《2024届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第15讲 设点设线技巧之设点技巧归纳总结含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第15讲 设点设线技巧之设点技巧归纳总结含解析.docx（81页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2024届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第15讲 设点设线技巧之设点技巧归纳总结 一解答题（共19小题）1如图，已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧记，的面积为，（1）若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积；（2）求的最小值及此时点的坐标2如图，已知点为抛物线的焦点过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧记，的面积分别为，（）求的值及抛物线的准线方程；（）求的最小值及此时点的坐标3已知椭圆的右焦点为，短轴长为（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的右顶点，过点的直线与交于、两点
2、（均异于，直线、分别交直线于、两点，证明：、两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值；（3）记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，如图，过点的直线与交于、两点，点在上，并使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在的右侧，设、的面积分别为、，是否存在锐角，使得成立？请说明理由4已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线的方程为以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为，过原点的动直线与椭圆交于、两点（）求椭圆的方程；（）若点为椭圆的左顶点，求的取值范围；（）若点满足，求证为定值5已知椭圆的左右焦点分别为、，且经过点，为椭圆上的动点，以为圆心，为半径作圆（1）求椭圆的方程；（2）若圆与轴有两个交点，求点横坐标的取值
3、范围6已知椭圆的左、右焦点分别为，且椭圆上的点满足，（1）求椭圆的标准方程；（2）作直线垂直于轴，交椭圆于点，点是椭圆上异于，两点的任意一点，直线，分别与轴交于，两点，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由7已知椭圆的左右焦点坐标为，且椭圆经过点（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是椭圆上位于第一象限内的动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积8在平面直角坐标系中，椭圆过点，（1）求椭圆的方程；（2）点，是单位圆上的任意一点，设，是椭圆上异于顶点的三点且满足，求证：直线与的斜率乘积为定值9在平面直角坐标系中，椭圆过点，（1）求椭圆的方程；（2
4、）点，是单位圆上的任意一点，设，是椭圆上异于顶点的三点且满足，探讨是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由10定义：在平面内，点到曲线上的点的距离的最小值称为点到曲线的距离在平面直角坐标系中，已知圆及点，动点到圆的距离与到点的距离相等，记点的轨迹为曲线（）求曲线的方程；（）过原点的直线不与坐标轴重合）与曲线交于不同的两点，点在曲线上，且，直线与轴交于点，设直线，的斜率分别为，求11已知椭圆的离心率为，且过点，动直线交椭圆于不同的两点，且为坐标原点）（1）求椭圆的方程（2）讨论是否为定值若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由12已知，分别是椭圆的左、右焦点，分别为椭圆的上、下顶
5、点，到直线的距离为（）求椭圆的方程；（）过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围；（）过椭圆的右顶点的直线与椭圆交于点（点异于点，与轴交于点（点异于坐标原点，直线与交于点证明：为定值13已知椭圆经过点，且离心率为（）求椭圆的方程；（）若直线与曲线相交于异于点的两点、，且直线与直线的斜率之和为，则直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由14如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线上的点和椭圆上点的最小距离为1（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的上顶点为，点，是上的不同于的两点，且点，关于原点对称，直线，分别交直线于点，记直线与的斜率分别为，求证：为定值；求的面积的最小值15在平面直角
