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1、盐城市实验高级中学2022-2023学年度第一学期期末考试高二年级数学试卷命题人: 杨 奇 梁启浩 审题人: 张小波试卷总分：150分 时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知直线，与垂直，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.【详解】由题意可得，解得.故选：B.2. 函数的部分图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的单调性排除求解即可.【详解】对求导得恒成立,故在上单调递增，A正确.
2、故选：A.3. 已知函数，则（ ）A. 0B. 1C. D. 【答案】D【解析】【分析】求导之后，代导函数表达式即可求解【详解】所以故选：D4. 数列，则该数列的第n项为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过数列的规律总结出数列的第n项即可【详解】设该数列为，则以此类推可得，故选：D5. 若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是（ ）A. B. 或C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据圆的一般式满足关系即可求解.【详解】若方程表示的曲线为圆，则，即，解得：，故选:C6. 若直线经过第一、二、四象限，则有（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】由一次
3、函数的性质判断【详解】直线即，经过第一、二、四象限，则，得，故选：B7. 已知椭圆，分别为它的左右焦点，点是椭圆上一个动点，下列结论中错误的是（ ）A. 点到右焦点的距离的最大值为B. 焦距为C. 点到原点的距离的最大值为D. 椭圆的离心率为【答案】B【解析】【分析】根据椭圆方程可得的值，根据椭圆的几何性质依次判断各个选项即可.【详解】由椭圆方程得：，；对于A，点到右焦点距离的最大值为，A正确；对于B，焦距为，B错误；对于C，点到的距离的最大值为，C正确；对于D，椭圆的离心率，D正确.故选：B.8. 已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【
4、分析】把转化为，先证明出恒成立，得到恒成立，从而得到，令，利用导数求出的最小值，即可得到a的最小值.【详解】记.因为，所以当时，所以在上单调递增，当时，所以在上单调递减，所以，即，所以.等号成立的条件是，即有解.令，则，解得：.当时，单减；当时，单增.故，即a的最小值为故选：C.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)利用导数
5、研究恒（能）成立问题二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为60，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 2【答案】BD【解析】【分析】由题意可得渐近线和x轴的夹角是30或60，所以有或，再利用可求得离心率.【详解】双曲线的两条渐近线的夹角为60，两渐近线关于x轴对称，渐近线和x轴的夹角是30或60.又渐近线方程为，斜率为.则或，当时，；当时，故选：BD10. 已知是等比数列的前项和，下列结论一定成立的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D.
6、 若，则【答案】AC【解析】【分析】利用等比数列的通项公式及其前项和公式即可判断出正误即可【详解】解：A、若，则，所以，故本选项正确；、，则无法判定的正负，所以的正负也无法判定，故本选项错误；、，则，若时，；若，故本选项正确；、若，若，时，；若，当时，则，所以，故本选项错误.故选：AC.11. 已知数列中，则下列说法正确的是（ ）A. B. 是等差数列C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据题意得，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为，所以，所以-得，又因，所以，所以，且奇数项和偶数项均为公差为的等差数列，故AB正确；对于C选项，故C选项正确；对于D选项，由，可知，不成立，故错误
7、.故选：ABC12. 已知函数有两个极值点，则（ ）A. a的取值范围为（，1）B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性，根据零点的个数求出的取值范围，进而确定的取值范围，再利用不等式的性质、构造函数利用导数逐一判断即可.【详解】由题设，且定义域为，则，当时，则单调递增，不可能存在两个零点，即不可能存在两个极值点，A错误；当时，即单调递增，当时，即单调递减，即，当时，所以至多有一个零点；当时，而，当趋向于0时趋于负无穷大，当趋向于正无穷时趋于负无穷大，综上，内各有一个零点，且，B：由且趋向于0时趋于负无穷大，所以，故，令，又，所以单调递减，故当时，又，所以，而，
