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1、 第五章 三角函数三角函数 5.2.1 三角函数的概念高中数学/人教A版/必修一古希腊的天文学家喜帕恰斯对天文的测量 三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一.起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学.直到1464年，德国数学家雷格蒙塔努斯著论各种三角形，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说.1631年，三角学传入中国，三角学在中国早期比较通行的名称是“八线”和“三角”.“八线”是指在单位圆上的八种三角函数线：正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余矢线.随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和
2、生产实践中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用.在直角三角形ABC中，C=90，sin，cos，tan分别叫做角的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？ABC1 复习回顾 当角不是锐角时，我们必须对sin，cos，tan的值进行推广，以适应任意角的需要.如何定义任意角的三角函数呢?1 复习回顾 前面我们已经将角的范围推广到实数集R上，自然我们就会考虑任意角的三角函数.我们把锐角放到直角坐标系中，并使角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合.在角的终边上取一点P（a，b）,设点P与原点的距离为r，那么，sin，cos，tan的值分别如何表示？2 任意角
3、的三角函数思考：xyOP(a，b)rABxyOP(a，b)rAB2 任意角的三角函数思考：对于确定的角，上述三个比值是否随点P在角的终 边上的位置的改变而改变？为什么？由相似三角形的知识可知,这三个比值不会随着点P在角的终边上的位置的改变而改变.MOP2 任意角的三角函数思考：为了使sin，cos的表示式更简单，你认为点P的位 置选在何处最好？此时，sin，cos分别等于什么？xyo P(a，b)1 当OP=1时2 任意角的三角函数 设是一个任意角，它的终边与单位圆（以原点为圆心，以单位长为半径的圆）交于点P（x，y），为了不与当为锐角时的三角函数值发生矛盾，你认为sin，cos，tan对应的
4、值应分别如何定义？的终边P(x，y)Oxy2 任意角的三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数2 任意角的三角函数的终边P(x，y)Oxy思考：对于一个任意给定的角，按照上述定义，对应的 sin，cos，tan的值是否存在？是否唯一？角的终边在y轴上时,tan的值无意义,除此之外,其他的角的三角函数值都是唯一确定的.的终边P(x，y)Oxy2 任意角的三角函数正弦、余弦、正切函数的定义域:函 数定 义 域2 任意角的三角函数若角600的终边上有一点(-4,a),则a的值是()答案：B练一练练一练思考：根据任意角三角函数的
5、定义，sin，cos，tan 的值的符号取决于什么？3 三角函数的正负O-+-+yOxOxyOxyO3 三角函数的正负注意：终边在坐标轴上的角的三角函数正负如何？1.下列各式为正号的是（）A.cos2 B.cos2sin2 C.tan2cos2 D.sin2tan2 答案：C练一练练一练练一练练一练答案：A例1.求 的正弦、余弦和正切值.解：OxyA4 典型例题(一)例2.已知角的终边经过点P0（3，4），求角的正弦、余弦和正切值.P0（-3，-4）P（x，y）OxyM0M解：由已知可得r=5.4 典型例题(一)例2.已知角的终边经过点P0（3，4），求角的正弦、余弦和正切值.4 典型例题(一
6、)P0（-3，-4）P（x，y）OxyM0M若点P（x，y）为角终边上任意一点，则P(x，y)Oxy 方法总结：例例3.3.已知的终边经过点P(a，a)(a0)，求sin，cos，tan.4 典型例题(一)例例3.3.已知的终边经过点P(a，a)(a0)，求sin，cos，tan.4 典型例题(一)若角终边上任意一点P的坐标含有参数，用该参数表示OP的长时，要考虑符号的不同情况.P(x，y)Oxy 方法总结：1.如图，已知角的终边与单位圆的交点是 求角的正弦、余弦和正切值.解：根据任意角的三角函数定义：Oxy练一练练一练P练一练练一练思考：如果角与的终边相同，那么sin与sin有什 么关系？c
7、os与cos有什么关系？tan与tan 有什么关系？5 终边相同的角的三角函数的关系 公式一 5 终边相同的角的三角函数的关系答案：(1)负 (2)负 (3)正 (4)零B练一练练一练例2.求下列三角函数值.解：6 典型例题(二)方法总结：利用公式一，将任意角的三角函数转化为锐角 的三角函数.练一练练一练课堂小结课堂小结一、本节课学习的新知识 三角函数的概念 三角函数的符号 诱导公式一二、本节课提升的核心素养 数学抽象课堂小结课堂小结 数学建模 数学运算三、本节课训练的数学思想方法 函数思想课堂小结课堂小结 分类讨论 转化与化归 数形结合01 基础作业：.02 能力作业：.03拓展延伸：（选做）给授课教师的建议：1.素养篇与思维篇中的问题，建议以学生分析为主，由 学生思考、探究、讨论，得出解决方案，教师适时点 拨即可;2.原PPT上的“分析”文本框内容，仅供教师参考，上 课前建议删除，使问题解决的过程得以原生态呈现.（本页可以删了！）