6、坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为设过点的直线、与椭圆分别交于点，、，其中，（1）设动点满足，求点的轨迹；（2）设，求点的坐标；（3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）16已知是椭圆的左顶点，斜率为的直线交于、两点，点在上，且（1）当时，求的面积；（2）当时，求的值17已知椭圆的离心率为，右焦点过点作斜率为的直线，交椭圆于、两点，是一个定点如图所示，连、，分别交椭圆于、两点（不同于、，记直线的斜率为（）求椭圆的方程；（）在直线的斜率变化的过程中，是否存在一个常数，使得恒成立？若存在，求出这个常数；若不存在，请说明理由18已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左
7、焦点斜率为的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点（1）求椭圆的标准方程；（2）设，延长，分别与椭圆交于、两点，直线的斜率为，求的值及直线所经过的定点坐标19已知椭圆的离心率为，以的四个顶点为顶点的四边形的面积为（）求椭圆的方程；（）设，分别为椭圆的左、右顶点，是直线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，试探究，点是否在以为直径的圆内？证明你的结论第15讲 设点设线技巧之设点技巧归纳总结 参考答案与试题解析一解答题（共19小题）1如图，已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧记，的面积为，（1）若直线的斜率为，求以
8、线段为直径的圆的面积；（2）求的最小值及此时点的坐标【解答】解：（1）由题意可得，解得，所以抛物线的方程为，由已知设直线的方程为，与抛物线联立可得，所以，则线段，则以线段为直径的圆的半径为8，故圆的面积为；（2）设，重心，令，则，由直线过点，故直线的方程为，代入，可得，所以，即，所以，又由于，重心在轴上，故，所以，所以直线的方程为，可得，由于点在焦点的右侧，故，故，令，则，所以，当且仅当，即时，取得最小值，此时2如图，已知点为抛物线的焦点过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧记，的面积分别为，（）求的值及抛物线的准线方程；（）求的最小值及此时点的
9、坐标【解答】解：（）由抛物线的性质可得：，抛物线的准线方程为；（）设，重心，令，则，由于直线过，故直线的方程为，代入，得：，即，又，重心在轴上，直线的方程为，得，在焦点的右侧，令，则，当时，取得最小值为，此时3已知椭圆的右焦点为，短轴长为（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的右顶点，过点的直线与交于、两点（均异于，直线、分别交直线于、两点，证明：、两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值；（3）记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，如图，过点的直线与交于、两点，点在上，并使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在的右侧，设、的面积分别为、，是否存在锐角，使得成立？请说明理由【解答】解：（1）依题意，得，且
10、，椭圆的方程为（2）证法由椭圆的方程可知若直线的斜率不存在，则直线，直线、的方程分别为、，易得，、两点的纵坐标之积为若直线的斜率存在，则可设直线，联立椭圆的方程，得设，则，直线的方程为，点的纵坐标同理，点的纵坐标所以综上，、两点的纵坐标之积为定值证法2：设直线的方程为，联立椭圆的方程，得设，则，直线的方程为，点的纵坐标同理，点的纵坐标所以，故、两点的纵坐标之积为定值证法3：由椭圆的方程可知设，则直线的方程为，由联立椭圆的方程，得，由韦达定理可得，即，于是点的坐标为，同理，点的坐标为，、三点共线，故，化简得即、两点的纵坐标之积为定值证法4：由椭圆的方程可知若直线的斜率不存在，则直线，直线、的方程
11、分别为、可得，、两点的纵坐标之积为若直线的斜率存在，则可设，这里，、三点共线，故，化简整理得，注意到直线的斜率存在，于是便有，化简得，又直线的方程为，可得点的纵坐标，同理，点的纵坐标，所以，即、两点的纵坐标之积为定值（3）不存在理由如下：显然，抛物线的方程为方法1：设，则直线方程可为，由可得故（注：这里表示点的纵坐标，余类似），重心在轴上，即，进而，进一步可得直线，又在焦点的右侧，即因此当（注意到，即时，取等号，即有（）若存在锐角，使得成立，则，即，这与（）矛盾因此，不存在锐角，使得成立方法2：设，三点共线，即，即，同理可得，为的重心，且，设，则，不妨设，在焦点的右侧，而，即，进而，即因此，当