8、因此，故正确；C：，令，显然有，令，显然，因此有：，设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，因为，所以，令，即，因为，所以单调递增，因为，所以，而，所以，因为，所以，当时，单调递减，因此有，即，正确；D：由，则，故，正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：构造函数、，利用导数研究单调性，根据单调性进行求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设等差数列的前项和为，若，则 _.【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列求和公式列方程求出和的值，再由等差数列的通项公式即可求解.【详解】设等差数列的公差为，由题意可得，可得，所以，故答案为：.14. 已知等比数列的前n项
9、和为，若，则k的值为_【答案】【解析】【分析】根据，当的求出，当时作差得到，再代入，即可求出；【详解】解：因为，当时，当时，得，因为是等比数列，所以，解得；故答案为：15. 设函数满足：对任意实数x都有，若在上恒成立，则实数a的取值范围为_【答案】【解析】【分析】分别令和，可求出，从而可求得的解析式，然后求出在上的最小值即可【详解】令，则，得，令，则，得，所以，对称轴为，所以当时，取得最小值，所以的最小值为，所以，即实数a的取值范围为，故答案为：16. 已知圆，点，、为圆上两点且满足，为中点，且构成三角形，记的面积为，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】如图，由已知，为中点可得出，利用勾股定
10、理得到，等价转化为，设点并代入上式得到的轨迹方程，当到最大距离为圆的半径时，最大.【详解】如图：因为，所以，因为为斜边中点，所以，根据垂径定理可知，所以，所以，设，则，所以，展开整理得，轨迹是以为圆心（中点），半径为圆，所以到最大距离为，且，所以，所以的最大值为.故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知公差为3的等差数列满足成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为40，求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】(1)根据等比中项的性质和等差数列通项公式求解；(2)根据等差数列前项和公式求解
11、.【小问1详解】因为，所以，即，整理得，所以，所以，【小问2详解】，令得解得.18. 已知抛物线过点（1）求抛物线的标准方程；（2）过抛物线焦点作直线与抛物线交于两点，已知线段的中点横坐标为4，求弦的长度【答案】（1）； （2）10.【解析】【分析】（1）把给定点的坐标代入抛物线方程，求出p值作答.（2）由（1）求出焦点，再根据给定中点横坐标求出横坐标和，结合抛物线定义求解作答.【小问1详解】因为抛物线过点，则有，解得，所以抛物线的标准方程为.【小问2详解】由（1）知，抛物线的焦点，准线方程为，设点的横坐标分别为，而线段的中点横坐标为4，则有，因为点是过抛物线焦点的直线与抛物线的两个交点，因此
12、，所以弦的长度为10.19. 已知圆.（1）若直线与圆相切，求实数的值（2）若圆与圆外切，求实数的值；【答案】（1）或3； （2）4.【解析】【分析】（1）求出圆圆心和半径，再利用点到直线距离公式，列式求解作答.（2）求出圆的圆心和半径，再结合两圆外切列出方程，求解作答.【小问1详解】圆，则有，圆心，半径，因为直线与圆相切，则有，解得或，符合题意，所以实数的值或3.【小问2详解】圆的圆心，半径，因为圆与圆外切，则有，由（1）得，解得，所以实数的值为4.20. 已知函数，当时，函数有极小值0.（1）求函数的解析式；（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【
13、分析】（1）根据给定条件，利用极值点及对应的极小值列出方程组，再求解并验证作答.（2）根据给定条件，分离参数并构造函数，再求出函数的最小值作答.【小问1详解】函数，求导得：，因当时，函数有极小值0，因此，解得，此时，当时，当时，于是得函数在处取得极小值0，所以函数的解析式为.【小问2详解】，不等式，令，求导得，因此函数在上单调递减，则当时，因为存在，使不等式成立，则存在，使不等式成立，即有，所以实数的取值范围是.21. 已知函数，.（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）如果存在实数、，其中，使得，求的取值范围【答案】（1） （2）减区间为，增区间为 （3）【解析】【分析】
14、（1）求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；（2）利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间；（3）分析可知函数在、上为增函数，令，求出的取值范围，将、关于的关系式，可得出关于的函数关系式，利用导数求出的取值范围即可.【小问1详解】解：因为，其中，则，所以，所以，函数在点处的切线方程为，即.【小问2详解】解：由可得，由可得.所以，函数的减区间为，增区间为.【小问3详解】解：由已知，则函数在、上为增函数，若存在实数、，其中，使得，则，令，则，可得，由可得；由可得，所以，令，其中，令可得，当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，故当时，又因为，且，所以，因此，的取值范围是.