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1、2021届湖南省长沙市雅礼中学高考数学模拟试卷(一)一、单选题(本大题共8 小题，共 40.0分)1.己知集合4=0,1,2,3,B=x|2x2-9 x +9 log0,52.3 B.log34 log65C.log34 logs6 D.log“e Innf 矶，4.已知函数四礴=!”书官卢必唯,若关于客的方程施减=戢有两个不同的根，则实数端的取值范围是()A.C-网R B.E冉 C.虱圆 D.M5.观察这列数：1,2,3,3,2,1,2,3,4,4,3,2,3,4,5,5,4,3,4,5,6,6,5,4,则第2016个数是()A.335 B.336 C.337 D.3386.在区间(0,2)
2、内任取两个数a,b,则使方程炉+(a2-2)x+b2=0的两个根分别作为椭圆与双曲线的离心率的概率为()A 1 R -f n 2_A.8 8 J 16 U-167.如图所示，ABC。是边长为30 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,。四个点重合于图中的点P,正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒，若要包装盒容积IZ(cm3)最大，则 EF的长为()A.QcrnB.12.5cmC.7.5cmD.5cm8.已知函数、=s i n（2%+0）在x =w 处取得最大值，则函数y =c o s（久+0）的图象（）A.关于点60）对称 B.关于点6,0
3、）对称O OC.关于X=B 对称 D.关于X =g 对称6 3二、多 选 题（本大题共4 小题，共 20.0分）9.设 a,b,cWR,a eb C.ac2 be2 D.7 0)的准线经过椭圆N：捻+5=l(a b 0)的左焦点F,且经过M与 N 的交点的直线过椭圆右焦点，则椭圆N 的离心率e =.14.12.已知数列 2 为等差数列,S*为其前疝:页和，且a?+做=2,则S10 c l=.15.三棱锥P-A B C 中，A B C 为等边三角形，PA =PB =PC=3,PA 1 P B,三棱锥P-A B C 的外接 球 的 表 面 积 为 .四、多空题(本大题共1 小题，共 5.0分)16
4、.在公比大于零的等比数列 a*+2 n ,%=2,a3=1 0,则。4=_(1)-，数列 an 的前项和Sn=_(2)一五、解答题(本大题共6 小题，共 70.0分)17 .如图,三棱柱A B C -418 1c l 的底面A B C 是等边三角形，侧面1 B CCrBx,4 B*B A=45.(I)求证：A C 1 B BV(H)M、N 分别是棱A 、C C i 上一点，若S B】=&B C =2,A M =C1N=求四棱锥B -力 M N C 的体积.18 .对于正整数与实数劭，的,.,an,记L(x)=s i n(x +a。)+，皿(:+s*：a“).(I)若a。=0,=p 求,的取值范
5、围;(II)当7 1=2 0 2 0 时,判断:是否存在实数劭，。2 0 2 0,使得。0 2 0(1)=周0 2 0(2)=。成 立.若存在，请求出任意一组劭，a1(。2 0 2 0 的值；若不存在，请说明理由.19 .数列 an 的前 n 项和记为无，%=1,an+1=4Sn+l(n e JV+).求 a 2,a3；(2)求数列 a,的通项公式.2 0 .某高校在2 0 14年的自主招生考试成绩中随机抽取10 0 名学生的笔试成绩，按成绩分组：第 1组 7 5,8 0),第 2 组 8 0,8 5),第 3 组 8 5,9 0),第 4 组 9 0,9 5),第 5 组 9 5,10 0
6、,得到的频率分布直方图如图所示.(I)分别求第3,4,5 组的频率；(II)该校决定在第3,4,5 组中用分层抽样抽取6 名学生进行问卷调查，然后再从这6 名学生中随机抽取2 名学生进行面谈，若这2 名学生中有f名学生是第4 组的，求f的分布列和数学期望.2 1.已知函数/(x)=a x3+bx(x G R).(1)若函数/(x)的图象在点x =3处的切线与直线x +2 4y+1=0 垂直，函 数 在 x =1处取得极值,求函数/(x)的解析式.并确定函数的单调递减区间；(2)若a =l,且函数/(x)在 上 减 函 数，求 b的取值范围.2 2.已知椭圆C：圣+2=l(a b 0)的离心率为