12、且仅当，即时，取等号，即有（）若存在锐角，使得成立，则，即与（）矛盾，因此，不存在锐角，使得成立4已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线的方程为以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为，过原点的动直线与椭圆交于、两点（）求椭圆的方程；（）若点为椭圆的左顶点，求的取值范围；（）若点满足，求证为定值【解答】（）解：双曲线的焦距为，一条渐近线的方程为，由解得，椭圆的方程为（）解：点为椭圆的左顶点，设，由，得，解得，设，则，又，的取值范围是（）证明：由，知在线段垂直平分线上，由椭圆的对称性知，关于原点对称，若、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，此时当点，不是椭圆的顶点时，设直线的方程为，则直线
13、的方程为，设，由，解得，用代换，得，综上所述：5已知椭圆的左右焦点分别为、，且经过点，为椭圆上的动点，以为圆心，为半径作圆（1）求椭圆的方程；（2）若圆与轴有两个交点，求点横坐标的取值范围【解答】解：（1）由椭圆定义得，（1分）即，（3分）又，（5分）故椭圆方程为（6分）（2）设，则圆的半径，（7分）圆心到轴距离，（8分）若圆与轴有两个交点则有即，（9分）化简得（10分）为椭圆上的点，（11分）代入以上不等式得，解得（12分），（13分）（14分）6已知椭圆的左、右焦点分别为，且椭圆上的点满足，（1）求椭圆的标准方程；（2）作直线垂直于轴，交椭圆于点，点是椭圆上异于，两点的任意一点，直线，分别
14、与轴交于，两点，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由【解答】解：（1）依题意得：，由椭圆定义知，又，则，在中，由余弦定理得：，即，解得，又，故所求椭圆方程为（2）依题意得知：，两点关于轴对称，设，则，则，同理，又直线的方程为，由得点的横坐标，同理直线的方程为，由得点的横坐标，为定值7已知椭圆的左右焦点坐标为，且椭圆经过点（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是椭圆上位于第一象限内的动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积【解答】解：（1）因为椭圆焦点坐标为，且过点，所以，所以，（3分）从而，故椭圆的方程为 （6分）（2）设点，因为，且，三点共
15、线，所以，解得，所以，（8分）同理得，（10分）因此，（12分）因为点，在椭圆上，所以，即，代入上式得：四边形的面积为2 （14分）8在平面直角坐标系中，椭圆过点，（1）求椭圆的方程；（2）点，是单位圆上的任意一点，设，是椭圆上异于顶点的三点且满足，求证：直线与的斜率乘积为定值【解答】解：（1）由题意得，解得，故椭圆方程为；证明：（2）令，则由，可知，故，整理得又，故，故9在平面直角坐标系中，椭圆过点，（1）求椭圆的方程；（2）点，是单位圆上的任意一点，设，是椭圆上异于顶点的三点且满足，探讨是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由【解答】解：（1）由题意得，解得，椭圆的方程为；
16、（2）是定值，等于9证明如下：令，由，得，故，整理得：，又，故，得故，则故是定值，等于910定义：在平面内，点到曲线上的点的距离的最小值称为点到曲线的距离在平面直角坐标系中，已知圆及点，动点到圆的距离与到点的距离相等，记点的轨迹为曲线（）求曲线的方程；（）过原点的直线不与坐标轴重合）与曲线交于不同的两点，点在曲线上，且，直线与轴交于点，设直线，的斜率分别为，求【解答】解：（）由题意知：点在圆内且不为圆心，圆及点，动点到圆的距离与到点的距离相等，故，所以点的轨迹为以、为焦点的椭圆，（2分）设椭圆方程为，则，所以，故曲线的方程为（5分）（）设，则，则直线的斜率为，又，所以直线的斜率是，记，设直线的
17、方程为，由题意知，由得：，由题意知，所以，（9分）所以直线的方程为，令，得，即，可得（11分）所以，即（12分）（其他方法相应给分）11已知椭圆的离心率为，且过点，动直线交椭圆于不同的两点，且为坐标原点）（1）求椭圆的方程（2）讨论是否为定值若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由【解答】解：（1）由题意可知，所以，整理，得，又点在椭圆上，所以有，由联立，解得，故所求的椭圆方程为（2）为定值，理由如下：设，由，可知联立方程组，消去，化简得，由，得，由根与系数的关系，得，由，得，整理，得将代入上式，得化简整理，得，即12已知，分别是椭圆的左、右焦点，分别为椭圆的上、下顶点，到直线的距离为（）求椭
