平面ABCD；（2）求直线EB与平面PBC所成角的正弦值.19.已知双曲线22221xyab=的渐近线方程为yx=，且点()2,1M在该双曲线上.（1）求双曲线C方程；（2）若点1F，2F分别是双曲线C的左、右焦点，且双曲线C上一点P满足12PFPF，求12PFF的面积.20.党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国960
7、万平方千米的大地之下拥有超过35000座，总长接近赤道长度的隧道（约37000千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明 第5页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 洞”或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽AB为16米，洞门最高处距路面4米.（1）建立适当的平面直角坐标系，求圆弧AB的方程.（2）为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了2米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽2米，高
8、3.6米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由.21.在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，,ADBC ADAB，侧面PAB 底面1,22ABCD PAPBADBC=，且,E F分别为,PC CD的中点 （1）证明：/DE平面PAB；（2）若直线PF与平面PAB所成的角为60，求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值 22.已知椭圆C：()222210 xyabab+=的两焦点()11,0F，()21,0F，且椭圆C过33,2P.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点1F作不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值为18，求A
9、B的取值范围.第1页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 东莞市东莞市 2023-2024 学年第一学期七校联考试题学年第一学期七校联考试题 高二数学高二数学 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.如图，直线l的倾斜角为（）A.4 B.3 C.34 D.56【答案】C【解析】【分析】根据倾斜角的定义分析运算.【详解】由题意可知：直线l的倾斜角为4
10、的补角，即为34.故选：C.2.已知向量()4,2,3a=，()1,5,bx=，满足ab，则x的值为（）A.2 B.-2 C.143 D.143【答案】A【解析】【分析】直接利用空间向量垂直的公式计算即可.【详解】ab，()4,2,3a=，()1,5,bx=()4 12530 x +=，解得2x=故选：A.3.已知圆的一条直径的端点分别为()12,5P，()24,3P，则此圆的标准方程是（）第2页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 A.()()22348xy+=B.()()22348xy+=C.()()22342xy+=D.()()22342xy+=【答案】D【解析】【分析】求出圆心坐标以
11、及圆的半径，即可得出该圆的标准方程.【详解】由题意可知，圆心为线段12PP的中点，则圆心为()3,4C，圆的半径为()()22123542CP=+=，故所求圆的方程为()()22342xy+=.故选：D.4.抛物线214yx=的准线方程是 A.=1x B.2x=C 1y=D.=2y【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意得，抛物线可化为24xy=，则2p=，所以准线方程为1y=，故选 C 考点：抛物线的几何性质 5.直线()2120 xmy+=与直线320mxy+=平行，那么该两平行线之间距离是（）A.0 B.5 26 C.26 D.53【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行得到方程与不等
12、式，得到3m=，再利用两平行直线间的距离公式求出答案.【详解】()2 310m m+=且()()2220m ，解得3m=，两直线方程为2220 xy=与直线3320 xy+=，即10 xy=与203xy+=.第3页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 故两平行线之间距离为52132161=+.故选：B 6.如图，四边形 ABCD为平行四边形，12AEAB=，12DFFC=，若DEACAF=+，则+的值为（）A.12 B.23 C.13 D.1【答案】D【解析】【分析】选取AB、AD为基底，利用向量的减法得到12DEABAD=，再利用向量的加法与数乘将DEACAF=+化为()3DEABAD=+
13、，根据向量AB、AD不共线可得，1+=.【详解】选取AB、AD为基底，则12DEAEADABAD=，由12DFFC=知，12DFFC=，所以13DFDC=.由向量加法法则可得，ACABAD=+，1133AFADDFADDCADAB=+=+=+，又()()133DEACAFABADADABABAD=+=+=+，所以()123ABADABAD=+，又向量AB，AD不共线，所以1+=.故选：D.7.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长的 第4页