7、争 且经过点4(0,-1).(I)求椭圆C的标准方程；(II)如果过点8(0,|)的直线与椭圆交于M,N两点(M,N点与4点不重合)，求证：A A M N为直角三角形.【答案与解析】1.答案：C解析：解：B =x|x 1 0 go.5 2.3,故 A 正确;对于 B,log34 log33 =1,log65 log65,故 B 正确；对于 C,log56 =logs(5 x =1 +log51，底数都大于1,6-54-3log3-log3-1 0 g3|logs-log3 I og51,log34 logs6,故 C正确;对于 O,v 0 =log7 rl log e logr c7 r =1
8、,log e log33=1,log_65 log_66=1,进而判断；对于C,由对数函数的单调性进行判断；对于O,由0=，。_ 兀 1 log_?re log_nn$=1.进行判断.本题考查命题真假的判断，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.4.答案：C解析：试题分析：关于富的方程,襄域j=晶有两个不同的根可转化为函数朋=庾。做的图像与直线朋=旋有两个不同的交点，在同一直角坐标系中画出这两个函数的图像，如下图，可知，当Qw取w驾时，满足题意，故选C.考点：1.分段函数的图像；2.图像的交点问题.5.答 案:B解析：解：观察这列数分布为：1,2,3,3,2,1,2,3,4
9、,4,3,2,3,4,5,5,4,3,4,5,6,6,5,4,，发现每6 个数成一组，每组的第一个数（或最后一个数）依次为1,2,3,4,.每组的数都是先按1递增两次，再相等一次，最后按1递减两次：因为2016=336 x 6,所以第2016个数是336.故选：B.观察这列数分布规律是：每 6 个数成一组，每组的第一个数（或最后一个数）依次为1,2,3,4,，每组的数都是先按1递增两次，再相等一次，最后按1递减两次，且2016=336 x 6,得出第2016个数是336.本题考查了探究数列的项的规律性问题，解题的关键是观察数列的分布规律，从而求出对应的结论，是易错题.6.答案：C解析：依题意，
10、要使方程两根分别作为椭圆，双曲线的离心率，则有0 Xi 1 0,/(I)0,由此能求出使方程/+(a2-2)x +b2=。的两个根分别作为椭圆与双曲线的离心率的概率.本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意条件概率的合理运用.解：依题意，要使方程两根分别作为椭圆，双曲线的离心率，则有0 /1 0,/(I)=1 +-2)x 1 +炉 0,a2+b2 1,使方程/+(a2-2)X +b2=。的两个根分别作为椭圆与双曲线的离心率的概率：n4 汽D=一1 4 16故选：C.7.答案：A解析：解：设包装盒的高为九(c m),B F=x(c m),底面边长为a(c m),由已知得。=&%，h=
11、7 2(1 5 -x)(0 x 1 5),包装盒的容积为V =a2h=2 V 2(x3+1 5/),V=6 V 2 x(1 0-x),X e (0,1 0)时 y 单调递增，X e (1 0,1 5)单调递减，当x =1 0 时 V 取最大值，故 E F=1 0,故选：A.利用题中的条件，设 包 装 盒 的 高 为B F=x(c m),底面边长为a(c m),表示出包装盒的体积，利用函数的单调性，即可解出.本题考查了函数的实际应用，函数最值，学生的数学运算能力，属于基础题.8.答案：B解析：解：,3/=5 E(2%+9)在尤=合处取得最大值，2 x 卜 p=2/OT H ,即 o当 =?寸，y
12、 =c o sG +，）=c o s =0,则函数关于点邑 0）对称，关于x =g 不对称，故选：B.根据三角函数的最值性质求出S的值，结合余弦函数的对称性进行判断即可.本题主要考查三角函数对称性的应用，结合函数最值求出中 的值是解决本题的关键.9.答案：AB解析：解：对于A,因为ab,所以a +c b +c,故 A正确；对于8,因为a-b,所以6-。6 功，故 8正确；对 于 C,若c =0,则a c?=b e?,故 C错误；对于，取a =-2,h=-l,则？=2,2 =3 则？匕 故。错误.b a 2 b a故选：AB.由不等式的基本性质逐一判断即可.本题主要考查不等式的基本性质，属于基础
