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1、第1讲函数的图象与性质考情分析1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等，主要考查求函数的定义域、分段函数的函数值的求解或分段函数中参数的求解及函数图象的识别难度属中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题考点一函数的概念与表示核心提炼1复合函数的定义域(1)若f(x)的定义域为m，n，则在f(g(x)中，mg(x)n，从中解得x的范围即为f(g(x)的定义域(2)若f(g(x)的定义域为m，n，则由mxn确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域2分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值
2、域等于各段函数值域的并集例1(1)若函数f(x)log2(x1)，则函数f的定义域为()A(1,2 B(2,4 C1,2) D2,4)答案B解析由得1x2，故f(x)的定义域为(1,2，由12，得2x4，故f的定义域为(2,4(2)设函数f(x)则满足f(x)f(x1)2的x的取值范围是_答案解析函数f(x)当x0时，x11，f(x)f(x1)2x12(x1)14x2，无解；当即00，即x1时，f(x)f(x1)4x4x12，得x1.综上，x的取值范围是.规律方法(1)形如f(g(x)的函数求值时，应遵循先内后外的原则(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求
3、解跟踪演练1(1)已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则实数a的取值范围是()A(，2 B2，1C1,0) D(，0)答案B解析当a1且1a0，故C不是“H函数”；D中，yx22x(x1)211，其值域不关于原点对称，故D不是“H函数”综上所述，A，B是“H函数”考点二函数的性质核心提炼1函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：f(x)是偶函数f(x)f(x)f(|x|)；f(x)是奇函数f(x)f(x)(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数奇函数是偶函数)2函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法3函数图象的对称中心或对称轴(1)若函数f(
4、x)满足关系式f(ax)2bf(ax)，则函数yf(x)的图象关于点(a，b)对称(2)若函数f(x)满足关系式f(ax)f(bx)，则函数yf(x)的图象关于直线x对称考向1单调性与奇偶性例2(1)(2020新高考全国)若定义在R上的奇函数f(x)在(，0)上单调递减，且f(2)0，则满足xf(x1)0的x的取值范围是()A1,13，) B3，10,1C1,01，) D1,01,3答案D解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)0.又f(x)在(，0)上单调递减，且f(2)0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x1)的大致图象如图(2)所示当x0时，要满足xf(x
5、1)0，则f(x1)0，得1x0.当x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0，得1x3.故满足xf(x1)0的x的取值范围是1,01,3(2)设函数f(x)的最大值为M，最小值为N，则(MN1)2021的值为_答案1解析由已知xR，f(x)1，令g(x)，易知g(x)为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0，MNf(x)maxf(x)ming(x)max1g(x)min12，(MN1)20211.考向2奇偶性与周期性例3(1)定义在R上的奇函数f(x)满足ff(x)，当x时，f(x)，则f(x)在区间内是()A减函数且f(x)0B减函数且f(x)0D增函数且f(x)0，又函
6、数f(x)为奇函数，所以在区间上函数也单调递增，且f(x)0.由ff(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数单调递增且f(x)0，0，则f(x)0，0，则f(x)0，符合题意考向2函数图象的变换及应用例5(1)若函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x1)的图象大致为()答案C解析要想由yf(x)的图象得到yf(x1)的图象，需要先将yf(x)的图象关于x轴对称得到yf(x)的图象，然后再向左平移一个单位长度得到yf(x1)的图象，根据上述步骤可知C正确(2)已知函数f(x)若不等式|f(x)|mx2恒成立，则实数m的取值范围为()A32，32 B0,32C(32，32) D0,32答案
7、D解析由函数的解析式易知f(x)0恒成立，则|f(x)|不等式|f(x)|mx2恒成立，等价于函数y|f(x)|的图象在函数ymx2图象的上方恒成立作出函数y|f(x)|的图象，如图所示，函数ymx2的图象是过定点(0，2)的直线，由图可知，当m0时，考虑直线ymx2与曲线yx23x(x0)相切的情况由得x2(3m)x20，令(3m)28m26m10，解得m32或m32，结合图形可知0m32.综上，m的取值范围是0,32规律方法(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特征点排除不符合要求的图象(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数
8、图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图象，再观察跟踪演练3(1)(2020天津市大港第一中学模拟)函数y2|x|sin2x的图象可能是()答案D解析令f(x)2|x|sin2x，因为xR，f(x)2|x|sin2(x)2|x|sin2xf(x)，所以f(x)2|x|sin2x为奇函数，排除选项A，B；因为当x时，f(x)0时，直线yax1经过第一、三、四象限，与函数f(x)的图象必有交点，符合题意；当a0时，f(x)，当x时，f(x)0，排除C.因为f(2)2，所以D不符合题意4设函数f(x
