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1、章章 末末 归归 纳纳 整整 合合知识网络知识网络1正确理解集合的概念必正确理解集合的概念必须须掌握构成集合的两掌握构成集合的两个必要条件：研究个必要条件：研究对对象是具体的；其属性是确定的象是具体的；其属性是确定的2在判断在判断给给定定对对象能否构成集合象能否构成集合时时，特，特别别要注要注意它的意它的“确定性确定性”，在表示一个集合，在表示一个集合时时，要特，要特别别注意注意它的它的“互异性互异性”、“无序性无序性”3在集合运算中必在集合运算中必须须注意注意组组成集合的元素成集合的元素应应具具备备的性的性质质要点归纳要点归纳4对对由条件由条件给给出的集合要明白它所表示的意出的集合要明白它所
2、表示的意义义，即元素指什么，是什么范即元素指什么，是什么范围围用集合表示不等式用集合表示不等式(组组)的解集的解集时时，要注意分辨是交集，要注意分辨是交集还还是并集，是并集，结结合数合数轴轴或或Venn图图的直的直观观性帮助判断空集是任何集合的子性帮助判断空集是任何集合的子集，但因集，但因为为不好用不好用Venn图图表示，容易被忽表示，容易被忽视视如在如在关系式关系式BA中，易漏掉中，易漏掉B 的情况的情况5若集合中的元素是用坐若集合中的元素是用坐标标形式表示的，要注形式表示的，要注意意满满足条件的点构成的足条件的点构成的图图形是什么，用数形形是什么，用数形结结合法合法解之解之6若集合中含有参
3、数，必若集合中含有参数，必须对须对参数参数进进行分行分类讨类讨论论，讨论时讨论时既不能重复又不能既不能重复又不能遗遗漏漏7函数与映射的函数与映射的联联系与差异：映射的原象集和系与差异：映射的原象集和象集可以是数集也可以是其他集合，函数的定象集可以是数集也可以是其他集合，函数的定义义域域和和值值域是非空的数集映射是函数的推广，函数是域是非空的数集映射是函数的推广，函数是映射的特例映射的特例8相同函数的判定方法：相同函数的判定方法：(1)定定义义域相同；域相同；(2)对应对应法法则则相同相同(两者必两者必须须同同时时具具备备)但是由于但是由于值值域是域是由定由定义义域和域和对应对应法法则则完全确定
4、的，因此，当定完全确定的，因此，当定义义域、域、对应对应法法则则、值值域三者中有一个不相同域三者中有一个不相同时时，就可以判，就可以判定不是同一个函数定不是同一个函数9函数的定函数的定义义域的求法：列出使函数有意域的求法：列出使函数有意义义的自的自变变量的不等关系式，求解即可求得函数的定量的不等关系式，求解即可求得函数的定义义域常涉及域常涉及到的依据到的依据为为：(1)分母不分母不为为0；(2)偶次根式中被开方数不偶次根式中被开方数不小于小于0；(3)对对数的真数大于数的真数大于0，底数大于，底数大于0且不等于且不等于1；(4)零指数零指数幂幂的底数不等于的底数不等于0；(5)实际问题实际问题
5、要考要考虑实际虑实际意意义义等等10函数函数值值域的求法：域的求法：(1)观观察法；察法；(2)配方法配方法(二次二次或四次或四次)；(3)判判别别式法；式法；(4)换换元法；元法；(5)函数的函数的单调单调性法性法11函数的解析式的求法：函数的解析式的求法：(1)定定义义法；法；(2)换换元法；元法；(3)待定系数法；待定系数法；(4)配凑法；配凑法；(5)消去法；消去法；(6)特殊特殊值值法法12单调单调性的判定方法：性的判定方法：(1)设设x1，x2是所研究是所研究区区间间内任意两个自内任意两个自变变量，且量，且x1x2；(2)用作差比用作差比较较法法或作商比或作商比较较法判定法判定f(
6、x1)和和f(x2)的大小；的大小；(3)确定所研究确定所研究区区间间内函数的内函数的单调单调性性13奇偶性的判定方法：奇偶性的判定方法：(1)首先看定首先看定义义域是否域是否关于原点关于原点对对称；称；(2)判断判断f(x)与与f(x)的相等或不等的相等或不等14图图象的作法与平移：象的作法与平移：据函数表达式，列据函数表达式，列表、描点、表、描点、连连光滑曲光滑曲线线；利用熟知函数的利用熟知函数的图图象平象平移、翻移、翻转转、伸、伸缩变换缩变换；利用函数的奇偶性与利用函数的奇偶性与对对称称性描性描绘绘函数函数图图象象一、集合中元素的特性一、集合中元素的特性集合中元素的特性是集合的重要属性，
7、在解决集合中元素的特性是集合的重要属性，在解决集合问题时具有非常重要的作用，尤其是互异性，集合问题时具有非常重要的作用，尤其是互异性，在解题中常被忽略从而导致解题出错在解题中常被忽略从而导致解题出错【例例1】已知集合已知集合Aa2，(a1)2，a23a3，若，若1A，求，求实实数数a的的值值解解：若：若a21，则则a1，所以所以A1,0,1，与集合中元素的互异性矛盾，与集合中元素的互异性矛盾，应应舍去；舍去；要点整合要点整合若若(a1)21，则则a0或或a2.当当a0时时，A2,1,3，满满足足题题意，意，当当a2时时，A0,1,1，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；，与集合中元素的互异性矛盾，