14、/共19页 学科网（北京）股份有限公司 与短轴长的比值分别1211、1110、109，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为1e、2e、3e，则（）.A.132eee B.231eee C.123eee D.213eee【答案】C【解析】【分析】根据长轴长与短轴长的定义，结合,a b c的等量关系以及离心率的计算公式，通过比较大小，可得答案.【详解】设椭圆标准方程为22221xyab+=，则222cab=，可知椭圆的长轴长与短轴长的比值为ab，故离心率2222221ccabbeaaaa=，则21112311212e=，22102111111e=，2391911010e=，由232119
15、121110，则123eee，点()3,4A，若圆 O 上存在两点到 A 的距离为 2，则r的可能取值（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】BCD【解析】【分析】将问题转化为以(3,4)A为圆心，2为半径的圆为圆A与圆O相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案.【详解】根据题意设以(3,4)A为圆心，2为半径的圆为圆A 所以圆222:()0O xyrr+=，圆心为()0,0O，半径为r，则两圆圆心距为：5OA=因为圆 O 上存在两点到 A 的距离为2，所以圆O与圆A相交 所以252rr+，解得：37r.所以 r 的取值范围是：()3,7.故选：BCD 12.在正三棱柱111ABCAB
16、C中，1AB=，12AA=，1BC与1BC交于点F，点E是线段11AB上的动点，则下列结论正确的是（）第8页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 A.1111222AFABACAA=+B.存在点E，使得AFBE C.三棱锥BAEF的体积为312 D.直线AF与平面11BCC B所成角的正弦值为217【答案】AC【解析】【分析】利用空间向量运算求解判断 A；利用空间向量运算求解判断 B；利用等体积法求解判断 C；利用线面角的求解判断 D.【详解】向量()112AFABBFABBCBB=+=+=1111111()22222ABACABAAABACAA+=+，故 A正确；假设存在点E，设111A
17、EA B=，01，所以1111iBEAEABAAAEABAAABAB=+=+1(1)AAAB=+.若AFBE，所以()()()2211111111111112222222AF BEABACAAAAABABAAAC AB=+=+()()2111111211 102222AA AB=+=.解得53=.故 B错误；因为正三棱柱111ABCABC，所以11/AB AB，第9页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 所以1E ABFBABFVV=三棱锥三棱锥11111=22FABBCABBBABCVVV=三棱锥三棱锥三棱锥113131 12222312=，所以312B AEFE ABFVV=三棱锥三棱锥
18、，故 C 正确；设BC中点为O，所以AOBC，三棱柱111ABCABC是正三棱柱，所以AO 平面11BBC C，所以AFO即AF与平面11BBC C所成的角，则22 7cos77OFAFOAF=.故 D错误.故选：AC.三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案填在答题卡的相应位置上请把答案填在答题卡的相应位置上.13.若方程221215xymm=表示的曲线为焦点在x轴上双曲线，则m的取值范围为_.【答案】152m，解得152m，故答案为：152m，第11页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 故可知点(,)x y的轨迹是以
19、(7,0),(7,0)为两焦点的椭圆，轨迹方程为：221169xy+=，故可设该椭圆的参数方程为：4cos,3sinxy=（为参数）则3424|12cos12sin24|12|2sin()2|4xy=+，故当sin()14=时，3424xy取得最大值为2412 2.+故答案为：24 12 2+【点睛】关键点点睛：根据两变量满足的方程，求解关于两变量解析式的范围或最值的题型，关键在于对方程的理解，如果满足熟知的点的轨迹，则可以利用定义得出轨迹方程，再通过参数方程求出,x y，将其转化为单变量问题求解.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，第小题，第 17 题题 10 分，分，18、
20、19、20、21、22 题各题各 12 分，共分，共 70 分分.解解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效内，超出指定区域的答案无效.17.在菱形ABCD中，对角线BD与x轴平行，()3,1D，()1,0A，点E是线段AB的中点.（1）求点B的坐标；（2）求过点A且与直线DE垂直的直线.【答案】（1）(1,1)（2）660 xy+=【解析】【分析】（1）根据题意可设(1,)Ct，利用|ADCD=，求C的坐标，利用中点坐标公式求出B,（2）先求得16
