《湖南省长沙市雅礼中学2021届高考数学模拟试卷(二模).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省长沙市雅礼中学2021届高考数学模拟试卷(二模).docx（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年湖南省长沙市雅礼中学高考数学模拟试卷（二模）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1设集合M，N，P均为R的非空真子集，且MNR，MNP，则M（RP）（）AMBNCRMDRN2已知|a|2，|b|1，且a与b的夹角为，则（a+ b）b（）AB1C2D33已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的体积为（）ABCD4若双曲线1（a0）的一条渐近线方程为yx，则其离心率为（）AB2CD5地铁某换乘站设有编号为 A，B，C，D，E 的五个安全出口若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号A，BB，CC，DD，EA，E疏散乘客时间（s）12022
2、0160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）AABBCDDE6老师要从6篇课文中随机抽取3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的4篇，该同学能及格的概率为（）ABCD7如图，E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1上的一点E（不与端点重合），BD1平面B1CE，则（）ABD1CEBAC1BD1CD1E2EC1DD1EEC18若2a+3b+5c+，则（）Acln5aln2bln3Baln2cln5bln3Cbln3cln5aln2Daln2bln3cln5二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
3、求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9已知f（x）Asin（x+）（A0，0，（0，2）的图象如图，则（）A2BCA2Dx时，f（x）取最小值10关于函数f（x）|ln|2x|，下列描述正确的有（）A函数f（x）在区间（1，2）上单调递增B函数yf（x）的图象关于直线x2对称C若x1x2，但f（x1）f（x2），则x1+x24D函数f（x）有且仅有两个零点11设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是（）A若|z1z2|0，则B若z1，则z2C若|z1|z2|，则z1z2D若|z1|z2|，则z12z2212已知抛物线E：y24x的焦点为F，准线l交x轴于点C，直线m过C且交
4、E于不同的A，B两点，B在线段AC上，点P为A在l上的射影，下列命题正确的是（）A若ABBF，则|AP|PC|B若P，B，F三点共线，则|AF|4C若|AB|BC|，则|AF|2|BF|D对于任意直线m，都有|AF|+|BF|2|CF|三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13曲线y2xlnx在点（1，0）处的切线方程为 14已知（x1）na0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a4（x+1）4+a5（x+1）5+a6（x+1）6（a60），则n ，a3 15若函数f（x）sin（x+）+cosx为偶函数，则常数的一个取值为 16如图，假定两点P，Q以相同的初速度
5、运动点Q沿直线CD作匀速运动，CQx；点P沿线段AB（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PBy）令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系是，其中e为自然对数的底，当点P从线段AB的三等分点移动到中点时，经过的时间为 四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知数列an中，a11，且an+1an+n（1）求数列an的通项公式；（2）设，数列bn的前n项和Tn18如图，在平面四边形ABCD中，ADCD，BAD，2ABBD4（1）求cosADB；（2）若BC，求CD19已知某射手射中固定
6、靶的概率为，射中移动靶的概率为，每次射中固定靶、移动靶分别得1分、2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；（2）求该射手的总得分X的分布列和数学期望20在空间直角坐标系Oxyz中，以坐标原点O为圆心r为半径的球体上任意一点P（x，y，z），它到坐标原点O的距离dr，可知以坐标原点为球心，r为半径的球体可用不等式x2+y2+z2r2表示还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示记P1满足的不等式组表示的几何体为W1（1）当zh表示的图形截W1所得的截面面积为12时，求实
