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1、第一章第一章 数列数列漳州市龙海区港尾中学漳州市龙海区港尾中学1.3.1 等比数列及其通项公式等比数列及其通项公式成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 教学目标 理解等比数列的概念（重点）01 理解等比数列通项公式的含义（难点）02 掌握等比数列通项公式的推导过程及应用（重点、难点）03 会用等比数列的概念、性质和通项公式解决一些简单问题04等比数列及其通项公式等比数列及其通项公式学科素养 等比数列的概念数学抽象 直观想象 等比数列通项公式的推导过程 逻
2、辑推理 用等比数列的概念、性质和通项公式解决一些简单问题数学运算 数据分析 等比数列通项公式数学建模等比数列及其通项公式等比数列及其通项公式01知知 识识 回回 顾顾Retrospective Knowledge等差数列：等差数列：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列等差数列，这个常数常数叫作等差数列的公差公差，公差通常用字母d表示等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：一般地，如果等差数列an的首项a1，公差为d，那么该等差数列的通项公式为：an=a1(n1)d 等差数列等差数列等差数列的前项和等差数列的前项和n公式：公式：如果
3、等差数列an的首项a1，公差为d，那么该等差数列的前n项和公式为：02新新 知知 探探 索索New Knowledge explore等比数列及其通项公式等比数列及其通项公式等等 比比 数数 列列 的的 概概 念念 在现实生活中，我们还会遇到下面一类特殊数列 （1）计算机的内存容量通常是指随机储存器（RAM）的容量，是内存条的关键性参数进入 21世纪以来，计算机中主流采用的内存容量（单位：MB）从小到大组成数列 128，256，512，1 024，2 048，4 096，8 192等比数列及其通项公式等比数列及其通项公式等等 比比 数数 列列 的的 概概 念念 （2）若某张报纸的厚度记为 t，
4、面积记为 A，将其重复对折6次，可得到如下表所示的数据：对折过程中报纸厚度和报纸面积分别组成数列：等比数列及其通项公式等比数列及其通项公式等等 比比 数数 列列 的的 概概 念念 （3）图1.3-1中的三角形图案称为谢宾斯基三角形.图案中绿色三角形的个数依次组成数列 1，3，9，27，.等比数列及其通项公式等比数列及其通项公式等等 比比 数数 列列 的的 概概 念念 研究这些数列的特征及变化规律，我们可以发现：对于数列128，256，512，1 024，2 048，4 096，8 192 从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于2；对于数列 从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于2；对于数列
5、 从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于 ；对于数列1，3，9，27，.从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于3；也就是说，这些数列有一个共同的特点：从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数等比数列及其通项公式等比数列及其通项公式等等 比比 数数 列列 的的 概概 念念 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列称为等等比数列数列，这个常数常数叫作等比数列的公比公比，公比通常用字母 q表示(q 0)显然，若数列an为等比数列，那么它的递推关系为：数列、均为等比数列，它们的公比分别为2，2，3等比数列及其通项公式等比数列及其通项公式等等
6、 比比 数数 列列 的的 通通 项项 公公 式式若等比数列an的首项a1，公比为q，那么根据等比数列的定义可得：可得：a2=a1q；a3=a2q=a1q2；a4=a3q=a1q3；猜想：an=an1q=a1qn1 我们能否找到等比数列的通项公式呢？等比数列及其通项公式等比数列及其通项公式等等 比比 数数 列列 的的 通通 项项 公公 式式若等比数列an的首项a1，公比为q，那么根据等比数列的定义可得：把这n1个式子相乘可得：即所以 an=a1qn1 当n=1时，等式两边均为a1，这表明该等式对任意nN+都成立，因此等比数列an通项公式为：an=a1qn1（nNN+）等比数列及其通项公式等比数列
7、及其通项公式等等 比比 数数 列列 的的 通通 项项 公公 式式 一般地，如果等比数列an的首项为a1，公比为q，那么该等比数列的通项公式为：an=a1qn1 根据等比数列的通项公式，我们可以得到下列数列的通项公式 128，256，512，1 024，2 048，4 096，8 192 1，3，9，27，.等比数列及其通项公式等比数列及其通项公式等等 比比 数数 列列 的的 通通 项项 公公 式式例例1 已知数列an是等比数列（1）若a2=2，a5=54，求an的通项公式；（2）若a1=125，q=0.2，an=3.210-4，求 n 解：（1）由等比数列的通项公式，可知 a2=a1q=2，a