21、DEk=，再利用两直线垂直，斜率之积为1求出直线DE斜率，进而可得到答案【小问 1 详解】四边形ABCD为菱形，/BDx轴，ACx轴，可设(1,)Ct，|ADCD=，2222(31)(10)(31)(1)t+=+，解得：0=t（舍)或2t=，(1,2)C A，C中点坐标为(1,1)，第12页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 由于()3,1D，且(1,1)是,B D中点，B点坐标为(1,1)，【小问 2 详解】()1,0A，(1,1)B,由中点坐标公式得1(0,)2E，又()3,1D，16DEk=，则过点A且与直线DE垂直的直线斜率为：6，所求直线方程为：66yx=+，即660 xy+=1
22、8.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PAAB，22ABBC=，5PD=，2PA=，E为PD的中点.（1）证明：PA 平面ABCD；（2）求直线EB与平面PBC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）4221【解析】【分析】（1）利用勾股定理得PAAD，进而证PA 平面ABCD，（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量，以及EB的方向向量，可求直线EB与平面PBC所成角的正弦值【小问 1 详解】22ABBC=，所以得1ADBC=，又()22221455ADPAPD+=+=,所以PAAD，又PAAB，ADABA=，,ADAB平面ABCD，所以PA
23、平面ABCD，【小问 2 详解】知PAAB，PAAD，ABAD 以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，第13页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 则(2B,0,0),(0D,1,0),(0P,0,2),(0E,12,1),(2C,1,0)则(2BP=,0,2),(0BC=,1,0),(2EB=,12,1)，设平面PBC的一个法向量(nx=,y,)z，则有2200 xzy+=，令1x=，则有0y=，1z=，平面PBC的一个法向量(1n=,0,1)，设直线EB与平面PBC所成角为，所以142sincos,2112414n EB=+，所以直线EB与平面PBC所成角的正弦值为4221 19.已知双
24、曲线22221xyab=的渐近线方程为yx=，且点()2,1M在该双曲线上.（1）求双曲线C方程；（2）若点1F，2F分别是双曲线C的左、右焦点，且双曲线C上一点P满足12PFPF，求12PFF的面积.【答案】（1）22133xy=（2）3【解析】【分析】（1）根据双曲线渐近线方程得1ab=，根据点()2,1M在双曲线上列方程2222211ab=，最后解方程组得出双曲线的方程；（2）根据双曲线定义和12PFPF列方程组求解12PF PF，再根据三角形面积公式计算面积可得出答案.【小问 1 详解】第14页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 由题知，22221211abab=解得，33ab=所
25、以双曲线 C 的方程为：22133xy=【小问 2 详解】12PFPF()22221212224PFPFFFc+=根据双曲线的定义得，1222 3PFPFa=1222122 324PFPFPFPF=+=解方程得，126PF PF=1 212116322PF FSPF PF=【点睛】考查双曲线方程求解及焦点三角形的面积求解，属基础题.20.党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国960万平方千米的大地之下拥有超过35000座，总长接近赤道长度的隧道（约37000千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们
26、都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽AB为16米，洞门最高处距路面4米.（1）建立适当的平面直角坐标系，求圆弧AB的方程.（2）为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了2米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽2米，高3.6米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由.【答案】（1）()()226100 04xyy+=（2）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）以点D为坐标原点，AB、DC所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，分析可知圆心在y轴上，设圆心坐标为()0,b，
27、设圆的半径为r，将点B、C的坐标代入圆的方程，求出b、r的值，结 第15页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 合图形可得出圆弧AB的方程；（2）求出货车右侧的最高点的坐标，代入圆弧AB的方程，可得出结论.【小问 1 详解】解：以点D为坐标原点，AB、DC所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,4C、()8,0B，由圆的对称性可知，圆心在y轴上，设圆心坐标为()0,b，设圆半径为r，则圆弧AB所在圆的方程为()222xybr+=，因为点C、B在圆上，则()()222220480brbr+=+=，解得6b=，10r=。所以，圆弧AB所在圆的方程为()226100 xy