7、数h的值；（2）请运用祖暅原理求证：记P2满足的不等式组所表示的几何体W2，当zh时，W2与W1的体积相等，并求出体积的大小（祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等）21已知椭圆C：1（ab0）的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，直线l：x1与C的两个交点和O，B构成一个面积为的菱形（1）求C的方程；（2）圆E过O，B，交l于点M，N，直线AM，AN分别交C于另一点P，Q，点S，T满足，求O到直线ST和直线PQ的距离之和的最大值22已知函数f（x）sinx+ex（1）求函数f（x）在的最大值；（2）证明：函数g（x）x+2exf（x
8、）在（0，2）有两个极值点x1，x2，并判断x1+x2与2的大小关系参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1设集合M，N，P均为R的非空真子集，且MNR，MNP，则M（RP）（）AMBNCRMDRN解：集合M，N，P均为R的非空真子集，且MNR，MNP，如图所示：所以M（RP）RN故选：D2已知|a|2，|b|1，且a与b的夹角为，则（a+ b）b（）AB1C2D3 故选：C3已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的体积为（）ABCD解：圆锥的轴截面是正三角形ABC，边长等于4，如图：圆锥的高AO42，圆锥的底面半径r42，因此，该圆锥的体积Vr2AO222故选：C4若双
9、曲线1（a0）的一条渐近线方程为yx，则其离心率为（）AB2CD解：双曲线1（a0）的一条渐近线方程为yx，所以a2，b1，则c，则离心率e故选：C5地铁某换乘站设有编号为 A，B，C，D，E 的五个安全出口若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号A，BB，CC，DD，EA，E疏散乘客时间（s）120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）AABBCDDE解：同时开放A，E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放D，E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，得到D疏散乘客比A快；同时开放A，E两个安
10、全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放A，B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，得到A疏散乘客比E快；同时开放A，B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放B，C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，得到A疏散乘客比C快；同时开放B，C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，同时开放C，D两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，得到D疏散乘客比B快综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D故选：C6老师要从6篇课文中随机抽取3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的4
11、篇，该同学能及格的概率为（）ABCD解：老师要从6篇课文中随机抽取3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的4篇，基本事件总数n20，该同学能及格包含的基本事件个数m16，该同学能及格的概率P故选：D7如图，E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1上的一点E（不与端点重合），BD1平面B1CE，则（）ABD1CEBAC1BD1CD1E2EC1DD1EEC1解：如图，设B1CBC1O，可得面D1BC1面B1CEEO，BD1平面B1CE，根据线面平行的性质可得D1BEO，O为B1C的中点，E为C1D1中点，D1EEC1故选：D8若2a+3b+5c+，则（）Acln5
12、aln2bln3Baln2cln5bln3Cbln3cln5aln2Daln2bln3cln5解：由函数，可知，x（0，e），f（x）0，x（e，+），f（x）0，又，所以故选：A二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9已知f（x）Asin（x+）（A0，0，（0，2）的图象如图，则（）A2BCA2Dx时，f（x）取最小值解：由题意知：（），则T，故2，故A正确；函数图像由yAsinx的图像向左平移而得，故f（x）Asin2（x+）Asin（2x+），故，故B正确；f（0）Asin1，解