13、题.1 0 .答案：BD解析：解：总量排序为：B,D,A,C,E；增速排序为：B,E,D,C,A,对于选项4 总量和增速均居同一位的有8省，C省，所以选项A错误，对于选项B：与去年同期相比，2 0 1 8 年第一季度五个省的G Q P 总量的增长率都为正值，所以均实现了增长，所以选项B正确，对于选项C：去年同期的GO P的总量前三位是B省、。省、A省，所以选项C错误，对于选项D 2 0 1 7 年的G O P 量计算为：AB黑 轰，黑，C 鬻，。鲁 急 据 此 可 知，2 0 1 7 年同期4省的G O P 总量也是第三位，所以选项力正确，故选：BD.总量排序为：B,D,A,C,E；增速排序为
14、：B,E,D,C,A,逐个分析选项即可判断出正误.本题主要考查了简单的合情推理，是基础题.1 1 .答案：ABC解析：解：平行四边形4 8 c o 中，AB=1,AD=2,BAD=,所以A B 1 BD,E为 CD的中点，A E 与。B交于尸，所以前在荏方向上的投影为0,所以A正确;R.o,，,AF=3AE AEE 荏+而,A F=A B+|荷.所以B正确；存.布=四+|砌.宿 号正+：而.荏=1 2+|X1 X 2 X；1,所以C正确；若。=5 4 凡 48K2则 即。力血，所以。不正确；2 6 3故选：A B C.通过向量的数量积以及向量的基本定理，转化求解判断即可.本题考查命题的真假以及
15、向量的数量积以及基本定理的应用，是中档题.12.答案：A D解析：解：根据题意，在 I 中，容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，与(2)对应，A正确；在 n中，容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，与(4)对应，8错误；在i n 中，容器为球形，水高度变化为快-慢-快，与(I)对应，c错误；在I V中，容器上粗下细，水高度的变化先快后慢，与(4)对应，。正确；故选：A D.根据题意，依次分析4个容器中水面变化的趋势，可得其对应的图象，综合即可得答案.本题考查函数的图象分析，关键是分析函数的增长变化趋势，属于基础题.13.答案：yj2 1解析：本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与
16、抛物线的位置关系，考查椭圆的离心率公式，属于中档题.由题意可知：力工l x 轴，：=C,代入抛物线方程即可求得A点坐标，代入椭圆方程，利用离心率公式即可求得椭圆N的离心率.解：设椭圆右焦点为F(c,0),如图所示由凡，A,8共线，则l x 轴，由抛物线M：y2=2px（p 0）的准线经过椭圆N：摄+3=i（a 得抛物线M 与椭圆N 有相同的焦点Fi，-=c,2把x=：代入抛物线方程可得：y2=2 p-,解得：y=p.Ag，P），即火c,2c）.代入椭圆的方程可得：冬=1,a2 b2又 炉=a 2-c 2,W+T J=1，由椭圆的离心率e=?a2 a2-c2 a整理得：e4 6e2+1=0,0
17、e/2,:.e=V2 1，故答案为：y/2 1.14.答案：100解析：解：由题意知：故答案是100.S100=Joo）-50（a、+=50 x2=10012 0）的左焦点F,解析：解：由P4=PB=PC=3,PA 1 P B,可得48=-32+32=3我,由力BC为等边三角形，可得BC=C4=3我,则 PA,PB,PC两两垂直，可将三棱锥P-4 B C 扩展为以PA,PB,PC为相邻的棱的正方体，可得三棱锥P-4BC的外接球的直径即为正方体的外接球的直径，可得外接球的半径R，满足2R=3V3.所以三棱锥P-4BC的外接球的表面积为4TTR2=27兀.故答案为：277r.由勾股定理，推得PA,
18、PB,PC两两垂直，可将三棱锥P-ABC扩展为以PA,PB,PC为相邻的棱的正方体，由三棱锥P-A B C 的外接球的直径即为正方体的外接球的直径，求得半径，运用球的表面积的公式，可得所求值.本题考查棱锥的外接球的表面积的求法，考查转化思想和运算能力，属于中档题.16.答案：10西1-(9 (1 +而)2解析：解：在公比大于零的等比数列 an+2n,%=2,a3=10,a4=2 x(V5)3=10V5，数列%；的前项和：Q _ 21-(%叶 _ n一(%)力(1+佝n _ 1-V5 _ 2故答案为：10西，史何.利用等比数列通项公式求出q=V 5,由此能求出a4和数列 即 的前 项和.本题考查