18、圆的方程；（）过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围；（）过椭圆的右顶点的直线与椭圆交于点（点异于点，与轴交于点（点异于坐标原点，直线与交于点证明：为定值【解答】解：（），分别是椭圆的左、右焦点，分别为椭圆的上、下顶点，到直线的距离为，解得，椭圆的方程为（）的斜率不存在时，解得，；的斜率存在时，设直线，代入椭圆方程可得，设，则，综上可得的取值范围是，；（）证明：椭圆的右顶点，设直线，则，联立，得，设点，直线的方程为，、三点共线，则有，又，将代入，得：，即为定值113已知椭圆经过点，且离心率为（）求椭圆的方程；（）若直线与曲线相交于异于点的两点、，且直线与直线的斜率之和为，则直线是否过定点？若是，
19、求出该定点；若不是，说明理由【解答】解：（）因为椭圆经过，所以，因为离心率为，所以，又，由，解得，所以椭圆的方程为（）设，联立，得，则，因为直线与直线的斜率之和为，所以，所以，所以，把代入，得，所以，化简得，因为直线不过点，所以，即，所以，所以直线方程为，所以直线过定点14如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线上的点和椭圆上点的最小距离为1（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的上顶点为，点，是上的不同于的两点，且点，关于原点对称，直线，分别交直线于点，记直线与的斜率分别为，求证：为定值；求的面积的最小值【解答】解：（1）由题知，又，故椭圆的方程为；（2）设，则，点，关于原点对称，则，；直
20、线的方程为，令，得，直线的方程为，令，得，由，即的最小值为，的面积的最小值为15在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为设过点的直线、与椭圆分别交于点，、，其中，（1）设动点满足，求点的轨迹；（2）设，求点的坐标；（3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）【解答】解：（1）设点，则：、由，得，化简得故所求点的轨迹为直线（2）将分别代入椭圆方程，以及，得、，直线方程为：，即，直线方程为：，即联立方程组，解得：，所以点的坐标为（3）点的坐标为直线方程为：，即，直线方程为：，即分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、（方法一）当时，直线方程为：，令，可得，即为，令，解
21、得：此时必过点；当时，直线方程为：，与轴交点为所以直线必过轴上的一定点（方法二）若，则由及，得，此时直线的方程为，过点若，则，直线的斜率，直线的斜率，得，所以直线过点因此，直线必过轴上的点16已知是椭圆的左顶点，斜率为的直线交于、两点，点在上，且（1）当时，求的面积；（2）当时，求的值【解答】解：（1）设，由题可知，因为，可得，故直线的方程为，联立，得，解得或，所以，所以（2）由题意可得，设直线的方程为，联立，得，所以，即，所以，同理可设直线的方程为，解得，由，得，即，即，因为，所以，所以17已知椭圆的离心率为，右焦点过点作斜率为的直线，交椭圆于、两点，是一个定点如图所示，连、，分别交椭圆于、
22、两点（不同于、，记直线的斜率为（）求椭圆的方程；（）在直线的斜率变化的过程中，是否存在一个常数，使得恒成立？若存在，求出这个常数；若不存在，请说明理由【解答】解：（）设，由题意，解得，椭圆的方程为（5分）（）存在常数设，联立，可得于是，直线的斜率，联立，可得则，进一步可得将代入，则同理可得则，由，两式相减可得，综上可知，存在常数（15分）18已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点斜率为的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点（1）求椭圆的标准方程；（2）设，延长，分别与椭圆交于、两点，直线的斜率为，求的值及直线所经过的定点坐标【解答】解：（1）依题意，得，解得，在椭圆中，椭圆的标准方程为
23、：（4分）（2）设，显然，故直线的方程为，代入椭圆方程，消去得：，由韦达定理得：，代入直线的方程得，则，即，同理得，显然，两点坐标均满足直线的方程，所以直线的方程为，且直线过定点，（12分）19已知椭圆的离心率为，以的四个顶点为顶点的四边形的面积为（）求椭圆的方程；（）设，分别为椭圆的左、右顶点，是直线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，试探究，点是否在以为直径的圆内？证明你的结论【解答】解：（）依题意得，又，由此解得，所以椭圆的方程为（）点在以为直径的圆内证明如下：方法1：由（）得，设，点在椭圆上，又点异于顶点、，由、三点共线可以得从而，将代入，化简得，于是为锐角，从