13、得：A，故C错误；x时，2x+2，f（x）不取最小值，故D错误；故选：AB10关于函数f（x）|ln|2x|，下列描述正确的有（）A函数f（x）在区间（1，2）上单调递增B函数yf（x）的图象关于直线x2对称C若x1x2，但f（x1）f（x2），则x1+x24D函数f（x）有且仅有两个零点解：函数f（x）|ln|2x|的图象如下图所示：由图可得：函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，A正确；函数yf（x）的图象关于直线x2对称，B正确；根据图象，由x1x2，但f（x1）f（x2），则x1+x2不一定等于4，C错误；函数f（x）有且仅有两个零点，D正确故选：ABD11设z1，z2是复数，则下列
14、命题中的真命题是（）A若|z1z2|0，则B若z1，则z2C若|z1|z2|，则z1z2D若|z1|z2|，则z12z22解：对（A），若|z1z2|0，则z1z20，z1z2，所以为真；对（B）若，则z1和z2互为共轭复数，所以为真；对（C）设z1a1+b1i，z2a2+b2i，若|z1|z2|，则，所以为真；对（D）若z11，z2i，则|z1|z2|为真，而，所以为假故选：ABC12已知抛物线E：y24x的焦点为F，准线l交x轴于点C，直线m过C且交E于不同的A，B两点，B在线段AC上，点P为A在l上的射影，下列命题正确的是（）A若ABBF，则|AP|PC|B若P，B，F三点共线，则|AF
15、|4C若|AB|BC|，则|AF|2|BF|D对于任意直线m，都有|AF|+|BF|2|CF|解：如图示：由题意E的焦点为F（1，0），准线l：x1，C（1，0），不妨设lAB：myx+1，联立，则y24（my1），即y24my+40，则y1+y24m，y1y24，设A（，y1），B（，y2），F（1，0），对于A：0，则（1，y2）（，y1y2）0，整理得：（4）（y1+y2）16y2，则m（4）4y2，假设|AP|PC|，则直线的斜率为1，即m1时，解方程（4）4y2，得y12+2，y222，故y1+y244，故A错误；对于B：点P为A在l上的射影，则P（1，y1），P，B，F三点共线时，
16、有，解得：y2，y12，故A（3，2），故|AF|4，故B正确；对于C：作BHl于H，由|AB|BC|，得2|BH|AP|，故|AF|2|BF|，故C正确；对于D：由|AF|+|BF|BH|+|AP|2+2+2y1y24m2，而|CF|2，由m（4）4y2，得16m2160，解得：m21，故4m242|CF|，故D正确；故选：BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13曲线y2xlnx在点（1，0）处的切线方程为 y2x2解：由题意，所求切线方程的斜率k2ln1+22，所求切线方程为y02（x1），即y2x2故答案为：y2x214已知（x1）na0+a1（x+1）+a2（x+1
17、）2+a3（x+1）3+a4（x+1）4+a5（x+1）5+a6（x+1）6（a60），则n6，a3160解：等式左边x的最高次幂为xn，等式右边x的最高次幂为x6，故n6（x1）6（x+1）26，其通项，令6r3，解得r3，故，故答案为：6，16015若函数f（x）sin（x+）+cosx为偶函数，则常数的一个取值为（答案不唯一）解：根据题意，函数f（x）sin（x+）+cosx为偶函数，则f（x）f（x），即sin（x+）+cos（x）sin（x+）+cosx，变形可得：sin（x+）+sin（x）0，则有2sinxcos0，必有cos0，则k+，故答案为：（答案不唯一）16如图，假定两点
18、P，Q以相同的初速度运动点Q沿直线CD作匀速运动，CQx；点P沿线段AB（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PBy）令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系是，其中e为自然对数的底，当点P从线段AB的三等分点移动到中点时，经过的时间为 解：设P运动到第一个三等分点的时间为t1，此时Q运动的距离为x1，P运动到中点的时间为t2，此时Q运动的距离为x2，两点P，Q以相同的初速度运动，设点Q的运动速度为v107，故答案为：四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知数列an中，a11，且
19、an+1an+n（1）求数列an的通项公式；（2）设，数列bn的前n项和Tn解：（1）an+1an+n，an+1anna11，a2a11，a3a22，anan1n1，；（2）由（1）知，因此，18如图，在平面四边形ABCD中，ADCD，BAD，2ABBD4（1）求cosADB；（2）若BC，求CD解：（1）ABD中，由余弦定理得，cosDAB，cosADB，因为BAD，AB2，BD4，故AD，cosADB，（2）由（1）得sinADB，因为ADCD，即ADC90，所以cosADCcos（ADB+BDC）0，解得，cosBDC，根据余弦定理得，cosBDC，所以，故CD3或CD（舍），故CD31