19、等比数列的第4 项和前 项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.17.答案：(I)证明：作4D 1B B 1，垂足为。，连接CD因为面ZBBiZi 1 BCGBi，A B B】A n B CC1B 1=B Br,所以40 B CC1B1,因为CO u 平面B C q B,所以4DJLC。，不妨设 ABC的边长为a,因为4B1B4=45,所以4D=B D=立a，由AD _ L CD得，CD=a2 2因为BL2+C D2=a2=B C2,所以BD 1 CD,因为AD n CD=0,所以SB】_L 平面AC。，A C u 平面 AC D,所以4c 1 B B i，（口）
20、解：由（I）知 ACL 44SAMNC=3*（*M+CN）X A C=yj2,由（I）知 眄 1平面A CD,1 平面AC D,所以侧面ACC14 JL 平面A CD,在 ACO中，作D E _L 4C,垂足为E,则OE_L面ACQ公,QE是等腰直角 4CD斜边上的高，DE=-A C=-，2 2四棱锥B-4MNC的体积V=s/i=X SAM N C X DF=|.解析：本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判定定理和性质的应用，考查计算能力.属于中档题.（I）作45 1 BBi，垂足为D,连接CD证明力D 1 B C C ,A D 1 C D,证明BD 1 C D,即 可 证 明 1平面
21、A C Q,推出AC_LBB（11）推出侧面4。的41_1平面4?。，作。后1 4（：,垂足为E,则0 E J jS 4 C C i4,然后求解四棱锥B-力 MNC的体积.18.答案：解：（I”.对于正整数与实数的,an,记九(x)=S i n(x +劭)+s m(；+A)+.+s m(:勺),口。=0,%=会,A(x)=s-n x+|s i n(x +)=|s i nx +-cosx=y s i n(x +x&R,其中 tan 0,A(7-a0)=1+1s i n(-a0+a j +s i n(a0+a2)-+-卜奈i n(；-a0+an)1 由%02 0(2)=0,即：s i n l +(
22、1+a0)+1s i n l +(1+&)+s i n l +(1+a202 0)=0，用两角和正弦公式打开整理，得：sinl x c o s(l +a0)+|c o s(l +QJ+c o s(l +a2 O2 o)+c o s l x s i n(l +a0)+g s i n(l +Q)+2 2 02 0s i n(l +a2 02 0),即s i nl x c o s(l +a0)+|c o s(l 4-aj)+-+j(l +a2 O2o)+c o s l x0 2 0(l)=0,/2 02 0(l)=0，从而c o s(l +a0)+|c o s(l +%)+-+-c o s(l +a
23、202 0)=0，下面说明七02 0(X)=0对所有X都成立，1 1/2 02 0W =s i n(x +a0)+2 s i nO+%)+(x +a202 0)1 1=s i n x -1+(1+a0)+,s i n x -1+(1+aj +s i n x -1(1+a202 0)1 1=s i n(x -l)c o s(l +a0)+,c o s(l +a j +c o s(l +a202 0)+c o s(x -l)s i n(l +a0)+1s i n(l +%)+s i n(l +a2o z o)=。，这 与 加-劭)0矛盾.假设不成立，不存在满足条件的实数a。，&，a2 0 2 0,