24、而为钝角，故点在以为直径的圆内方法2：由（）得，设，则，又的中点的坐标为，依题意，计算点到圆心的距离与半径的差直线的方程为，直线的方程为，而两直线与的交点在直线上，即又点在椭圆上，则，即于是将、代入，化简后可得第16讲 弦长问题及长度和、差、商、积问题 一解答题（共25小题）1椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于，与交于，（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由2椭圆的右焦点到直线的距离为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，过作与轴垂直的直线交椭圆于，两点，交抛物线于，两点，且（1）求椭
25、圆及抛物线的方程；（2）过点且斜率为的直线交椭圆于、两点，交抛物线于，两点，请问是否存在实常数，使为常数若存在，求出的值；若不存在，说明理由3已知椭圆的右焦点到直线的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为（1）求椭圆的标准方程；（2）给出定点，对于椭圆的任意一条过的弦，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由4已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于、两点，且，求直线的斜率的取值范围5已知，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且过点的直线交椭圆于，两点，的周长为（）求椭圆的方程；（）我们知道抛物线有性质：“过抛物线的焦点为的弦满足”那么对于椭圆，问否存在实数，使得成立，若存在求
26、出的值；若不存在，请说明理由6已知椭圆，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点、的距离之和为4，且的最大值为（1）求椭圆的方程；（2）若过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围7已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为2，过作斜率存在且不为零的直线交于，两点，且的周长为8（1）求椭圆的方程；（2）已知弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值8设、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的点，且，坐标原点到直线的距离是（）求椭圆的离心率；（）过椭圆的上顶点作斜率为的直线交椭圆于另一点，点在椭圆上，且，求证：存在，使得9已知椭圆的左，右焦点分别为，过点作斜率为的直线交于，两点当时，点，恰在以为直径且面积为的圆上（）求
27、椭圆的方程；（）若，求直线的方程10已知椭圆，离心率分别为左、右焦点，椭圆上一点满足，且的面积为1（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点过点且平行于的直线交椭圆于点，证明：为定值11平面直角坐标系中，是椭圆的左焦点，过点且方向向量为的光线，经直线反射后通过左顶点求椭圆的方程；过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为的中点，直线为原点）与直线交于点，若满足，求的值12如图，已知抛物线，点，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为（）求直线斜率的取值范围；（）求的最大值13已知椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，且当直线垂直于轴时，（1）求椭圆的方程；（2）若，求弦长的取值
28、范围14椭圆的左，右焦点应分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆切于点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点证明：存在常数，使得，并求的值；（3）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围15已知椭圆的离心率，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求的取值范围16已知椭圆的离心率，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求的取值范围17已知抛物线的方程为，为抛
29、物线上两点，且，其中，过，分别作抛物线的切线，设，交于点如果点的坐标为，求弦长；（）为坐标原点，设抛物线的焦点为，求的取值范围18已知曲线；曲线（1）试判断曲线与的交点个数；（2）若过点直线与曲线交于两个不同的点，求的取值范围19如图，设抛物线的焦点为，准线为，过准线上一点且斜率为的直线交抛物线于，两点，线段的中点为，直线交抛物线于，两点（）求抛物线的方程；（）若，试写出关于的函数解析式，并求实数的取值范围20椭圆过点，左焦点为，与轴交于点，且满足（）求椭圆的方程；（）设圆，直线与圆相切且与椭圆交于不同两点，当且，时，求弦长的范围21椭圆过点，左焦点为，与轴交于点，且满足（）求椭圆的方程；（）
