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1、专题7对边对角模型研究1. (2022南通期中)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(a，b)，n(sinB，cos A)，且mn.(1) 求角A的大小；(2) 若a，ABC的面积为，求ABC的周长2. 在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC.(1) 求角C的大小；(2) 若c2，求ab的取值范围3. 已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2b2acosC.(1) 求角A的大小；(2) 若M为BC的中点，AM，求ABC面积的最大值4. (2022邯郸期中)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinAsin
2、bsinCsin(BC)(1) 求角B的大小；(2) 若a2，求ABC面积的取值范围参考答案1. 【解】(1) 由mn，得asinBbcosA0，则由正弦定理得sinAsinBsinBcosA0.在ABC中，sinB0，故sinAcosA，即tanA.因为0A2，所以2ab4.方法二：因为c2，C，由正弦定理，可知asinA，bsinB，所以ab(sinAsinB)44sin.因为A，B，C是ABC的三个内角，且C，所以A，所以A，所以sin1，所以2ab4.3. 【解】(1) 方法一：因为c2b2acosC，由正弦定理得sinC2sinB2sinAcosC，所以sinC2sin(AC)2si
3、nAcosC2sinAcosC2cosAsinC2sinAcosC2cos AsinC.因为sinC0，所以2cosA1，cosA.因为0A，所以A.方法二：因为c2b2acosC，由余弦定理得c2b2a，整理得bcb2c2a2，即a2b2c2bc.又由余弦定理得a2b2c22bccosA，所以2cosA1，cosA.因为0A，所以A.(2) 方法一：因为M为BC的中点，所以()，所以2(222)，即3，即b2c212bc.而b2c22bc，所以12bc2bc，即bc4，当且仅当bc2时等号成立，所以ABC的面积为SABCbcsinA4，即ABC的面积的最大值为.方法二：设BMMCm.在ABM
4、中，由余弦定理得c23m22mcosAMB，在ACM中，由余弦定理得b23m22mcosAMC.又AMBAMC，所以cosAMBcosAMC0，所以可得b2c262m2.在ABC中，由余弦定理得4m2b2c22bccosA，A，所以4m2b2c2bc，联立得2b22c212b2c2bc，即b2c212bc.而b2c22bc，所以12bc2bc，即bc4，当且仅当bc2时等号成立，所以ABC的面积为SABCbcsinA4，即ABC的面积的最大值为.4. 【解】(1) 根据题意csinAsinbsinCsin(BC)，由正弦定理得sinCsinAsinsinBsinCsin(BC)因为ABC，所以BCA，所以sin(BC)sinA，故sinCsinAsinsinBsinCsinA.由0A，0C0，sinC0，消去sinA，sinC，得sinsinB.又0B，0，故B.因为ABC，所以B.(2) 因为ABC是锐角三角形，由(1)知B，ABC，则AC，故解得A.又由正弦定理，a2，所以SABCacsinBa2sinBa2sinB.因为A，所以2，从而SABC2.故SABC的取值范围是.