28、+=，因此，圆弧AB的方程为()()226100 04xyy+=.【小问 2 详解】解：此火车不能通过该路口，由题意可知，隔墙在y轴右侧1米，车宽2米，车高3.6米，所以货车右侧的最高点的坐标为()3,3.6，因为()2233.66100+，因此，该货车不能通过该路口.21.在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，,ADBC ADAB，侧面PAB 底面1,22ABCD PAPBADBC=，且,E F分别为,PC CD的中点 （1）证明：/DE平面PAB；（2）若直线PF与平面PAB所成的角为60，求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值 的 第16页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【
29、答案】（1）证明见解析 （2）55【解析】【分析】（1）取PB中点M，连接,AM EM，通过证明四边形ADEM为平行四边形，即可证明结论；（2）由直线PF与平面PAB所成的角为60，可得,GF PG AG BG AB，建立以 G为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.【小问 1 详解】证明：取PB中点M，连接,AM EM，E为PC的中点，1,2MEBC MEBC=，又1,2ADBC ADBC=，,MEAD MEAD=，四边形ADEM为平行四边形：DEAM，DE平面,PAB AM 平面PAB，DE平面PAB；【小问 2 详解】平面PAB 平面ABCD，平面PAB平面,ABCDAB BC=平
30、面ABCD，,BCABBC平面PAB，取AB中点G，连接FG，则,FGBCFG平面PAB，()160,32GPFGFADBC=+=，3tan60,3PGPG=，又2,431,2PAPBAGGBAB=，如图以G为坐标原点，GB为x轴，GF为y轴，GP为z轴建立空间直角坐标系，()()()0,0,3,1,4,0,1,2,0PCD，()()1,43,2,2,0PCCD=，设平面PCD的一个法向量，()1,nx y z=，第17页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 则11430220n PCxyzn CDxy=+=，取1y=，则()11,1,3n=，平面PAB的一个法向量可取()20,1,0n=，
31、设平面PAB与平面PCD所成的夹角为，121215cos55nnn n=,平面PAB与平面PCD所成的夹角的余弦为55 22.已知椭圆C：()222210 xyabab+=的两焦点()11,0F，()21,0F，且椭圆C过33,2P.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点1F作不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值为18，求AB的取值范围.【答案】（1）22143xy+=（2）134,154【解析】【分析】（1）由题意列出方程组，求解即可；（2）设直线l的方程为1(xmym=为不等于 0 的实数），联立直线方程与椭圆方程，结合
32、韦达定理可得AB中点坐标，进而得线段AB的中垂线方程，求出Q的纵坐标，结合题意求得223m，由弦长公式可得21|4(1)34ABm=+，令21()4(1)34g mm=+，223m，根据函数()g m的单调性求出其值域即得答案【小问 1 详解】第18页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 由题意可得：2222213314cabcab=+=，解得2,31abc=，所以椭圆的方程为：22143xy+=；【小问 2 详解】因左焦点1(1,0)F，由题意可得直线l的斜率存在且不为 0，设直线l的方程为1(xmym=为不等于 0 的实数），1(A x，1)y，2(B x，2)y，由221431xyxm
33、y+=，可得22(34)690mymy+=，则222(6)36(34)144(1)0mmm=+=+，122634myym+=+，122934y ym=+，所以121228()234xxm yym+=+=+，所以AB中点为24(34m+，23)34mm+，所以线段AB的中垂线方程为：2234()3434mym xmm=+，令0 x=，则2434ym=+，即Q点纵坐标为234mm+，又因为是与y轴交于负半轴，所以24034m，又因为点Q的纵坐标的最大值为18，所以21348mm+，解得223m，又因为221212|()()ABxxyy=+2121|myy=+2212121()4myyy y=+22
34、22691()4()3434mmmm=+222144(1)134mmm+=+2212(1)34mm+=+214(1)34m=+，因为223m，令21()4(1)34g mm=+，223m，由于函数234ym=+在223m单调递增，为的 第19页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 所以()g m在23,2上单调递增，所以min213()()34g mg=，()max15()24g mg=，所以13()4g m，154，即|AB的取值范围为：134,154 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.