8、5=a1q4=54 由得 q3=27，即q=3因此因此，这个数列的通项公式是等比数列及其通项公式等比数列及其通项公式等等 比比 数数 列列 的的 通通 项项 公公 式式例例1 已知数列an是等比数列（1）若a2=2，a5=54，求an的通项公式；（2）若a1=125，q=0.2，an=3.210-4，求 n 解：（2）由等比数列的通项公式，得 又因此，54-n=5-5，即n=9等比数列及其通项公式等比数列及其通项公式等等 比比 数数 列列 的的 通通 项项 公公 式式例例2 证明：非零实数a，b，c成等比数列的充要条件是 b2=ac 证明：如果非零实数a，b，c成等比数列，由等比数列的定义得
9、，那么b2=ac 反过来，如果非零实数a，b，c满足b2=ac，那么 ，由等比数列的定义知，a，b，c成等比数列因此，非零实数a，b，c成等比数列的充要条件是 b2=ac 在两个数a，b之间插入数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项 G 为a与b的等比中项 G2=ab 两非零实数a，b有等比中项的前提是：ab0等比数列及其通项公式等比数列及其通项公式等等 比比 数数 列列 的的 通通 项项 公公 式式例例3 某污水处理厂采用技术手段清除水中污染物的同时，还能生产出有用的肥料和清洁用水，在处理过程中，每小时可以从处理池中清除掉残留污染物的12%（1）一天后污染物含量降低到什么程度
10、？（2）使污染物含量减半至少要多少小时（结果保留整数）？解：设污水中污染物的初始含量为 a0，又设 n h 后残留在池中的污染物含量为 an，这个问题的数学模型是数列an，它满足因此，数列an是以0.88a0为首项，以0.88为公比的等比数列利用通项公式，得an=0.88na0等比数列及其通项公式等比数列及其通项公式等等 比比 数数 列列 的的 通通 项项 公公 式式例例3 某污水处理厂采用技术手段清除水中污染物的同时，还能生产出有用的肥料和清洁用水，在处理过程中，每小时可以从处理池中清除掉残留污染物的12%（1）一天后污染物含量降低到什么程度？（2）使污染物含量减半至少要多少小时（结果保留整
11、数）？解：设污水中污染物的初始含量为 a0，又设 n h 后残留在池中的污染物含量为 an，则an=0.88na0（1）a24=0.8824a0 0.05a0，所以一天后污染物含量大约降低到原来的 5%等比数列及其通项公式等比数列及其通项公式等等 比比 数数 列列 的的 通通 项项 公公 式式例例3 某污水处理厂采用技术手段清除水中污染物的同时，还能生产出有用的肥料和清洁用水，在处理过程中，每小时可以从处理池中清除掉残留污染物的12%（1）一天后污染物含量降低到什么程度？（2）使污染物含量减半至少要多少小时（结果保留整数）？解：设污水中污染物的初始含量为 a0，又设 n h 后残留在池中的污染
12、物含量为 an，则an=0.88na0（2）为求何时污染物含量会减半，从an=0.88na0=0.5a0，得 n=log0.880.55.42.故使污染物含量减半至少要6h03拓拓 展展 提提 升升Expansion And Promotion等比数列及其通项公式等比数列及其通项公式等等 比比 数数 列列 的的 通通 项项 公公 式式性质性质 如果数列an为等比数列，那么 an=am qnm，(n，mNN+)证明：记等比数列an的公比为q，则 an=a1qn1，am=a1qm1，两式相除，得 即 an=amqnm 等比数列及其通项公式等比数列及其通项公式等等 比比 数数 列列 的的 通通 项项
13、 公公 式式性质性质 如果an，am，at，as为等比数列an的项，且nm=kl，（n，m，k，lN+）那么 an am=ak al 特别地，若nm=2k，那么 an am=ak2证明：记等比数列an的公比为q，则 an=a1qn1，am=a1qm1，ak=a1qk1，al=a1ql1，所以 anam=a12 qnm2，akal=a12 qkl2，又 nm=kl，所以 anam=akal04归归 纳纳 总总 结结Sum Up等比数列及其通项公式等比数列及其通项公式等比数列：等比数列：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列称为等等比数列数列，这个常数常数
14、叫作等比数列的公比公比，公比通常用字母 q表示(q 0)等比数列的通项公式：等比数列的通项公式：一般地，如果等比数列an的首项为a1，公比为q，那么该等比数列的通项公式为：an=a1qn1 等比数列通项公式的性质：等比数列通项公式的性质：若数列an为等比数列，那么 an=am qnm，(n，mNN+)若数列an为等比数列，且nm=kl，(n，m，k，lN+)，则 an am=ak al 特别地，若nm=2k，那么an am=ak205课课 后后 作作 业业Homework After Class等比数列及其通项公式等比数列及其通项公式P32 P32 习题习题1.3 1.3 第第1 1，3 3题题