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1、第2课时面面夹角与距离一、 单项选择题1. 在三棱锥A BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若n1，n2，则二面角A BD C的大小为 ()A. B. C. 或 D. 或2. 如图，在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC平面PAB，PAAB，M为PB的中点，PAAD2.若AB1，则二面角B AC M的余弦值为()A. B. C. D. 3. (2022威海三模)已知圆柱的高和底面半径均为4，AB为上底面圆周的直径，点P是上底面圆周上的一点且APBP，PC是圆柱的一条母线，则点P到平面ABC的距离为()A. 4 B. 2 C. 3 D. 24. 在棱长为
2、3的正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E，F分别是BB1，DD1的中点，则平面ADE与平面B1C1F之间的距离为()A. B. C. D. 二、 多项选择题5. (2022常德期末)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P，Q分别为棱A1D1，D1C1的中点，M为线段BD上的动点，则()A. PQBCB. PQB1MC. 三棱锥PQMB1的体积为定值D. 设M为BD的中点，则二面角MPQB1的平面角为606. 如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，那么下列结论中正确的是()A. 点A1到底面ABCD的距离为B. 点C1到底面AB
3、CD的距离为C. 二面角A1BDA的平面角的正切值为D. 点A到平面BDD1B1的距离为三、 填空题7. (2022肥城二模)已知A(2,1,1)是直线l上一点，a(1,0,0)是直线l的一个方向向量，则点P(1,2,0)到直线l的距离是_8. 如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M，N，P分别是平面ADD1A1，平面CDD1C1，平面ABCD的中心，则点D到平面MNP的距离为_9. 如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E，F分别为DD1，DB的中点，则二面角EBC1F的余弦值为_四、 解答题10. (2023济南期初)如图，在正三棱锥PABC中，PA2，
4、M，N分别为PC，AC的中点，BMMN.(1) 求点P到平面ABC的距离；(2) 求平面BMN与平面ABC夹角的余弦值11. (2023泰州期中)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PAPBAB2，平面PAB平面ABCD，N是CD的中点(1) 若点M为线段PD上一点，且PB平面AMN，求的值；(2) 求二面角BPAC的正弦值；(3) 求点N到平面PAC的距离1. C【解析】 因为二面角的取值范围是0，n1，n2，所以二面角ABDC的大小为或.2. A【解析】 因为BC平面PAB，PA平面PAB，所以PABC.又PAAB，且BCABB，BC，AB平面ABCD，所以PA平面ABCD.
5、以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(1,2,0)，P(0，0,2)，B(1,0,0)，M，所以(1,2,0)，.设平面AMC的法向量为n(x，y，z)，则由得取x2，则y1，z1，所以平面AMC的一个法向量为n(2，1,1)又平面ABC的一个法向量为(0,0,2)，所以cosn，所以二面角BACM 的余弦值为.3. D【解析】 如图，由题知AB8，因为APBP，所以SABP8416，因为PC平面ABP，且PC4，所以VCABP164.因为APBP4，所以ACBC4，所以SABC816.设点P到平面ABC的距离
6、为d，则VPABC16d，解得d2.4. B【解析】 以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0,0)，D(0,3,0)，E，B1(3,0,3)，C1(3,3,3)，F，所以(0,3,0)，1(0,3,0)，则1.因为AD，B1C1不在同一条直线上，所以ADB1C1.因为AD平面B1C1F，B1C1平面B1C1F，所以AD平面B1C1F.同理可证AE平面B1C1F，因为ADAEA，所以平面ADE平面B1C1F.设平面ADE的法向量为n(x，y，z)，则取x1，可得n(1,0，2)又因为1(3,0,3)，因此，平面ADE与平面B
