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1、第一节函数及其表示第一节函数及其表示第二章第二章内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破课标解读衍生考点核心素养1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单地应用.1.函数的定义域2.函数的解析式3.分段函数求值4.分段函数与方程5.分段函数与不等式1.数学抽象2.数学运算强强基础基础 增增分策略分策略1.函数与映射的概念 函数定义中是非空数集,而映射是非空的集合,不一定是数集类别 函数映射定义给定两个 A和B,如果按照某种确定的对应关系f,
2、使对于集合A中的一个数x,在集合B中都存在的数f(x)与之对应两个非空集合A与B间存在着对应关系f,对于集合A中的 元素x,在集合B中总有的一个元素y与之对应记法 y=f(x),xA(或f:AB)f:AB非空数集任何唯一确定每一个唯一微点拨函数与映射的关系:(1)函数是特殊的映射,是数集到数集的映射;(2)映射是函数概念的扩展,映射不一定是函数;(3)映射与函数都是特殊的对应.2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y=f(x),xA中,x叫作自变量,叫作函数的定义域;与x的值相对应的y值叫作函数值,叫作函数的值域,显然,值域是集合B的子集.(2)函数的三要素:、和.(3)相等函数:如
3、果两个函数的相同,并且完全一致,那么我们就称这两个函数相等.微点拨求函数定义域的口诀:定义域,是何意?自变量,有意义;分式分母不为零,对数真数只取正;偶次根式要非负,三者结合生万物;和差积商定义域,不等式组求交集.集合A集合f(x)|xA定义域值域对应关系定义域对应关系微思考1两个函数的定义域与值域相同时,两函数一定相等吗?微思考2两个函数的值域与对应关系相同时,两函数一定相等吗?提示:不一定相等.如函数y=3x和y=2x-1,二者的定义域均为R,值域也均为R,但两个函数不相等.提示:不一定相等.如函数y=x2,x0,2)和函数y=x2,x(-1,2),两函数解析式相同,值域也相同,但定义域不
4、同,所以不是相等函数.3.函数的3种表示方法 4.分段函数如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数.微点拨(1)分段函数虽然由几个部分构成,但它表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.(3)各段函数的定义域不可以相交.解析法图像法列表法一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式表示出来就是用图像表示两个变量之间的函数关系就是列出表格来表示两个变量之间的函数关系常用结论1.直线x=a(a为常数)与函数y=f(x)的图像至多有1个交点.2.几类函数的定义域增素增素能能 精精准突破准突破考点一考点一考点二考点二
5、考点三考点三考点一考点一函数的定函数的定义域域(多考向探究多考向探究)考向考向1.已知函数解析式求定已知函数解析式求定义域域典例突破A.-1,0)(0,1)B.-1,0)(0,1C.(-1,0)(0,1)D.(-1,0)(0,1考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)C(2)D 考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)A(2)0,4 考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)由题意知,mx2+mx+10对xR恒成立.当m=0时,f(x)的定义域为一切实数;当m0时,综上,m的取值范围是0,4.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向考向2.求
6、抽象函数的定求抽象函数的定义域域典例突破例2.(1)(2021江苏南通质量调研)已知函数y=f(2x)的定义域是-1,1,则函数f(log3x)的定义域是()(2)(2021山西晋中高三检测)已知f(x+1)的定义域为0,2,则的定义域为.考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)函数f(x+1)的定义域为0,2,所以0 x2,所以1x+13,所以f(x)的定义域为1,3,考点一考点一考点二考点二考点三考点三解题心得求抽象函数定义域的方法 考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练2已知函数f(x)的定义域为-1,0,若g(x)=f(x+a)-f(x-a)有定义,则实数a的取值范围是()考点
7、一考点一考点二考点二考点三考点三答案:D 考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点二考点二求函数的解析式求函数的解析式典例突破(2)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析式;(3)已知f(x)+2f =x(x0),求f(x);(4)已知函数f(x)满足f(-x)+2f(x)=2x,求f(x)的解析式.考点一考点一考点二考点二考点三考点三(2)设f(x)=ax2+bx+c(a0),由f(0)=0,知c=0,则f(x)=ax2+bx,又由f(x+1)=f(x)+x+1,得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,即ax2+(2a+b)x+
8、a+b=ax2+(b+1)x+1,考点一考点一考点二考点二考点三考点三(4)由f(-x)+2f(x)=2x,得f(x)+2f(-x)=2-x,考点一考点一考点二考点二考点三考点三突破技巧1.求函数解析式的3种方法待定系数法若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法换元法已知复合函数f(g(x)的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围方程法已知关于f(x)与f 或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,与其组成方程组,通过解方程组求出f(x)2.由于函数的解析式相同,定义域不同,则为不同的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是R,一定要注明函数的定义域.考
9、点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练3(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x)=4x-1,则f(x)的解析式为()考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点三考点三分段分段函数函数(多考向探究多考向探究)考向考向1.分段函数的求分段函数的求值问题典例突破考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:D 考点一考点一考点二考点二考点三考点三解题心得在求分段函数的函数值时,一定要先判断自变量属于定义域的哪个子集,再代入相应的关系式.若涉及复合函数求值,则从内到外逐层计算,当自变量的值不确定时,要分类讨论.考点一考点一考点二
10、考点二考点三考点三对点训练4(2021四川南充诊断)已知函数f(x)=则f(f(4)=()A.1B.2C.3D.4答案:A解析:由题意,f(4)=f(1)=log2(12+1)=1,所以f(f(4)=f(1)=log2(12+1)=1.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向考向2.分段函数与方程分段函数与方程问题典例突破考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)2(2)4 考点一考点一考点二考点二考点三考点三解题心得(1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,解方程求值.注意解得的值需满
11、足自变量的范围.考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:1 考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向考向3.分段函数与不等式分段函数与不等式问题典例突破例6.(1)(2021安徽蚌埠三模)已知函数f(x)=则不等式f(x+1)1的解集为()A.(1,7)B.(0,7)C.(1,8)D.(-,7)考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:(1)B(2)-1,1解析:(1)当x+11,即x0时,e2-(x+1)1,即e1-x1,1-x1.又x0,无解.当x+11,即x0时,lg(x+1+2)1,即lg(x+3)1,0 x+310,-3x0,0 x7.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三解题心得涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式.当自变量的取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量的取值确定但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况直接代入相应解析式求解.考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案:6(16,+)