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1、2 导数的概念及其几何意义导数的概念及其几何意义 随着随着1717世纪天体物理学的迅速发展，迫切需要解决世纪天体物理学的迅速发展，迫切需要解决4 4个问题个问题:求曲线的切线问题;求非匀速运动的瞬时速度.求函数的最大值和最小值;求曲线长、曲边梯形面积.导数产生的背景：导数产生的背景：导数是微积分的核心概念之一为了解决这些科学问题，许多著名的科学家为了解决这些科学问题，许多著名的科学家,如法国的费马、如法国的费马、笛卡尔、柯西；德国的开普勒，英国的牛顿和德国莱布尼笛卡尔、柯西；德国的开普勒，英国的牛顿和德国莱布尼茨等人，都为微积分的创立做出了贡献。茨等人，都为微积分的创立做出了贡献。牛牛 顿顿从
2、运动学角度研究微积分从运动学角度研究微积分.英国物理学家、数学家英国物理学家、数学家.16431727莱布尼茨16461716 德国数学家德国数学家.从几何学角度研究微积分从几何学角度研究微积分.数形结合平均变化率：平均变化率：函数函数函数函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为的定义域为的定义域为D,xD,xD,xD,x1,1,1,1,x x x x2 2 2 2D,f(x)D,f(x)D,f(x)D,f(x)从从从从x x x x1 1 1 1到到到到x x x x2 2 2 2平均变化率为平均变化率为平均变化率为平均变化率为:复习引入复习引入求平均变化率的
3、步骤：(2)求平均变化率：(1)求函数的增量：牛顿牛顿例 一小球从高空自由下落，其走过的路程 与时间t(单位:s)的关系为其中，为重力加速度 .试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度复习引入复习引入t0时时,在在5,5+t 这段时间内的平均速度这段时间内的平均速度t=0.01t=0.01t=0.001t=0.001t=0.0001t=0.0001t=0.00001t=0.00001t=0.000001t=0.000001t=0.1t=0.1固定的值固定的值新知学习：新知学习：一差、二商、三极限一差、二商、三极限9例：例：一条水管中流过的水量一条水管中流过的水量y y（单位：（单位：）是时是时。
4、求函数求函数在在x x=2=2处的导数处的导数，并解释它的并解释它的实际意义。实际意义。间间x（单位：（单位：s）的函数）的函数解：解：当当x从从2变到变到2x时，函数值从时，函数值从32变到变到3（2+x），），函数值函数值y关于关于x的平均变化率为的平均变化率为（当当x趋于趋于2，即，即x趋于趋于0时，平均变化率趋于时，平均变化率趋于3，所以所以（/s）.导数导数 表示当表示当x x=2s=2s时水流的瞬时变化率，即水流的时水流的瞬时变化率，即水流的瞬时速度。也就是如果水管的中的水以瞬时速度。也就是如果水管的中的水以x x=2s=2s时的瞬时时的瞬时速度流动的话，每经过速度流动的话，每经过
5、1s1s，水管中流过的水量为，水管中流过的水量为3 3列举生活中的实例列举生活中的实例ABMOxyMxyOxyC探究新知导数的几何意义导数的几何意义 莱布尼茨莱布尼茨割线定义割线定义曲线在某一点处的切线的定义曲线在某一点处的切线的定义 设曲线设曲线C是函数是函数y=f(x)的图象，的图象，在曲线在曲线C上取一点上取一点P(x0,y0)及邻近一及邻近一点点Q(x0+x,y0+y),过过P,Q两点作两点作割割线线，当点当点Q沿着曲线沿着曲线无限接近无限接近于点于点P点点P处的处的切线切线。即即x0时时,如果割线如果割线PQ有一个有一个极极限位置限位置PT,那么直线那么直线PT叫做曲线在叫做曲线在割割线线切切线线Toxyoxy割割线线切线切线T 莱布尼茨莱布尼茨导数的几何意义导数的几何意义割割线线切切线线Toxy莱布尼茨莱布尼茨牛顿牛顿导数的几何意义导数的几何意义切线求法课堂小结课堂小结:一个框图一个框图 2.导数的几何意义课堂小结课堂小结:二个定义二个定义函数y=f(x)在点 处的导数就是函数在该点处切线的斜率.布置作业布置作业优化设计第优化设计第1414页页 A A组题组题(必做题必做题)第第1515页页 B B组题组题(选做题选做题)