7、1C1F之间的距离为d.5. BC【解析】 由正方体的性质可知BCB1C1，PQ与B1C1不平行，故A错误；由正方体的性质可知PQB1D1，PQB1B，又B1D1B1BB1，所以PQ平面B1D1DB，又B1M平面B1D1DB，所以PQB1M，故B正确；由题可知点M到平面A1B1C1D1的距离为定值d2，PQB1的面积SPQB1为定值，所以VPQMB1VMPQB1SPQB1d为定值，故C正确；如图，建立空间直角坐标系，则P(1,0,2)，Q(0,1,2)，M(1,1,0)，所以(1,1,0)，(1,0，2)设平面PQM的法向量为m(x，y，z)，则令z1，则m(2,2,1)，平面PQB1的法向量
8、可取n(0,0,1)，设二面角MPQB1的平面角为，则cos|，故D错误6. AC【解析】 由题图知BAB160.又由tanBAB1，可得BB1tanBAB1ABtan60，所以点A1，C1到底面ABCD的距离为，故A正确，B错误；连接AC，BD，设ACBDO，连接A1O(图略)，则AOA1是二面角A1BDA的平面角，tanAOA1，所以C正确；点A到平面BDD1B1的距离为，故D错误7. 【解析】 由题意可得(1,1，1)，且|a|1，所以点P(1,2,0)到直线l的距离是.8. a【解析】 由题知NPBC1a，同理知MNMPa，又DMDNDPa，所以三棱锥DMNP为棱长为a的正四面体，则易
9、知点D到平面MNP的距离为aa.9. 【解析】 以D为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，则D(0，0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(0，0,1)，所以(2,2,0)，(0,2,2)，(2,2，1)，(0,2,1)由题图知二面角EBC1F即为二面角EBC1D，设m(x1，y1，z1)是平面BDC1的法向量，则设x11，得m(1，1,1)设n(x2，y2，z2)是平面EBC1的法向量，则令y21，得n(2,1，2)，故|cosm，n|，则二面角EBC1F的余弦值为.10. 【解】 (1) 因为M，N分别为PC，CA的中点，所以M
10、NPA.因为BMMN，所以PABM，如图，取BC的中点为D，连接PD，AD.因为PABC为正三棱锥，所以BCPD，BCAD，且PDADD，PD，AD平面PAD，所以BC平面PAD，所以BCPA.又BMBCB，所以PA平面PBC，所以PA，PB，PC三条线两两互相垂直，且等边三角形ABC的底边长AB2，VAPBCSPBCPA222，SABC(2)22.设点P到平面ABC的距离为d，所以VPABCSABCdd.因为VPABCVAPBC，所以d，所以点P到平面ABC的距离为.(2) 如图，以P为坐标原点，PA，PB，PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则P(0，0,0)，A(2
11、,0,0)，B(0，2,0)，C(0,0,2)，M(0,0,1)，N(1,0,1)，所以(1,0,0)，(0，2,1)设平面BMN的法向量为n1(x1，y1，z1)，由可得令y11，得n1(0,1,2)又(2,2,0)，(2,0,2)，设平面ABC的法向量为n2(x2，y2，z2)，由可得令y21，得n2(1,1,1)设平面BMN与平面ABC的夹角为，所以cos，所以平面BMN与平面ABC夹角的余弦值为.11. 【解】 (1) 如图(1)，连接BD，交AN于点E，连接ME，因为PB平面AMN，PB平面PBD，且平面PBD平面AMNME，所以PBME，故2.图(1)图(2)(2) 设O为AB的中
12、点，连接ON，如图(2)，又N是CD的中点，底面ABCD为正方形，所以ONAB，等边三角形PAB中POAB.因为平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，PO平面PAB，所以PO平面ABCD，而AB，ON平面ABCD，则POAB，POON，所以PO，AB，ON两两垂直，建立如图(2)所示的空间直角坐标系，由PAABPB2，得P(0,0，)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，所以(1,2，)，(1,0，)设m(x，y，z)为平面PAC的法向量，则令x，得m(，1)而n(0,1,0)为平面PAB的一个法向量，所以|cosm，n|，故二面角BPAC的正弦值为.(3) 由题设，VPACNVNPAC，而VPACN21.又PA2，AC2，PC2，所以SPACPA.设点N到平面PAC的距离为h，则h，可得h，故点N到平面PAC的距离为.