30、设圆，直线与圆相切且与椭圆交于不同两点，当且，时，求弦长的范围，并求当弦长最大时，直线的方程22设椭圆，为坐标原点，（1）椭圆过，两点，求椭圆的方程；（2）若，两个焦点为，为椭圆上一动点，且满足，求椭圆离心率的范围（3）在（1）的条件下，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在说明理由23在平面直角坐标系中，已知，动点满足（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作直线交于，两点，若的面积是的面积的2倍，求24过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，已知点，为坐标原点若的最小值为3（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线，交抛
31、物线于、两点，求的取值范围25在离心率，椭圆过点，面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题设椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，已知椭圆的短轴长为，_（1）求椭圆的方程；（2）若线段的中垂线与轴交于点，求证：为定值第16讲 弦长问题及长度和、差、商、积问题 参考答案与试题解析一解答题（共25小题）1椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于，与交于，（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设椭圆的右焦点，由题
32、意可得，可得，再由，所以可得，所以，所以椭圆的方程为：；因为抛物线的焦点，所以，所以抛物线的方程：，所以椭圆的方程为：，抛物线的方程：；（2）设直线的方程为：，并设，联立整理可得：，所以，联立整理可得：，所以，得，要使其为定值，则对应比成比例，所以可得，即时，为定值2椭圆的右焦点到直线的距离为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，过作与轴垂直的直线交椭圆于，两点，交抛物线于，两点，且（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）过点且斜率为的直线交椭圆于、两点，交抛物线于，两点，请问是否存在实常数，使为常数若存在，求出的值；若不存在，说明理由【解答】解：（1）设椭圆、抛物线的公共焦点，由点到直线的距离公式得解得
33、，故，即，由，得，即，又，解得故椭圆的方程为，抛物线的方程为（2）设，把直线的方程，与椭圆的方程联立，得，整理得，把直线的方程，与抛物线的方程联立，得，得，要使为常数，则，解得故存在，使得为常数3已知椭圆的右焦点到直线的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为（1）求椭圆的标准方程；（2）给出定点，对于椭圆的任意一条过的弦，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由【解答】解：（1）由右焦点到直线的距离为5，可得：，解得又，联立解得，椭圆的标准方程为（2）当直线与轴重合时，当直线与轴不重合时，设直线的方程为：，联立，化为：，同理可得：综上可得：4已知椭圆的右焦点为，过的直线
34、交椭圆于、两点，且，求直线的斜率的取值范围【解答】解：椭圆的右焦点为，设直线的方程为，由，得，直线过焦点，且，同理，故由，解得所以直线的斜率的取值范围是，5已知，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且过点的直线交椭圆于，两点，的周长为（）求椭圆的方程；（）我们知道抛物线有性质：“过抛物线的焦点为的弦满足”那么对于椭圆，问否存在实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（）根据椭圆的定义，可得，的周长为，椭圆的方程为，将代入得，所以椭圆的方程为（）由（）可知，得，依题意可知直线的斜率不为0，故可设直线的方程为，消去，整理得，设，则，不妨设，同理，所以，即，所以存在实数，使得成立