24、使得为02 0(1)=%02。(2)=0成立.解析：(1)推导出(x)=s i nx +|s i n(x +g)=|s i z i x+f c o s x =?s i n(x +w)，x E.R,其中ta”=，由此能求出A(x)的取值范围.(2)不存在满足条件的实数的,。2 02 0,使得/2 02 0(1)=/2 02 0(2)=0成立，利用反证法能进行证明.本题考查函数的取值范围的求法，考查满足条件的是否存在的判断与证明，考查两角利正弦公式、三角函数恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19.答案：解:(l)a2=4 al +1=5,a3=4(即+的)+1=2 5.4 分(2)由
25、6 1T l+i =4 Sn+1,得 须=4 sz i-1+l(n 2),两式相减，得册+i =5 式7 1 N 2).又g=5 =5%,所以等1=5,un所以数列 册 是以即=1为首项，5 为公比的等比数列，所以0n=5nT.10 分.解析：(1)利用己知条件通过n=1,2即可求出a 2,。3；(2)转化已知条件，推出数列是等比数列，即可求解数列的通项公式.本题考查递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力.20.答案：解：(I)第 3 组的频率为0.06 x 5 =0.3；第 4 组的频率为0.04 x 5 =0.2；第 5 组的频率为0.02 x 5 =0.1；(H)由题知，第
26、 3,4,5 组抽取的学生数学分别为3,2,1,f 取 0,1,2.因为P6=0)=等=|,P(f =1)=警=1，p(f =2)=警=*所以，f 的分布列为：012P25815115解析：(I)直接利用频率分布直方图求解第3,4,5 组的频率:(H)该校决定在第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进行问卷调查，然后再从这6名学生中随机抽取2名学生进行面谈，若这2名学生中有f名学生是第4组的，得到随机变量的概率，列出f的分布列，然后求解数学期望.本题考查频率分布直方图、概率、分层抽样、随机变量的分布列与期望等基础知识，考查学生应用知识解决问题的能力，中等题.21.答案:解:已知函数f (x)=
27、。炉+一。e R),/(x)=3ax2+b.又函数/(x)图象在点x=3处的切线与直线x+24y+1=0垂直，且函数f(x)在x=1处取得极值，/=27a+b=24,且/(1)=3a+b=0,计算得出a=1,b=-3.:./(x)=x3 3x;令(x)-3x2 3 0得：1 W x 1,所以函数的单调递减区间为-1,1.(2)当a=1时，/(x)=x3+bx(x G/?),又函数/(x)在-1,1上是减函数，(x)=3x2+b 0在 上 恒 成 立，即b W -3X2在-1岗上恒成立，.1 4-3,当b=3时，尸(x)不恒为0,h b 0)的离心率为且经过点4(0,-1),.b=l.6=旦=且
28、，解得a=2.a a 22 椭圆C的标准方程为菅+y2=l.证明：(口)若过点(0,|)的直线MN的斜率不存在，此时M,N两点中有一个点与4点重合，不满足题目条件.则过点(0,|)的直线MN的斜率存在,设其斜率为k,则 M N的方程为y=依+1，y=fcx+7 =/5,得(1+纵 2)/+争”黄=0.v +y2=i设M(xi，%),/V(x2,y2)-则X +x2=-5(l+244/cfc2).必=一6425(l+4k2)J 0.z、6 6 Vi+y7=k(%i+x2)+-=,-77,八 7 5 5(1+4比2)y i-72=k2Xi-x2+|k(Xi+x2)+=蓝 A(0,l),AM AN=
29、O i，%+1)(x2,y2+1)=%!%2+yiV2+(%+%)+164,-1 0 0 k2+9,6 八=-H-p 1=025(l+4fc2)25(1+4 4 2)5(l+4 k2).AM IA N,.M 4M N为直角三角形.解析：本题考查椭圆标准方程的求法，考查直角三角形的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、根的判别式、向量的数量积、椭圆性质的合理运用.2 +=l(a b 0)经过点4(0,-1),求出6,由离心率为多 求出m由此能求出椭 圆 C 的标准方程.(口)设加代的方程为、=履+最 与 椭 圆 联 立,得(1+4 1)/+暂 收 一 募=0,由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，结合已知条件能证明AAMN为直角三角形.