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1、第2课时利用导数研究函数的极值、最值,考点一利用导数解决函数的极值问题多维探究 角度1根据函数图象判断函数极值,【例11】 已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(),A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2) D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2),解析由题图可知，当x0；当22时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值. 答案D,规律方法由图象判断函数yf(x)的极值
2、，要抓住两点：(1)由yf(x)的图象与x轴的交点，可得函数yf(x)的可能极值点；(2)由导函数yf(x)的图象可以看出yf(x)的值的正负，从而可得函数yf(x)的单调性.两者结合可得极值点.,角度2已知函数求极值 【例12】 (2019天津和平区模拟)已知函数f(x)ln xax(aR).,令f(x)0，得x2， 于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表.,故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值f(2)ln 21，无极小值.,(2)由(1)知，函数的定义域为(0，)，,当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立， 即函数在(0，)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；,综上
3、可知，当a0时，函数f(x)无极值点，,规律方法运用导数求可导函数yf(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数yf(x)的定义域，再求其导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)检查导数f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.,角度3已知函数的极(最)值求参数的取值 【例13】 (2019泰安检测)已知函数f(x)ln x.,把点P(0，1)代入切线方程，得ln x00，x01. 过点P(0，1)的切线方程为yx1.,令h(x)mx2xm， 要使g(x)存在两个极
4、值点x1，x2， 则方程mx2xm0有两个不相等的正数根x1，x2.,规律方法已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.,【训练1】 (1)(2017全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为() A.1 B.2e3 C.5e3 D.1,解析f(x)x2(a2)xa1ex1， 则f(2)42(a2)a1e30a1， 则f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1， 令f(x)0，得x2或x1
5、， 当x1时，f(x)0，当2x1时，f(x)0， 所以x1是函数f(x)的极小值点，则f(x)极小值为f(1)1. 答案A,(2)(2018北京卷)设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex. 若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a； 若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围.,解因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex， 所以f(x)ax2(2a1)x2ex. f(1)(1a)e. 由题设知f(1)0，即(1a)e0，解得a1. 此时f(1)3e0. 所以a的值为1.,f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.,当x(2，)时，f(x)0. 所以f(x
6、)在x2处取得极小值.,所以f(x)0.所以2不是f(x)的极小值点.,考点二利用导数求函数的最值 【例2】 (2019广东五校联考)已知函数f(x)axln x，其中a为常数. (1)当a1时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求a的值.,解(1)易知f(x)的定义域为(0，)，,令f(x)0，得x1. 当00；当x1时，f(x)0. f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，)上是减函数. f(x)maxf(1)1. 当a1时，函数f(x)在(0，)上的最大值为1.,f(x)maxf(e)ae10，不合题意.,即ae2.,故实数a的值为e2.,规律方法1.利
7、用导数求函数f(x)在a，b上的最值的一般步骤： (1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.,【训练2】 (2019合肥质检)已知函数f(x)excos xx.,解(1)f(x)excos xx，f(0)1， f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0， yf(x)在(0，f(0)处的切线
8、方程为y10(x0)， 即y1.,(2)f(x)ex(cos xsin x)1，令g(x)f(x)，,g(x)g(0)0，f(x)0且仅在x0处等号成立，,考点三利用导数求解最优化问题,当vc时，这时总用氧量最少.,规律方法1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤： (1)设自变量、因变量，建立函数关系式yf(x)，并确定其定义域； (2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0； (3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答. 2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.,【训练3】 (2017全
9、国卷)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_.,解析由题意，连接OD，交BC与点G，,则f(x)100 x350 x4，,令f(x)0得x2，当x(0，2)时，f(x)0，f(x)单调递增；,故当x2时，f(x)取得最大值80，,思维升华 1.求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，所以，研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究. 2.研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决.函数的单调性常借助导函数的图象分析导数的正负；函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零点；函数的最值常借助原函数图象来分析最值点. 3.解函数的优化问题关键是从实际问题中抽象出函数关系，并求出函数的最值.,易错防范 1.求函数的极值、函数的优化问题易忽视函数的定义域. 2.已知极值点求参数时，由极值点处导数为0求出参数后，易忽视对极值点两侧导数异号的检验. 3.由极值、最值求参数时，易忽视参数应满足的前提范围(如定义域)，导致出现了增解.,