35、6已知椭圆，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点、的距离之和为4，且的最大值为（1）求椭圆的方程；（2）若过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围【解答】解：（1）因为椭圆的标准方程为，记的最大值为由题意知解得，所以椭圆的标准方程为（2）因为，当直线的斜率不存在时，则，不符合题意；当直线的斜率存在时，直线的方程可设为由，消得设，则、是方程的两个根，所以，（法一），当时，取最大值为3，所以的取值范围又当不存在，即轴时，取值为所以的取值范围，（法二），当时，取最大值为3，所以的取值范围又当不存在，即轴时，取值为所以的取值范围7已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为2，过作斜率存在且不为零的直线交于，两
36、点，且的周长为8（1）求椭圆的方程；（2）已知弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值【解答】解：（1）因为椭圆的焦距为2，所以，解得，由椭圆的定义可得的周长为，又因为的周长为8，所以，解得，所以，所以椭圆的方程为（2）证明：设直线的方程为，联立，得，设，所以，设的中点为，所以，当时，线段的垂直平分线的方程为，令，得，所以，所以，当时，直线的方程为，此时，所以，综上，8设、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的点，且，坐标原点到直线的距离是（）求椭圆的离心率；（）过椭圆的上顶点作斜率为的直线交椭圆于另一点，点在椭圆上，且，求证：存在，使得【解答】解：（）是椭圆上的点，且，所以点，又，直线的方程为；坐标
37、原点到直线的距离是，得，即；解方程得或（不合题意，舍去）；故所求椭圆离心率为；（）证明：由椭圆离心率为，；由得；椭圆，其上顶点为；故直线的方程为，与椭圆方程组成方程组，消去，得，解得，所以，；又，化简得；记，又，函数的零点在区间内，存在，使得9已知椭圆的左，右焦点分别为，过点作斜率为的直线交于，两点当时，点，恰在以为直径且面积为的圆上（）求椭圆的方程；（）若，求直线的方程【解答】解：（）当时，直线轴，又点，恰在以为直径，面积为的圆上，所以四边形为矩形，且，所以点的坐标为（2分）又，所以，在中，由，（3分）解得，所以椭圆的方程为（6分）（）由（）知点坐标为，将与椭圆方程联立得，设，得，（8分）故
38、（9分）又，（10分）所以，解得（11分）所以直线的方程为（12分）10已知椭圆，离心率分别为左、右焦点，椭圆上一点满足，且的面积为1（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点过点且平行于的直线交椭圆于点，证明：为定值【解答】（1）解：方法一：由离心率，得：，所以，椭圆上一点，满足，所以点为圆：与椭圆的交点，联立方程组解得，所以，解得：，所以柯圆的标准方程为：方法二：由椭圆定义；，得到：，即，又，得，所以椭圆的标准方程为：（2）证明：设直线的方程为：得，设过点且平行于的直线方程：，11平面直角坐标系中，是椭圆的左焦点，过点且方向向量为的光线，经直线反射后通过左顶点求椭圆的方
39、程；过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为的中点，直线为原点）与直线交于点，若满足，求的值【解答】解：（）由关于对称得到点，在光线所在直线方程上，的斜率为，椭圆的方程为；（）由得，直线，联立，得，直线与直线垂直，则，解得12如图，已知抛物线，点，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为（）求直线斜率的取值范围；（）求的最大值【解答】解：（）由题可知，所以，故直线斜率的取值范围是：；（）由知，所以，设直线的斜率为，则，即，则，联立直线、方程可知，故，又因为，故，所以，令，则，由于当时，当时，故，即的最大值为13已知椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，且当直线垂直于轴时，（1）求椭圆的方程；（2
40、）若，求弦长的取值范围【解答】解：（1）由题意可得，即，则，把代入，得，则，联立得：，椭圆的方程为；（2）如图，当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，得设，则，由，得，则，把代入消去得：，当，时，解得：弦长的取值范围为14椭圆的左，右焦点应分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆切于点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点证明：存在常数，使得，并求的值；（3）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围【解答】解：（1）由，解得，所以椭圆的方程为；（2）证明：，又，设的方程为，由可得，设，则，由可得，即存在满足条件；（3）由题意可知：，设，其中，将向量坐标代入并化简得：，因为，所以，而，所以，15已知椭圆的离心率，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求的取