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1、新浙教版数学八年级（上）新浙教版数学八年级（上）2.5 2.5 逆命题和逆定理逆命题和逆定理命题有真有假。命题有真有假。正确的命题是真命题，错误的命题是假命题正确的命题是真命题，错误的命题是假命题 1.什么是命题什么是命题?一般地，对某一件事情作出正确或不正确一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做的判断的句子叫做命题命题。命题可看做由命题可看做由题设题设(或条件或条件)和和结论结论两部分组成。两部分组成。2.命题由哪两部分组成命题由哪两部分组成?回顾旧知、掌握新知回顾旧知、掌握新知下列句子是命题的是下列句子是命题的是 （）A.画画AOB=45 B.小于直角的角是锐角吗？小于直角的
2、角是锐角吗？C.连结连结CD D.三角形的中位线平行且等于第三边的一半三角形的中位线平行且等于第三边的一半命题的定义命题的定义:对某件事作出正确或不正确判断的句子叫做命题对某件事作出正确或不正确判断的句子叫做命题D命题的结构：命题的结构：命题由命题由题设题设、结论结论组成组成命题的分类命题的分类:真命题和假命题真命题和假命题回顾旧知、掌握新知回顾旧知、掌握新知同位角相等同位角相等 两直线平行两直线平行同位角相等同位角相等两直线平行两直线平行问题：问题：1.1.这两个命题有什么联系与区别？这两个命题有什么联系与区别？2.2.我们还学过类似的一些命题吗？我们还学过类似的一些命题吗？观察与思考观察与
3、思考 命题命题条件条件结论结论aba2b2如果如果a2b2，那么，那么aba2b2ab如果如果ab，那么，那么a2b2两直线平行两直线平行同位角相等同位角相等同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行同位角相等同位角相等两直线平行两直线平行两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等请说出下列命题的条件与结论：请说出下列命题的条件与结论：思考：命题思考：命题、有什么不同？有什么不同？命题命题、有什么不同？请你说一说。有什么不同？请你说一说。在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么结论，而第
4、一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做这两个命题叫做互逆命题互逆命题。我们把其中的一个叫做我们把其中的一个叫做原命题原命题，另一个叫做它的，另一个叫做它的逆命题逆命题。真真命题命题真假真假真真真真假假如果一个定理的逆命题也是定理，那么如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做这两个定理叫做互逆定理互逆定理。注意注意1：逆命题、互逆命题：逆命题、互逆命题不一定是不一定是真命题，真命题，但但逆定理、互逆定理，一定是真命题逆定理、互逆定理，一定是真命题注意注意2：不是所有的定理都有逆定理：不是所有的定理都有逆定理其中的一个定理叫做另一个定理的其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理逆
5、定理。我们已经知道命题我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等”和它的和它的逆命题逆命题“内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它都是定理，因此它们就是们就是互逆定理互逆定理一个假命题的逆命题一个假命题的逆命题可以是可以是真命题，甚至可以是定理真命题，甚至可以是定理例如例如“相等的角是对顶角相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题是假命题，但它的逆命题“对顶角相等对顶角相等”是真命题，且是定理是真命题，且是定理在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明真命题？试举出几个例子说明.例如：例如：
6、1、同旁内角互补，两直线平行、同旁内角互补，两直线平行.逆命题：两直线平行，同旁内角互补逆命题：两直线平行，同旁内角互补.真真2、有两个角相等的三角形是等腰三角形、有两个角相等的三角形是等腰三角形.逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等那么它有两个角相等.真真 命题命题“轴对称图形是等腰三角形轴对称图形是等腰三角形”、“如果如果a a2 2=b=b2 2，那么，那么a=ba=b”正确吗？正确吗？矩形是轴对称矩形是轴对称图形，但不是图形，但不是等腰三角形。等腰三角形。当当a=2a=2，b=b=2 2时，时，a a2 2=b=b2 2，但，但ab
7、ab 像小明、小丽这样，像小明、小丽这样，举出一个例子来说明一个举出一个例子来说明一个命题是命题是假命题假命题，这样的例，这样的例子称为子称为反例反例。数学中，判断一个命题是假命题，只需数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个举出一个反例反例就行了就行了。讨讨 论论 说出下列命题的逆命题，并与同学交流：说出下列命题的逆命题，并与同学交流：(1)(1)对顶角相等；对顶角相等；(2)(2)如果如果a a2 2=b=b2 2，那么，那么a=ba=b；(3)(3)直角三角形的两个锐角互余；直角三角形的两个锐角互余；(4)(4)轴对称图形是等腰三角形；轴对称图形是等腰三角形；(5)(5)正方形的正方形
8、的4 4个角都是直角个角都是直角.1 1、你能判断上述互逆命题的真假吗？、你能判断上述互逆命题的真假吗？相等的角是对顶角。相等的角是对顶角。如果如果a=ba=b，那么，那么a a2 2=b=b2 2有两个角互余的三角形是直角三角形。有两个角互余的三角形是直角三角形。等腰三角形是轴对称图形。等腰三角形是轴对称图形。如果一个四边形的如果一个四边形的4 4个角都是直角，那么这个四个角都是直角，那么这个四边形是正方形。边形是正方形。2 2、说说你对一对互逆命题的真假性的看法，如果、说说你对一对互逆命题的真假性的看法，如果原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗
9、？练练 一一 练练练习：举例说明下列命题的逆命题是假命题：练习：举例说明下列命题的逆命题是假命题：(2).如果两个角都是直角，那么这两个角相等如果两个角都是直角，那么这两个角相等(1).如果一个整数的个位数字是如果一个整数的个位数字是5，那么这个整，那么这个整 数能被数能被5整除整除 公元年，法国著名数学家公元年，法国著名数学家费尔马费尔马发现：发现：，而而3、5、17、257、65 537都是质数，于是都是质数，于是费尔马费尔马猜想：猜想：对于一切自然数对于一切自然数n，n都是质数。都是质数。一起来欣赏一起来欣赏-著名的反例著名的反例可是可是，到了到了1732年，数学家年，数学家欧拉欧拉发现
10、：发现：5=32=4 294 967 297 =6416 700 417这说明这说明5是一个合数是一个合数，从而从而否定否定了费尔马的猜想了费尔马的猜想.一起来欣赏一起来欣赏-著名的反例著名的反例1.判断下列数学命题的真假判断下列数学命题的真假,并给出证明并给出证明.(1)若若2x+y=0,则则x=y=0；解解:是假命题是假命题.理由如下：理由如下：取取x=-1,y=2,则则2x+y=2(-1)+2=0,但但x0,且且y 0.即即 x=-1，y=2具备命题的条件具备命题的条件,但不具备但不具备命题的结论命题的结论,所以这个命题是假命题所以这个命题是假命题.一起来完成一起来完成(2)有一条边、两
11、个角相等的两个三角形全等有一条边、两个角相等的两个三角形全等.解解:是假命题是假命题.理由如下：理由如下：如图如图,在在ABCABC和和A AB BC C中中,A=A=B,B=C,AB=AB,但很明显但很明显,ABC和和ABC不全等不全等,所以这个命题是假命题所以这个命题是假命题.CAB450750 A B C4507502.5cm2.5cm一起来完成一起来完成快速判断快速判断:下列说法哪些正确，哪些不正确？下列说法哪些正确，哪些不正确？（1 1）每个定理都有逆定理。）每个定理都有逆定理。（2 2）每个命题都有逆命题。）每个命题都有逆命题。（3 3）假命题没有逆命题。）假命题没有逆命题。（4
12、4）真命题的逆命题是真命题。）真命题的逆命题是真命题。任意作一条线段，并画出它的中垂线任意作一条线段，并画出它的中垂线知识回顾知识回顾线段的中垂线（垂直平分线）有什么性质？线段的中垂线（垂直平分线）有什么性质？AB线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等ODCP请说出它的逆命题，并证明这个逆命题是真命题请说出它的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的到一条线段两
13、个端点距离相等的点，在这条线段的到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上垂直平分线上垂直平分线上垂直平分线上APB已知：如图，是一条线段，是一点，且已知：如图，是一条线段，是一点，且 求证：点在线段的垂直平分线上求证：点在线段的垂直平分线上 作作PC AB于于 点点O OC证明证明:PA=PB，POAB，OA=OB（等腰三角形三（等腰三角形三线合一性质）线合一性质）PC是是AB的垂直平分线。的垂直平分线。点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上证明命题：证明命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平
14、分线上(2)当点当点P在线段上，结论显然成立；在线段上，结论显然成立；(1)当点当点P不在不在 线段线段AB上时，上时，ABPPPPPP知识学习知识学习线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线性质定理：到一条线段两个端点距离相等的点，到一条线段两个端点距离相等的点，到一条线段两个端点距离相等的点，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上APB几何语言：几何语言：PA=PBPA=PB点点点点P P在在在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上的垂直平分线上的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点线
15、段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等到这条线段两个端点的距离相等到这条线段两个端点的距离相等到这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线性质定理的线段垂直平分线性质定理的逆定理逆定理：两者是互逆定理！两者是互逆定理！1.写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和所得的逆命题的真假：写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和所得的逆命题的真假：（1）同位角相等；）同位角相等；（2）如果）如果|a|=|b|，那么，那么a=b；（3）等边三角形的三个角都是）等边三角形的三个角都是60逆命题：相等的角是同位角，逆命题：相等的角是同位角，逆命题：如果逆命题：如果a=b，那么，那么|a
16、|=|b|逆命题：三个角都是逆命题：三个角都是60的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形 判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确：（1）如果原命题是真命题，那么它的逆命题也）如果原命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题。是真命题。（）（2）如果原命题是假命题，那么它的逆命题也）如果原命题是假命题，那么它的逆命题也是假命题。是假命题。（）（3）每个命题都有逆命题。）每个命题都有逆命题。（）（4）“面积相等的两个三角形是全等三角形面积相等的两个三角形是全等三角形”与与“面积不相等的两个三角形不是全等三角形面积不相等的两个三角形不是全等三角形”是一对互逆命题是一对互逆命题。（）看谁的速度最快看谁的速度最快1、说出一个原命题是真命题和逆命题是假命题的命题。3、说出一个没有逆定理的定理。2、说出一对互逆定理。