9、)若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是()A1,2) B1,0C1,2D1，)答案C解析f(x)若x1，则f(x)x12，易知f(x)2|xa|在(a，)上单调递增，在(，a)上单调递减若afBf(sin3)f(cos3)Cff(2019)答案B解析由f(x2)f(x)，得f(x)是周期函数且周期为2，根据f(x)在x1,0上的图象和f(x)是偶函数可得f(x)在0,1上是增函数对于A,0sincos1，ff，A错误；对于B,0sin3cos31，f(sin3)f(cos3)f(cos3)，B正确；对于C,0cossin1，ff，C错误；对于D，f(2020)f(0)f(2019
10、)f(1)，D错误6定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2.则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值为()A1B1C6D12答案C解析当2x1时，f(x)x2；当1x2时，f(x)x32.又yx2，yx32在R上都为增函数，且f(x)在x1处连续，f(x)的最大值为f(2)2326.7(2020全国)设函数f(x)ln|2x1|ln|2x1|，则f(x)()A是偶函数，且在单调递增B是奇函数，且在单调递减C是偶函数，且在单调递增D是奇函数，且在单调递减答案D解析f(x)ln|2x1|ln|2x1|的定义域为.又f(x)ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1|
11、f(x)，f(x)为奇函数，故排除A，C.当x时，f(x)ln(2x1)ln(12x)lnlnln，y1在上单调递减，由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减8已知函数f(x)(xR)满足f(x)f(2x)，若函数y|x22x3|与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则i等于()A0BmC2mD4m答案B解析由题意可知f(x)的图象关于直线x1对称，而y|x22x3|(x1)24|的图象也关于直线x1对称，所以两个图象的交点关于直线x1对称，且每对关于直线x1对称的交点的横坐标之和为2，所以im.二、多项选择题9若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函
12、数、奇函数，且满足f(x)2g(x)ex，则()Af(x)Bg(x)Cf(2)g(1) Dg(1)f(3)答案AD解析因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)2g(x)ex，所以f(x)2g(x)ex，即f(x)2g(x)ex，联立得解得所以f(2)，f(3)，g(1)0，所以g(1)f(2)，g(1)f(3)10(2020福州质检)已知函数f(x)则()Af(x)是偶函数Bf(x)在0，)上单调递增Cf(x)在(，0)上单调递增D若ff(1)，则1a1答案ABD解析由题可知f(x)f(x)，所以函数f(x)是偶函数，故A正确；由yx2x2，知yx2x在0，)
13、上单调递增，由yx2x2，知yx2x在(，0)上单调递减，故B正确，C错误；若ff(1)，则有ff(1)，结合函数f(x)的单调性可得1，所以|a|1，解得1a1，故D正确11符号x表示不超过x的最大整数，如3.143，1.62，定义函数f(x)xx，则下列命题正确的是()Af(0.8)0.2B当1x2时，f(x)x1C函数f(x)的定义域为R，值域为0,1)D函数f(x)是增函数、奇函数答案ABC解析由f(x)xx，得f(0.8)0.810.2，故A正确；当1x2时，f(x)xxx1，故B正确；函数f(x)的定义域为R，值域为0,1)，故C正确；当0x1时，f(x)xxx，当1x2时，f(x
14、)x1，当x0.5时，f(0.5)0.5，当x1.5时，f(1.5)0.5，则f(0.5)f(1.5)，即f(x)不为增函数，由f(1.5)0.5，f(1.5)0.5，可得f(1.5)f(1.5)，即f(x)不为奇函数，故D不正确12已知函数f(x)的定义域为R，且f(x1)是偶函数，f(x1)是奇函数，则下列说法正确的是()Af(7)0Bf(x)的一个周期为8Cf(x)图象的一个对称中心为(3,0)Df(x)图象的一条对称轴为直线x2019答案ABC解析依题意知，直线x1是f(x)图象的一条对称轴，(1,0)是f(x)图象的一个对称点又因为f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)，所以f(
15、x1)f(x2)1)f(x3)，则f(x3)f(x1)，令tx，则f(t3)f(t1)，故f(t4)f(t)，则f(t8)f(t4)f(t)，所以f(x)是周期函数，且8为函数f(x)的一个周期，故B正确；f(7)f(1)0，故A正确；因为f(x)图象上每隔4个单位长度出现一个对称中心，所以点(3,0)是函数f(x)图象的一个对称中心，故C正确；x201982523，所以直线x2019不是函数f(x)图象的对称轴，故D错误三、填空题13(2020江苏)已知yf(x)是奇函数，当x0时，f(x)，则f(8)的值是_答案414已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)，当x(0,2时，f(x)2x
16、1，则f(2020)f(2021)的值为_答案解析f(x2)，f(x4)f(x)，函数f(x)的周期为T4.又当x(0,2时，f(x)2x1，f(1)3，f(2)5，f(4)，f(2020)f(2021)f(4)f(1)3.15对于函数yf(x)，若存在x0使f(x0)f(x0)0，则称点(x0，f(x0)是曲线f(x)的“优美点”已知f(x)若曲线f(x)存在“优美点”，则实数k的取值范围是_答案(，22解析当x0)，由题意得，yx22x(x0)与ykx2有交点，即x22xkx2(x0)有解，kx2(x0)有解，又x222，当且仅当x时等号成立，k22.16(2020全国)关于函数f(x)sinx有如下四个命题：f(x)的图象关于y轴对称；f(x)的图象关于原点对称；f(x)的图象关于直线x对称；f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是_答案解析f(x)sinx的定义域为x|xk，kZ，f(x)sin(x)sinxf(x)，f(x)为奇函数，关于原点对称，故错误，正确fcosx，fcosx，ff，f(x)的图象关于直线x对称，故正确当x时，f(x)0，故错误