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1、第第2 2课时利用导数研究函数的极值课时利用导数研究函数的极值、最值最值第三章第三章第二节第二节内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破强强基础基础 增增分策略分策略1.函数的极值与导数 极大值 极小值 极大值点 极小值点 微点拨1.极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.2.极值点不是点,若函数f(x)在x1处取得极大值,则x1为极大值点,极大值为f(x1);在x2处取得极小值,则x2为极小值点,极小值为f(x2).极大值与极小值之间无确定的大小关系.3.有极值的函数一定不是单调函数.微思考对于可导函数f(x),“f(x0)=0”是“函数
2、f(x)在x=x0处有极值”的_条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)提示:必要不充分.极值点是f(x)=0的根,但f(x)=0的根不都是极值点,例如f(x)=x3,f(0)=0,但x=0不是极值点.2.函数的最值(1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在a,b上是递增的,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上是递减的,则为函数的最大值,为函数的最小值.微点拨极值只能在区间内取得(不包括端点),最值却可以在端点处取得,有极值的函数不一定有最值,有最值的也未必有极值;极值有可能成为最值,非常数可导函数最值只要不在端点
3、处取,则必定在极值点处取.f(a)f(b)f(a)f(b)常用结论1.若函数f(x)的图像连续不断,则f(x)在a,b上一定有最值.2.若函数f(x)在a,b上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值.3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值,则相应的极值一定是函数的最值.增素增素能能 精精准突破准突破考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一利用利用导数求函数的极数求函数的极值问题(多考向探究多考向探究)考向考向1.根据根据函数函数图像像判断判断极极值典例突破例1.(2021四川眉山诊断测试)已知函数f(x)的导函数为f(x),且y=f(x)的图像如图所示,则下列结论一定
4、正确的是()A.当x=c时,f(x)有极小值B.f(x)没有极大值C.当x=b时,f(x)有极大值D.f(a)=0考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:A解析:在x=c附近的左侧,f(x)0,f(x)是递增的,当x=c时,f(x)取得极小值,A正确;从图像上看f(x)=0有三个解,在a,c中间的一个解记为x0,则在x=x0附近的右侧,f(x)0,f(x)是递增的,当x=x0时,f(x)取得极大值,B错误;x=b是y=f(x)的极大值点,不是f(x)的极大值点,C错误;图形只是说明f(a)=0,至于f(a)是否为0,无法判断,D错误.考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧由图像判断函数
5、y=f(x)的极值,要抓住两点:(1)由y=f(x)的图像与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点;(2)由导函数y=f(x)的图像可以看出y=f(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可判断极值.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练1(2021山西太原五中二模)已知函数f(x)的定义域为D,其导函数为f(x),函数y=sin xf(x)(xD)的图像如图所示,则f(x)()A.有极小值f(2),极大值f()B.有极大值f(2),极小值f(0)C.有极大值f(2),无极小值D.有极小值f(2),无极大值考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:D解析:当x(0
6、,)时,sin x0,当x(-,0)(,2)时,sin x0,f(x)为R上的增函数,所以函数f(x)无极值.当a0时,令f(x)=0,得ex=a,即x=ln a,当x(-,ln a)时,f(x)0,所以函数f(x)在(-,ln a)上是递减的,在(ln a,+)上是递增的,故函数f(x)在x=ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)在x=ln a处取得极小值ln a,无极大值.考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧求函数f(x)极值的一般解题步骤 考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练2设函数f(
7、x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中aR.讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.令g(x)=2ax2+ax-a+1,x(-1,+),当a=0时,g(x)=1,f(x)0,函数f(x)在(-1,+)上是递增的,无极值点.当a0时,=a2-8a(1-a)=a(9a-8),考点一考点一考点二考点二考点三考点三所以当x(-1,x1)时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)是递增的;当x(x1,x2)时,g(x)0,f(x)0,f(x)0,函数f(x)是递增的.因此函数f(x)有两个极值点.当a0,由g(-1)=10,可得x1-10,f(x)0,函数f(x)是递增的;当x(x2,+)时,g(x