8、舍去；若若a23a31，则则a1(舍去舍去)或或a2(舍去舍去)综综上所述，上所述，a0.二、集合的关系及运算二、集合的关系及运算集合的运算有交集合的运算有交()、并、并()、补、补(UA)这三种这三种常见的运算，它是本章核心内容之一在进行集合常见的运算，它是本章核心内容之一在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析法或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析法(或或Venn图图)是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想具体应用之一在具体应用时要注意端点结合思想
9、具体应用之一在具体应用时要注意端点值是否适合题意，以免增解或漏解值是否适合题意，以免增解或漏解【例例2】设设全集全集UR，集合，集合Ax|1x4，By|yx1，xA，求，求 UB，AB，A(UB)解解：1x4，0 x15，即即By|0y2，求，求实实数数a的取的取值值范范围围因因为为1x1x2，所以所以x1x21，x1x210，所以所以f(x1)f(x2)0，即即f(x1)f(x2)，所以所以f(x)在在(1，)上是增函数上是增函数由于由于x1x20,0 x1x20，即即f(x1)f(x2)所以所以f(x)在在(0,1)上是减函数上是减函数由由f(x)在在(1，)上是增函数，上是增函数，在在(
10、0,1)上是减函数，且上是减函数，且f(1)2知，知，当当a(0,1)时时，f(a)2f(1)成立；成立；当当a(1，)时时，f(a)2f(1)成立；成立；而当而当a0时时，f(a)0，不，不满满足足题设题设综综上可知，上可知，实实数数a的取的取值值范范围为围为(0,1)(1，)四、函数图象及应用四、函数图象及应用函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等反之，掌握好函数的性质，如单调性、奇偶性等反之，掌握好函数的性质，有助于图象的正确画出性质，
11、有助于图象的正确画出【例例4】设设函数函数f(x)x22|x|1(3x3)(1)证证明：明：f(x)是偶函数；是偶函数；(2)指出函数指出函数f(x)的的单调单调区区间间，并，并说说明在各个明在各个单调单调区区间间上上f(x)是增函数是增函数还还是减函数；是减函数；(3)求函数的求函数的值值域域(1)证证明：明：f(x)(x)22|x|1x22|x|1f(x)，即即f(x)f(x)，且定，且定义义域域3,3关于原点关于原点对对称，称，f(x)是偶函数是偶函数(2)解：当解：当0 x3时时，f(x)x22x1(x1)22；当当3x0时时，f(x)x22x1(x1)22.根据二次函数的作根据二次函
12、数的作图图方法，方法，可得函数可得函数图图象，如象，如图图所示所示函数函数f(x)的的单调单调区区间为间为3，1，(1,0，(0,1，(1,3f(x)在在区区间间3，1，(0,1上上为为减函数，减函数，在在(1,0，(1,3上上为为增函数增函数(3)解解：当：当0 x3时时，函数，函数f(x)(x1)22的最小的最小值为值为f(1)2，最大，最大值为值为f(3)2；当当3x0时时，函数函数f(x)(x1)22的最小的最小值为值为f(1)2，最大最大值为值为f(3)2.故函数故函数f(x)的的值值域域为为2,2五、数学思想方法五、数学思想方法1分类讨论思想分类讨论思想解分类讨论问题的实质是将整体
13、问题化为部分解分类讨论问题的实质是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分从而增加题设条件，也是解问题来解决，化成部分从而增加题设条件，也是解分类讨论问题总的指导思想分类讨论问题总的指导思想解分类讨论问题有以下几点要予以足够重视：解分类讨论问题有以下几点要予以足够重视：(1)做到分类讨论不重复、不遗漏；做到分类讨论不重复、不遗漏；(2)不断总结经验教训，克服分类讨论中的主观不断总结经验教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性；性和盲目性；(3)注意掌握好基础知识、基本方法，这是解好注意掌握好基础知识、基本方法，这是解好分类讨论问题的前提条件分类讨论问题的前提条件【例例5】已知集合已知集合Ax|ax2
14、2x10，aR(1)若若A中只有一个元素，求中只有一个元素，求a的的值值；(2)若若A中至多只有一个元素，求中至多只有一个元素，求a的取的取值值范范围围解解：(1)应应根据根据a是否是否为为0分两种情况分两种情况进进行行讨论讨论：当当a0时时，则则有有44a0，即，即a1，a0或或a1.(2)A中至多只有一个元素，也包括两种情形；中至多只有一个元素，也包括两种情形；A中有一个元素，由中有一个元素，由(1)知知a0或或a1；a的取的取值值范范围围是是a1或或a0.2数形数形结结合思想合思想数形数形结结合的思想是数学重要的思想方法之一，合的思想是数学重要的思想方法之一，数形数形结结合的解合的解题题
15、方法的特点是：具有直方法的特点是：具有直观观性、灵活性、灵活性、深刻性，有性、深刻性，有较较强强的的综综合性，加合性，加强强这这方面的学方面的学习习和和训练训练，对对巩固数学知巩固数学知识识、打好基、打好基础础、提高能力是、提高能力是重要的一重要的一环环如图，分别画出三个函数的图如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)从图象观察可得函数从图象观察可得函数f(x)的表达式：的表达式：f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点点B(1,2)，所以函数，所以函数f(x)的最小值是的最小值是2.答案答案：2