20、9已知某射手射中固定靶的概率为，射中移动靶的概率为，每次射中固定靶、移动靶分别得1分、2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；（2）求该射手的总得分X的分布列和数学期望解：（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D，射中固定靶为事件A，射中移动靶分别为事件B，C，则DAB+AC，其中AB+AC互斥，A，B，C，相互独立，P（A），P（B）P（C），P（D）P（AB）+P（AC）+即该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，
21、5P（X0），P（X1），P（X2）2，P（X3）2，P（X4）（1），P（X5），该射手的总得分X的分布列为： X 0 1 2 345 P E（X）0+1+220在空间直角坐标系Oxyz中，以坐标原点O为圆心r为半径的球体上任意一点P（x，y，z），它到坐标原点O的距离dr，可知以坐标原点为球心，r为半径的球体可用不等式x2+y2+z2r2表示还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示记P1满足的不等式组表示的几何体为W1（1）当zh表示的图形截W1所得的截面面积为12时，求实数h的值；（2）请运用祖暅原理求证：记P2满足的不等式组所表示的几何体W2，当zh时，W2与W1的体积相等
22、，并求出体积的大小（祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等）解：（1）当zh时，x2+y216h2，截面为圆面，依题意，16h212，解得h2，又h0，故h2；（2）证明：在W1中，平面zh所截的截面为圆，其面积为（16h2），在W2中，平面zh所截的截面为圆环，其面积为（16h2），即zh截W1，W2所得面积均相等，从而由祖暅原理知，W1，W2的体积相等，由W1为半球可知，21已知椭圆C：1（ab0）的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，直线l：x1与C的两个交点和O，B构成一个面积为的菱形（1）求C的方程；（2）圆E过O，B，交l
23、于点M，N，直线AM，AN分别交C于另一点P，Q，点S，T满足，求O到直线ST和直线PQ的距离之和的最大值解：（1）直线l与椭圆C在第一象限的交点为（1，y0），则S菱形ay0，又因为（0，0）与（a，0）关于（1，0）对称，所以a2，y0，将（1，）代入椭圆方程有+1，所以b22，所以椭圆C的方程为+1（2）设k为（1，0），由O，M，B，N共圆，可得|OK|KB|MK|NK|，设M（0，m），N（0，n），则mn1，所以kAPkAQ，设直线PQ的方程为bk（x+2）y，联立椭圆的方程为（x+2）2+2y24（x+2）0，所以1+2（）240，所以2（）2+10，令tx+2，则2t2t+10
24、，设A（x1，y1），B（x2，y2），则kAP，kBP，不妨设t1kAP，t2kBP，所以t1，t2为方程2t2t+10的两个根，所以t1t2kAPkBP，解得bk，所以直线PQ的方程为kk（x+2）y，即直线PQ：yk（x）恒过点（，0），所以|AG|，因为，所以STPQ，设ST与x轴交于点H，则AHHG，即ST恒过定点H，则O到ST和PQ的距离之和最大值为|HG|，|AG|22已知函数f（x）sinx+ex（1）求函数f（x）在的最大值；（2）证明：函数g（x）x+2exf（x）在（0，2）有两个极值点x1，x2，并判断x1+x2与2的大小关系【解答】（1）解：函数f（x）sinx+ex
25、，所以f（x）cosxex，则f（x）sinx+ex，所以当x时，sinx0，故f（x）0，所以函数f（x）在上单调递增，又f（）0，f（2）1e20，所以f（x）在上有唯一的零点t，当x（）时，f（x）0，当x（t，2）时，f（x）0，故f（x）在（）上单调递减，在（t，2）上单调递增，又，f（2）e20，所以f（x）在上的最大值为e2；（）证明：g（x），当时，g（x）单调递增，又，所以g（x）在有唯一的零点，此时当x（0，t1）时，g（x）0，则g（x）单调递减，当时，g（x）0，则g（x）单调递减，故xt1是极小值点，不妨设x1；当时，cosx0，所以，故g（x）在上单调递增，故g（x）没有极值点；当，g（x）sinx+exf（x），由（）知，f（x）在（）上单调递减，在（t，2）上单调递增，且，f（2）e20，故g（x）由唯一的零点，则当时，g（x）0，则g（x）单调递减，当x（t0，2）时，g（x）0，则g（x）单调递增，又，所以g（x）在由唯一的零点，此时时，g（x）0，则g（x）单调递增，当x（t2，2）时，g（x）0，所以xt2是极大值点，即，且 ，由于，所以cosx1cosx2cos（2x2），因为，所以x12x2，即x1+x22