8、)0,f(x)0,函数f(x)是递减的.所以函数f(x)有一个极值点.综上所述,当a0,f(x)0,f(x)在(1,+)上是递增的,无极值;考点一考点一考点二考点二考点三考点三当a2时,F(1)2时,G(x)0,函数G(x)在(2,+)上是递增的,G(2)=3-ln 20,所以在(2,+)上,G(x)0恒成立,所以F(a)=a2-ln a-a+10,所以函数F(x)在(1,a)上存在唯一零点x=x0,所以f(x)在(1,x0)上是递减的,在(x0,+)上是递增的,此时函数f(x)存在极小值.综上,若函数f(x)在区间(1,+)上有极值,则a2.故实数a的取值范围为(2,+).考点一考点一考点二
9、考点二考点三考点三突破技巧已知函数极值点或极值求参数的2个要领 列式根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解验证因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练3设函数f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行,求a;(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.解:(1)因为f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex,定义域为R,所以f(x)=ax2-(2a+1)x+2ex,所以f(1)=(1-a)e,由题设知
10、f(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1,此时f(1)=3e0.所以a的值为1.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点二考点二利用利用导数求函数的数求函数的最最值典例突破例4.(2021北京房山二模)已知函数f(x)=excos x,g(x)=ax.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;考点一考点一考点二考点二考点三考点三解:(1)f(x)=excos x,f(x)=ex(cos x-sin x),则f(0)=1,曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线斜率为1,f(0)=e0cos 0=1,切线方程为y-1=1(x-0),即x-y
11、+1=0.(2)F(x)=g(x)-f(x)=ax-excos x,则F(x)=a-ex(cos x-sin x),令h(x)=F(x),h(x)=-ex(cos x-sin x)+ex(-sin x-cos x)=2exsin x,考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧求函数f(x)在闭区间a,b上的最值的思路(1)若所给的闭区间a,b不含有参数,则只需对函数f(x)求导,并求f(x)=0在区间a,b内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(2)若所给的闭区间a,b含有参
12、数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.提醒求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,然后借助图像得到函数的最值.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练4已知函数f(x)=-1.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设m0,求函数f(x)在区间m,2m上的最大值.所以函数f(x)的递增区间为(0,e),递减区间为(e,+).考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点三考点三利用利用导数解决数解决实际问题典例
13、突破例5.(2021辽宁沈阳模拟)蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子,建造和搬迁都很方便,适于牧业生产和游牧生活.蒙古包下半部分近似一个圆柱、上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥.今制作一座蒙古包,下半部分圆柱的高为2 m、上半部分圆锥内部的母线长为3 m,当该蒙古包的内部空间最大时,其内部的实际占地面积为m2.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤:(1)设自变量、因变量,建立函数关系式y=f(x),并确定其定义域;(2)求函数的导数f(x),解方程f(x)=0;(3)比较函数在区间端点和f(x)=0的点的函数值
14、的大小,最大(小)者为最大(小)值;(4)回归实际问题作答.2.如果目标函数在定义域内只有一个极值,那么根据实际问题的意义知极值就是最值.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练5北京时间2021年7月23日东京奥运会迎来了开幕式,各国代表队精彩入场,运动员为参加这次盛大的体育赛事积极做准备工作,当地某旅游用品商店经销此次奥运会纪念品,每件产品的成本为5元,并且每件产品需向税务部门上交(a+5)元(5a8)的税收,预计当每件产品的售价为x元(13x17)时,一年的销售量为(18-x)2万件.(1)求该商店一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,该商店一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a).考点一考点一考点二考点二考点三考点三解:(1)由题意,每件产品的成本为5元,向税务部门上交(a+5)元,每件产品的售价为x元,一年的销售量为(18-x)2件,所以商店一年的利润L(单位:万元)与售价x的函数关系式为L(x)=(x-10-a)(18-x)2,其中x13,17.(2)由(1)知利润L(单位:万元)与售价x的函数关系式为L(x)=(x-10-a)(18-x)2,其中x13,17,可得L(x)=(18-x)(38+2a-3x),考点一考点一考点二考点二考点三考点三